Theorem cosq23lt0 15698

Description: The cosine of a number in the second and third quadrants is negative. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cosq23lt0	|- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) < 0 )

Proof of Theorem cosq23lt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 10245	. . . 4 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A e. RR )
2	1	recnd 8302	. . 3 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A e. CC )
3		sinhalfpip 15685	. . 3 |- ( A e. CC -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) + A ) ) = ( cos ` A ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) + A ) ) = ( cos ` A ) )
5		halfpire 15657	. . . . . 6 |- ( pi / 2 ) e. RR
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( pi / 2 ) e. RR )
7	6, 1	readdcld 8303	. . . 4 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( pi / 2 ) + A ) e. RR )
8		pidiv2halves 15660	. . . . 5 |- ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) ) = pi
9	5	rexri 8331	. . . . . . . 8 |- ( pi / 2 ) e. RR*
10		3re 9311	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR
11	10, 5	remulcli 8288	. . . . . . . . 9 |- ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR
12	11	rexri 8331	. . . . . . . 8 |- ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR*
13		elioo2 10254	. . . . . . . 8 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR* /\ ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR* ) -> ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) ) )
14	9, 12, 13	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
15	14	simp2bi 1040	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( pi / 2 ) < A )
16	6, 1, 6, 15	ltadd2dd 8696	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) ) < ( ( pi / 2 ) + A ) )
17	8, 16	eqbrtrrid 4145	. . . 4 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> pi < ( ( pi / 2 ) + A ) )
18	11	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR )
19	14	simp3bi 1041	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
20	1, 18, 6, 19	ltadd2dd 8696	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( pi / 2 ) + A ) < ( ( pi / 2 ) + ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
21		ax-1cn 8220	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
22		3cn 9312	. . . . . . . 8 |- 3 e. CC
23	5	recni 8286	. . . . . . . 8 |- ( pi / 2 ) e. CC
24	21, 22, 23	adddiri 8285	. . . . . . 7 |- ( ( 1 + 3 ) x. ( pi / 2 ) ) = ( ( 1 x. ( pi / 2 ) ) + ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
25		3p1e4 9373	. . . . . . . . 9 |- ( 3 + 1 ) = 4
26	22, 21, 25	addcomli 8418	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 3 ) = 4
27	26	oveq1i 6060	. . . . . . 7 |- ( ( 1 + 3 ) x. ( pi / 2 ) ) = ( 4 x. ( pi / 2 ) )
28	23	mullidi 8277	. . . . . . . 8 |- ( 1 x. ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 )
29	28	oveq1i 6060	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. ( pi / 2 ) ) + ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( ( pi / 2 ) + ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
30	24, 27, 29	3eqtr3ri 2262	. . . . . 6 |- ( ( pi / 2 ) + ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( 4 x. ( pi / 2 ) )
31		4cn 9315	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
32		2cn 9308	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
33		2ap0 9330	. . . . . . . 8 |- 2 # 0
34	32, 33	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
35		picn 15652	. . . . . . 7 |- pi e. CC
36		div32ap 8966	. . . . . . 7 |- ( ( 4 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) /\ pi e. CC ) -> ( ( 4 / 2 ) x. pi ) = ( 4 x. ( pi / 2 ) ) )
37	31, 34, 35, 36	mp3an 1374	. . . . . 6 |- ( ( 4 / 2 ) x. pi ) = ( 4 x. ( pi / 2 ) )
38		4d2e2 9398	. . . . . . 7 |- ( 4 / 2 ) = 2
39	38	oveq1i 6060	. . . . . 6 |- ( ( 4 / 2 ) x. pi ) = ( 2 x. pi )
40	30, 37, 39	3eqtr2i 2259	. . . . 5 |- ( ( pi / 2 ) + ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( 2 x. pi )
41	20, 40	breqtrdi 4150	. . . 4 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( pi / 2 ) + A ) < ( 2 x. pi ) )
42		pire 15651	. . . . . 6 |- pi e. RR
43	42	rexri 8331	. . . . 5 |- pi e. RR*
44		2re 9307	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
45	44, 42	remulcli 8288	. . . . . 6 |- ( 2 x. pi ) e. RR
46	45	rexri 8331	. . . . 5 |- ( 2 x. pi ) e. RR*
47		elioo2 10254	. . . . 5 |- ( ( pi e. RR* /\ ( 2 x. pi ) e. RR* ) -> ( ( ( pi / 2 ) + A ) e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( ( ( pi / 2 ) + A ) e. RR /\ pi < ( ( pi / 2 ) + A ) /\ ( ( pi / 2 ) + A ) < ( 2 x. pi ) ) ) )
48	43, 46, 47	mp2an 426	. . . 4 |- ( ( ( pi / 2 ) + A ) e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( ( ( pi / 2 ) + A ) e. RR /\ pi < ( ( pi / 2 ) + A ) /\ ( ( pi / 2 ) + A ) < ( 2 x. pi ) ) )
49	7, 17, 41, 48	syl3anbrc 1208	. . 3 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( pi / 2 ) + A ) e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) )
50		sinq34lt0t 15696	. . 3 |- ( ( ( pi / 2 ) + A ) e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) + A ) ) < 0 )
51	49, 50	syl 14	. 2 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) + A ) ) < 0 )
52	4, 51	eqbrtrrd 4133	1 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) < 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   CCcc 8125   RRcr 8126   0cc0 8127   1c1 8128   + caddc 8130   x. cmul 8132   RR*cxr 8307   < clt 8308   # cap 8855   / cdiv 8946   2c2 9288   3c3 9289   4c4 9290   (,)cioo 10221   sincsin 12330   cosccos 12331   picpi 12333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247  ax-pre-suploc 8248  ax-addf 8249  ax-mulf 8250

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-disj 4086  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-of 6266  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-oadd 6651  df-er 6767  df-map 6884  df-pm 6885  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-xneg 10105  df-xadd 10106  df-ioo 10225  df-ioc 10226  df-ico 10227  df-icc 10228  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-fac 11088  df-bc 11110  df-ihash 11139  df-shft 11500  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-clim 11964  df-sumdc 12039  df-ef 12334  df-sin 12336  df-cos 12337  df-pi 12339  df-rest 13454  df-topgen 13473  df-psmet 14691  df-xmet 14692  df-met 14693  df-bl 14694  df-mopn 14695  df-top 14863  df-topon 14876  df-bases 14908  df-ntr 14961  df-cn 15053  df-cnp 15054  df-tx 15118  df-cncf 15436  df-limced 15521  df-dvap 15522

This theorem is referenced by:  coseq0q4123  15699  cos02pilt1  15716