Theorem cosq23lt0 15153

Description: The cosine of a number in the second and third quadrants is negative. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cosq23lt0	|- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) < 0 )

Proof of Theorem cosq23lt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 10004	. . . 4 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A e. RR )
2	1	recnd 8072	. . 3 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A e. CC )
3		sinhalfpip 15140	. . 3 |- ( A e. CC -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) + A ) ) = ( cos ` A ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) + A ) ) = ( cos ` A ) )
5		halfpire 15112	. . . . . 6 |- ( pi / 2 ) e. RR
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( pi / 2 ) e. RR )
7	6, 1	readdcld 8073	. . . 4 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( pi / 2 ) + A ) e. RR )
8		pidiv2halves 15115	. . . . 5 |- ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) ) = pi
9	5	rexri 8101	. . . . . . . 8 |- ( pi / 2 ) e. RR*
10		3re 9081	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR
11	10, 5	remulcli 8057	. . . . . . . . 9 |- ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR
12	11	rexri 8101	. . . . . . . 8 |- ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR*
13		elioo2 10013	. . . . . . . 8 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR* /\ ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR* ) -> ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) ) )
14	9, 12, 13	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
15	14	simp2bi 1015	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( pi / 2 ) < A )
16	6, 1, 6, 15	ltadd2dd 8466	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) ) < ( ( pi / 2 ) + A ) )
17	8, 16	eqbrtrrid 4070	. . . 4 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> pi < ( ( pi / 2 ) + A ) )
18	11	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR )
19	14	simp3bi 1016	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
20	1, 18, 6, 19	ltadd2dd 8466	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( pi / 2 ) + A ) < ( ( pi / 2 ) + ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
21		ax-1cn 7989	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
22		3cn 9082	. . . . . . . 8 |- 3 e. CC
23	5	recni 8055	. . . . . . . 8 |- ( pi / 2 ) e. CC
24	21, 22, 23	adddiri 8054	. . . . . . 7 |- ( ( 1 + 3 ) x. ( pi / 2 ) ) = ( ( 1 x. ( pi / 2 ) ) + ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
25		3p1e4 9143	. . . . . . . . 9 |- ( 3 + 1 ) = 4
26	22, 21, 25	addcomli 8188	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 3 ) = 4
27	26	oveq1i 5935	. . . . . . 7 |- ( ( 1 + 3 ) x. ( pi / 2 ) ) = ( 4 x. ( pi / 2 ) )
28	23	mullidi 8046	. . . . . . . 8 |- ( 1 x. ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 )
29	28	oveq1i 5935	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. ( pi / 2 ) ) + ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( ( pi / 2 ) + ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
30	24, 27, 29	3eqtr3ri 2226	. . . . . 6 |- ( ( pi / 2 ) + ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( 4 x. ( pi / 2 ) )
31		4cn 9085	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
32		2cn 9078	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
33		2ap0 9100	. . . . . . . 8 |- 2 # 0
34	32, 33	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
35		picn 15107	. . . . . . 7 |- pi e. CC
36		div32ap 8736	. . . . . . 7 |- ( ( 4 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) /\ pi e. CC ) -> ( ( 4 / 2 ) x. pi ) = ( 4 x. ( pi / 2 ) ) )
37	31, 34, 35, 36	mp3an 1348	. . . . . 6 |- ( ( 4 / 2 ) x. pi ) = ( 4 x. ( pi / 2 ) )
38		4d2e2 9168	. . . . . . 7 |- ( 4 / 2 ) = 2
39	38	oveq1i 5935	. . . . . 6 |- ( ( 4 / 2 ) x. pi ) = ( 2 x. pi )
40	30, 37, 39	3eqtr2i 2223	. . . . 5 |- ( ( pi / 2 ) + ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( 2 x. pi )
41	20, 40	breqtrdi 4075	. . . 4 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( pi / 2 ) + A ) < ( 2 x. pi ) )
42		pire 15106	. . . . . 6 |- pi e. RR
43	42	rexri 8101	. . . . 5 |- pi e. RR*
44		2re 9077	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
45	44, 42	remulcli 8057	. . . . . 6 |- ( 2 x. pi ) e. RR
46	45	rexri 8101	. . . . 5 |- ( 2 x. pi ) e. RR*
47		elioo2 10013	. . . . 5 |- ( ( pi e. RR* /\ ( 2 x. pi ) e. RR* ) -> ( ( ( pi / 2 ) + A ) e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( ( ( pi / 2 ) + A ) e. RR /\ pi < ( ( pi / 2 ) + A ) /\ ( ( pi / 2 ) + A ) < ( 2 x. pi ) ) ) )
48	43, 46, 47	mp2an 426	. . . 4 |- ( ( ( pi / 2 ) + A ) e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( ( ( pi / 2 ) + A ) e. RR /\ pi < ( ( pi / 2 ) + A ) /\ ( ( pi / 2 ) + A ) < ( 2 x. pi ) ) )
49	7, 17, 41, 48	syl3anbrc 1183	. . 3 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( pi / 2 ) + A ) e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) )
50		sinq34lt0t 15151	. . 3 |- ( ( ( pi / 2 ) + A ) e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) + A ) ) < 0 )
51	49, 50	syl 14	. 2 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) + A ) ) < 0 )
52	4, 51	eqbrtrrd 4058	1 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) < 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   x. cmul 7901   RR*cxr 8077   < clt 8078   # cap 8625   / cdiv 8716   2c2 9058   3c3 9059   4c4 9060   (,)cioo 9980   sincsin 11826   cosccos 11827   picpi 11829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016  ax-pre-suploc 8017  ax-addf 8018  ax-mulf 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-map 6718  df-pm 6719  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-xneg 9864  df-xadd 9865  df-ioo 9984  df-ioc 9985  df-ico 9986  df-icc 9987  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-fac 10835  df-bc 10857  df-ihash 10885  df-shft 10997  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536  df-ef 11830  df-sin 11832  df-cos 11833  df-pi 11835  df-rest 12943  df-topgen 12962  df-psmet 14175  df-xmet 14176  df-met 14177  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-top 14318  df-topon 14331  df-bases 14363  df-ntr 14416  df-cn 14508  df-cnp 14509  df-tx 14573  df-cncf 14891  df-limced 14976  df-dvap 14977

This theorem is referenced by:  coseq0q4123  15154  cos02pilt1  15171