Theorem cosq34lt1 15170

Description: Cosine is less than one in the third and fourth quadrants. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cosq34lt1	|- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )

Proof of Theorem cosq34lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 15106	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
2		2re 9077	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
3	2, 1	remulcli 8057	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. pi ) e. RR
4	3	rexri 8101	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. pi ) e. RR*
5		elico2 10029	. . . . . . . 8 |- ( ( pi e. RR /\ ( 2 x. pi ) e. RR* ) -> ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A e. RR /\ pi <_ A /\ A < ( 2 x. pi ) ) ) )
6	1, 4, 5	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A e. RR /\ pi <_ A /\ A < ( 2 x. pi ) ) )
7	6	simp1bi 1014	. . . . . 6 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> A e. RR )
8	7	recnd 8072	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> A e. CC )
9		2cn 9078	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
10		picn 15107	. . . . . . 7 |- pi e. CC
11	9, 10	mulcli 8048	. . . . . 6 |- ( 2 x. pi ) e. CC
12	11	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( 2 x. pi ) e. CC )
13	8, 12	subcld 8354	. . . 4 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A - ( 2 x. pi ) ) e. CC )
14		cosneg 11909	. . . 4 |- ( ( A - ( 2 x. pi ) ) e. CC -> ( cos ` -u ( A - ( 2 x. pi ) ) ) = ( cos ` ( A - ( 2 x. pi ) ) ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` -u ( A - ( 2 x. pi ) ) ) = ( cos ` ( A - ( 2 x. pi ) ) ) )
16	12	mulm1d 8453	. . . . . 6 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( -u 1 x. ( 2 x. pi ) ) = -u ( 2 x. pi ) )
17	16	oveq2d 5941	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A + ( -u 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A + -u ( 2 x. pi ) ) )
18	8, 12	negsubd 8360	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A + -u ( 2 x. pi ) ) = ( A - ( 2 x. pi ) ) )
19	17, 18	eqtrd 2229	. . . 4 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A + ( -u 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A - ( 2 x. pi ) ) )
20	19	fveq2d 5565	. . 3 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` ( A + ( -u 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` ( A - ( 2 x. pi ) ) ) )
21		neg1z 9375	. . . 4 |- -u 1 e. ZZ
22		cosper 15130	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ -u 1 e. ZZ ) -> ( cos ` ( A + ( -u 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` A ) )
23	8, 21, 22	sylancl 413	. . 3 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` ( A + ( -u 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` A ) )
24	15, 20, 23	3eqtr2d 2235	. 2 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` -u ( A - ( 2 x. pi ) ) ) = ( cos ` A ) )
25		0xr 8090	. . . . 5 |- 0 e. RR*
26	1	rexri 8101	. . . . 5 |- pi e. RR*
27		0re 8043	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
28		pipos 15108	. . . . . . 7 |- 0 < pi
29	27, 1, 28	ltleii 8146	. . . . . 6 |- 0 <_ pi
30	29	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 <_ pi )
31		lbicc2 10076	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* /\ 0 <_ pi ) -> 0 e. ( 0 [,] pi ) )
32	25, 26, 30, 31	mp3an12i 1352	. . . 4 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 e. ( 0 [,] pi ) )
33	3	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( 2 x. pi ) e. RR )
34	7, 33	resubcld 8424	. . . . . 6 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A - ( 2 x. pi ) ) e. RR )
35	34	renegcld 8423	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> -u ( A - ( 2 x. pi ) ) e. RR )
36	27	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 e. RR )
37	6	simp3bi 1016	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> A < ( 2 x. pi ) )
38	7, 33	posdifd 8576	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A < ( 2 x. pi ) <-> 0 < ( ( 2 x. pi ) - A ) ) )
39	37, 38	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 < ( ( 2 x. pi ) - A ) )
40	8, 12	negsubdi2d 8370	. . . . . . 7 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> -u ( A - ( 2 x. pi ) ) = ( ( 2 x. pi ) - A ) )
41	39, 40	breqtrrd 4062	. . . . . 6 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 < -u ( A - ( 2 x. pi ) ) )
42	36, 35, 41	ltled 8162	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 <_ -u ( A - ( 2 x. pi ) ) )
43	1	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> pi e. RR )
44		ax-1cn 7989	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
45	9, 44, 10	subdiri 8451	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 - 1 ) x. pi ) = ( ( 2 x. pi ) - ( 1 x. pi ) )
46		2m1e1 9125	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 - 1 ) = 1
47	46	oveq1i 5935	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 - 1 ) x. pi ) = ( 1 x. pi )
48	10	mullidi 8046	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. pi ) = pi
49	47, 48	eqtri 2217	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 - 1 ) x. pi ) = pi
50	48	oveq2i 5936	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. pi ) - ( 1 x. pi ) ) = ( ( 2 x. pi ) - pi )
51	45, 49, 50	3eqtr3ri 2226	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. pi ) - pi ) = pi
52	6	simp2bi 1015	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> pi <_ A )
53	51, 52	eqbrtrid 4069	. . . . . . 7 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( ( 2 x. pi ) - pi ) <_ A )
54	33, 43, 7, 53	subled 8592	. . . . . 6 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( ( 2 x. pi ) - A ) <_ pi )
55	40, 54	eqbrtrd 4056	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> -u ( A - ( 2 x. pi ) ) <_ pi )
56	27, 1	elicc2i 10031	. . . . 5 |- ( -u ( A - ( 2 x. pi ) ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( -u ( A - ( 2 x. pi ) ) e. RR /\ 0 <_ -u ( A - ( 2 x. pi ) ) /\ -u ( A - ( 2 x. pi ) ) <_ pi ) )
57	35, 42, 55, 56	syl3anbrc 1183	. . . 4 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> -u ( A - ( 2 x. pi ) ) e. ( 0 [,] pi ) )
58	32, 57, 41	cosordlem 15169	. . 3 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` -u ( A - ( 2 x. pi ) ) ) < ( cos ` 0 ) )
59		cos0 11912	. . 3 |- ( cos ` 0 ) = 1
60	58, 59	breqtrdi 4075	. 2 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` -u ( A - ( 2 x. pi ) ) ) < 1 )
61	24, 60	eqbrtrrd 4058	1 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   x. cmul 7901   RR*cxr 8077   < clt 8078   <_ cle 8079   - cmin 8214   -ucneg 8215   2c2 9058   ZZcz 9343   [,)cico 9982   [,]cicc 9983   cosccos 11827   picpi 11829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016  ax-pre-suploc 8017  ax-addf 8018  ax-mulf 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-map 6718  df-pm 6719  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-xneg 9864  df-xadd 9865  df-ioo 9984  df-ioc 9985  df-ico 9986  df-icc 9987  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-fac 10835  df-bc 10857  df-ihash 10885  df-shft 10997  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536  df-ef 11830  df-sin 11832  df-cos 11833  df-pi 11835  df-rest 12943  df-topgen 12962  df-psmet 14175  df-xmet 14176  df-met 14177  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-top 14318  df-topon 14331  df-bases 14363  df-ntr 14416  df-cn 14508  df-cnp 14509  df-tx 14573  df-cncf 14891  df-limced 14976  df-dvap 14977

This theorem is referenced by:  cos02pilt1  15171