Theorem cosq23lt0 15544

Description: The cosine of a number in the second and third quadrants is negative. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cosq23lt0	|- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) < 0 )

Proof of Theorem cosq23lt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 10135	. . . 4 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A e. RR )
2	1	recnd 8196	. . 3 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A e. CC )
3		sinhalfpip 15531	. . 3 |- ( A e. CC -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) + A ) ) = ( cos ` A ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) + A ) ) = ( cos ` A ) )
5		halfpire 15503	. . . . . 6 |- ( pi / 2 ) e. RR
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( pi / 2 ) e. RR )
7	6, 1	readdcld 8197	. . . 4 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( pi / 2 ) + A ) e. RR )
8		pidiv2halves 15506	. . . . 5 |- ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) ) = pi
9	5	rexri 8225	. . . . . . . 8 |- ( pi / 2 ) e. RR*
10		3re 9205	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR
11	10, 5	remulcli 8181	. . . . . . . . 9 |- ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR
12	11	rexri 8225	. . . . . . . 8 |- ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR*
13		elioo2 10144	. . . . . . . 8 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR* /\ ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR* ) -> ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) ) )
14	9, 12, 13	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
15	14	simp2bi 1037	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( pi / 2 ) < A )
16	6, 1, 6, 15	ltadd2dd 8590	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) ) < ( ( pi / 2 ) + A ) )
17	8, 16	eqbrtrrid 4120	. . . 4 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> pi < ( ( pi / 2 ) + A ) )
18	11	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR )
19	14	simp3bi 1038	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
20	1, 18, 6, 19	ltadd2dd 8590	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( pi / 2 ) + A ) < ( ( pi / 2 ) + ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
21		ax-1cn 8113	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
22		3cn 9206	. . . . . . . 8 |- 3 e. CC
23	5	recni 8179	. . . . . . . 8 |- ( pi / 2 ) e. CC
24	21, 22, 23	adddiri 8178	. . . . . . 7 |- ( ( 1 + 3 ) x. ( pi / 2 ) ) = ( ( 1 x. ( pi / 2 ) ) + ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
25		3p1e4 9267	. . . . . . . . 9 |- ( 3 + 1 ) = 4
26	22, 21, 25	addcomli 8312	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 3 ) = 4
27	26	oveq1i 6021	. . . . . . 7 |- ( ( 1 + 3 ) x. ( pi / 2 ) ) = ( 4 x. ( pi / 2 ) )
28	23	mullidi 8170	. . . . . . . 8 |- ( 1 x. ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 )
29	28	oveq1i 6021	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. ( pi / 2 ) ) + ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( ( pi / 2 ) + ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
30	24, 27, 29	3eqtr3ri 2259	. . . . . 6 |- ( ( pi / 2 ) + ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( 4 x. ( pi / 2 ) )
31		4cn 9209	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
32		2cn 9202	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
33		2ap0 9224	. . . . . . . 8 |- 2 # 0
34	32, 33	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
35		picn 15498	. . . . . . 7 |- pi e. CC
36		div32ap 8860	. . . . . . 7 |- ( ( 4 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) /\ pi e. CC ) -> ( ( 4 / 2 ) x. pi ) = ( 4 x. ( pi / 2 ) ) )
37	31, 34, 35, 36	mp3an 1371	. . . . . 6 |- ( ( 4 / 2 ) x. pi ) = ( 4 x. ( pi / 2 ) )
38		4d2e2 9292	. . . . . . 7 |- ( 4 / 2 ) = 2
39	38	oveq1i 6021	. . . . . 6 |- ( ( 4 / 2 ) x. pi ) = ( 2 x. pi )
