Theorem cosq23lt0 15069

Description: The cosine of a number in the second and third quadrants is negative. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cosq23lt0	|- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) < 0 )

Proof of Theorem cosq23lt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 9987	. . . 4 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A e. RR )
2	1	recnd 8055	. . 3 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A e. CC )
3		sinhalfpip 15056	. . 3 |- ( A e. CC -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) + A ) ) = ( cos ` A ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) + A ) ) = ( cos ` A ) )
5		halfpire 15028	. . . . . 6 |- ( pi / 2 ) e. RR
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( pi / 2 ) e. RR )
7	6, 1	readdcld 8056	. . . 4 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( pi / 2 ) + A ) e. RR )
8		pidiv2halves 15031	. . . . 5 |- ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) ) = pi
9	5	rexri 8084	. . . . . . . 8 |- ( pi / 2 ) e. RR*
10		3re 9064	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR
11	10, 5	remulcli 8040	. . . . . . . . 9 |- ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR
12	11	rexri 8084	. . . . . . . 8 |- ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR*
13		elioo2 9996	. . . . . . . 8 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR* /\ ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR* ) -> ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) ) )
14	9, 12, 13	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
15	14	simp2bi 1015	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( pi / 2 ) < A )
16	6, 1, 6, 15	ltadd2dd 8449	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) ) < ( ( pi / 2 ) + A ) )
17	8, 16	eqbrtrrid 4069	. . . 4 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> pi < ( ( pi / 2 ) + A ) )
18	11	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR )
19	14	simp3bi 1016	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
20	1, 18, 6, 19	ltadd2dd 8449	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( pi / 2 ) + A ) < ( ( pi / 2 ) + ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
21		ax-1cn 7972	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
22		3cn 9065	. . . . . . . 8 |- 3 e. CC
23	5	recni 8038	. . . . . . . 8 |- ( pi / 2 ) e. CC
24	21, 22, 23	adddiri 8037	. . . . . . 7 |- ( ( 1 + 3 ) x. ( pi / 2 ) ) = ( ( 1 x. ( pi / 2 ) ) + ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
25		3p1e4 9126	. . . . . . . . 9 |- ( 3 + 1 ) = 4
26	22, 21, 25	addcomli 8171	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 3 ) = 4
27	26	oveq1i 5932	. . . . . . 7 |- ( ( 1 + 3 ) x. ( pi / 2 ) ) = ( 4 x. ( pi / 2 ) )
28	23	mullidi 8029	. . . . . . . 8 |- ( 1 x. ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 )
29	28	oveq1i 5932	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. ( pi / 2 ) ) + ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( ( pi / 2 ) + ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
30	24, 27, 29	3eqtr3ri 2226	. . . . . 6 |- ( ( pi / 2 ) + ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( 4 x. ( pi / 2 ) )
31		4cn 9068	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
32		2cn 9061	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
33		2ap0 9083	. . . . . . . 8 |- 2 # 0
34	32, 33	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
35		picn 15023	. . . . . . 7 |- pi e. CC
36		div32ap 8719	. . . . . . 7 |- ( ( 4 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) /\ pi e. CC ) -> ( ( 4 / 2 ) x. pi ) = ( 4 x. ( pi / 2 ) ) )
37	31, 34, 35, 36	mp3an 1348	. . . . . 6 |- ( ( 4 / 2 ) x. pi ) = ( 4 x. ( pi / 2 ) )
38		4d2e2 9151	. . . . . . 7 |- ( 4 / 2 ) = 2
39	38	oveq1i 5932	. . . . . 6 |- ( ( 4 / 2 ) x. pi ) = ( 2 x. pi )
40	30, 37, 39	3eqtr2i 2223	. . . . 5 |- ( ( pi / 2 ) + ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( 2 x. pi )
41	20, 40	breqtrdi 4074	. . . 4 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( pi / 2 ) + A ) < ( 2 x. pi ) )
42		pire 15022	. . . . . 6 |- pi e. RR
43	42	rexri 8084	. . . . 5 |- pi e. RR*
44		2re 9060	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
45	44, 42	remulcli 8040	. . . . . 6 |- ( 2 x. pi ) e. RR
46	45	rexri 8084	. . . . 5 |- ( 2 x. pi ) e. RR*
47		elioo2 9996	. . . . 5 |- ( ( pi e. RR* /\ ( 2 x. pi ) e. RR* ) -> ( ( ( pi / 2 ) + A ) e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( ( ( pi / 2 ) + A ) e. RR /\ pi < ( ( pi / 2 ) + A ) /\ ( ( pi / 2 ) + A ) < ( 2 x. pi ) ) ) )
48	43, 46, 47	mp2an 426	. . . 4 |- ( ( ( pi / 2 ) + A ) e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( ( ( pi / 2 ) + A ) e. RR /\ pi < ( ( pi / 2 ) + A ) /\ ( ( pi / 2 ) + A ) < ( 2 x. pi ) ) )
49	7, 17, 41, 48	syl3anbrc 1183	. . 3 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( pi / 2 ) + A ) e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) )
50		sinq34lt0t 15067	. . 3 |- ( ( ( pi / 2 ) + A ) e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) + A ) ) < 0 )
51	49, 50	syl 14	. 2 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) + A ) ) < 0 )
52	4, 51	eqbrtrrd 4057	1 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) < 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   RR*cxr 8060   < clt 8061   # cap 8608   / cdiv 8699   2c2 9041   3c3 9042   4c4 9043   (,)cioo 9963   sincsin 11809   cosccos 11810   picpi 11812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999  ax-pre-suploc 8000  ax-addf 8001  ax-mulf 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-disj 4011  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-of 6135  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-map 6709  df-pm 6710  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-xneg 9847  df-xadd 9848  df-ioo 9967  df-ioc 9968  df-ico 9969  df-icc 9970  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-fac 10818  df-bc 10840  df-ihash 10868  df-shft 10980  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519  df-ef 11813  df-sin 11815  df-cos 11816  df-pi 11818  df-rest 12912  df-topgen 12931  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-met 14101  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-top 14234  df-topon 14247  df-bases 14279  df-ntr 14332  df-cn 14424  df-cnp 14425  df-tx 14489  df-cncf 14807  df-limced 14892  df-dvap 14893

This theorem is referenced by:  coseq0q4123  15070  cos02pilt1  15087