40	30, 37, 39	3eqtr2i 2256	. . . . 5 |- ( ( pi / 2 ) + ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( 2 x. pi )
41	20, 40	breqtrdi 4125	. . . 4 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( pi / 2 ) + A ) < ( 2 x. pi ) )
42		pire 15497	. . . . . 6 |- pi e. RR
43	42	rexri 8225	. . . . 5 |- pi e. RR*
44		2re 9201	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
45	44, 42	remulcli 8181	. . . . . 6 |- ( 2 x. pi ) e. RR
46	45	rexri 8225	. . . . 5 |- ( 2 x. pi ) e. RR*
47		elioo2 10144	. . . . 5 |- ( ( pi e. RR* /\ ( 2 x. pi ) e. RR* ) -> ( ( ( pi / 2 ) + A ) e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( ( ( pi / 2 ) + A ) e. RR /\ pi < ( ( pi / 2 ) + A ) /\ ( ( pi / 2 ) + A ) < ( 2 x. pi ) ) ) )
48	43, 46, 47	mp2an 426	. . . 4 |- ( ( ( pi / 2 ) + A ) e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( ( ( pi / 2 ) + A ) e. RR /\ pi < ( ( pi / 2 ) + A ) /\ ( ( pi / 2 ) + A ) < ( 2 x. pi ) ) )
49	7, 17, 41, 48	syl3anbrc 1205	. . 3 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( pi / 2 ) + A ) e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) )
50		sinq34lt0t 15542	. . 3 |- ( ( ( pi / 2 ) + A ) e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) + A ) ) < 0 )
51	49, 50	syl 14	. 2 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) + A ) ) < 0 )
52	4, 51	eqbrtrrd 4108	1 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) < 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4084   ` cfv 5322  (class class class)co 6011   CCcc 8018   RRcr 8019   0cc0 8020   1c1 8021   + caddc 8023   x. cmul 8025   RR*cxr 8201   < clt 8202   # cap 8749   / cdiv 8840   2c2 9182   3c3 9183   4c4 9184   (,)cioo 10111   sincsin 12192   cosccos 12193   picpi 12195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-nul 4211  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-iinf 4682  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-mulrcl 8119  ax-addcom 8120  ax-mulcom 8121  ax-addass 8122  ax-mulass 8123  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-1rid 8127  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-precex 8130  ax-cnre 8131  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-ltwlin 8133  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-apti 8135  ax-pre-ltadd 8136  ax-pre-mulgt0 8137  ax-pre-mulext 8138  ax-arch 8139  ax-caucvg 8140  ax-pre-suploc 8141  ax-addf 8142  ax-mulf 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-disj 4061  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-tr 4184  df-id 4386  df-po 4389  df-iso 4390  df-iord 4459  df-on 4461  df-ilim 4462  df-suc 4464  df-iom 4685  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-isom 5331  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-of 6228  df-1st 6296  df-2nd 6297  df-recs 6464  df-irdg 6529  df-frec 6550  df-1o 6575  df-oadd 6579  df-er 6695  df-map 6812  df-pm 6813  df-en 6903  df-dom 6904  df-fin 6905  df-sup 7172  df-inf 7173  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208  df-sub 8340  df-neg 8341  df-reap 8743  df-ap 8750  df-div 8841  df-inn 9132  df-2 9190  df-3 9191  df-4 9192  df-5 9193  df-6 9194  df-7 9195  df-8 9196  df-9 9197  df-n0 9391  df-z 9468  df-uz 9744  df-q 9842  df-rp 9877  df-xneg 9995  df-xadd 9996  df-ioo 10115  df-ioc 10116  df-ico 10117  df-icc 10118  df-fz 10232  df-fzo 10366  df-seqfrec 10698  df-exp 10789  df-fac 10976  df-bc 10998  df-ihash 11026  df-shft 11363  df-cj 11390  df-re 11391  df-im 11392  df-rsqrt 11546  df-abs 11547  df-clim 11827  df-sumdc 11902  df-ef 12196  df-sin 12198  df-cos 12199  df-pi 12201  df-rest 13311  df-topgen 13330  df-psmet 14544  df-xmet 14545  df-met 14546  df-bl 14547  df-mopn 14548  df-top 14709  df-topon 14722  df-bases 14754  df-ntr 14807  df-cn 14899  df-cnp 14900  df-tx 14964  df-cncf 15282  df-limced 15367  df-dvap 15368

This theorem is referenced by:  coseq0q4123  15545  cos02pilt1  15562