ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cosq34lt1 Unicode version

Theorem cosq34lt1 13842
Description: Cosine is less than one in the third and fourth quadrants. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2024.)
Assertion
Ref Expression
cosq34lt1  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  ( cos `  A )  <  1 )

Proof of Theorem cosq34lt1
StepHypRef Expression
1 pire 13778 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
2 2re 8962 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
32, 1remulcli 7946 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
43rexri 7989 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  pi )  e. 
RR*
5 elico2 9908 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR* )  -> 
( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  <-> 
( A  e.  RR  /\  pi  <_  A  /\  A  <  ( 2  x.  pi ) ) ) )
61, 4, 5mp2an 426 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  pi  <_  A  /\  A  <  (
2  x.  pi ) ) )
76simp1bi 1012 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  A  e.  RR )
87recnd 7960 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  A  e.  CC )
9 2cn 8963 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
10 picn 13779 . . . . . . 7  |-  pi  e.  CC
119, 10mulcli 7937 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
1211a1i 9 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  (
2  x.  pi )  e.  CC )
138, 12subcld 8242 . . . 4  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  -  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
14 cosneg 11703 . . . 4  |-  ( ( A  -  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC  ->  ( cos `  -u ( A  -  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( cos `  ( A  -  ( 2  x.  pi ) ) ) )
1513, 14syl 14 . . 3  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  ( cos `  -u ( A  -  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( cos `  ( A  -  ( 2  x.  pi ) ) ) )
1612mulm1d 8341 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  ( -u 1  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  -u ( 2  x.  pi ) )
1716oveq2d 5881 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  +  ( -u 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( A  +  -u ( 2  x.  pi ) ) )
188, 12negsubd 8248 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  +  -u ( 2  x.  pi ) )  =  ( A  -  ( 2  x.  pi ) ) )
1917, 18eqtrd 2208 . . . 4  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  +  ( -u 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( A  -  (
2  x.  pi ) ) )
2019fveq2d 5511 . . 3  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  ( cos `  ( A  +  ( -u 1  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  ( A  -  ( 2  x.  pi ) ) ) )
21 neg1z 9258 . . . 4  |-  -u 1  e.  ZZ
22 cosper 13802 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( cos `  ( A  +  ( -u 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  A
) )
238, 21, 22sylancl 413 . . 3  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  ( cos `  ( A  +  ( -u 1  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  A
) )
2415, 20, 233eqtr2d 2214 . 2  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  ( cos `  -u ( A  -  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( cos `  A
) )
25 0xr 7978 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
261rexri 7989 . . . . 5  |-  pi  e.  RR*
27 0re 7932 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
28 pipos 13780 . . . . . . 7  |-  0  <  pi
2927, 1, 28ltleii 8034 . . . . . 6  |-  0  <_  pi
3029a1i 9 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  0  <_  pi )
31 lbicc2 9955 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  0  <_  pi )  ->  0  e.  ( 0 [,] pi ) )
3225, 26, 30, 31mp3an12i 1341 . . . 4  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  0  e.  ( 0 [,] pi ) )
333a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR )
347, 33resubcld 8312 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  -  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
3534renegcld 8311 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  -u ( A  -  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
3627a1i 9 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  0  e.  RR )
376simp3bi 1014 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  A  <  ( 2  x.  pi ) )
387, 33posdifd 8463 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  ( A  <  ( 2  x.  pi )  <->  0  <  ( ( 2  x.  pi )  -  A )
) )
3937, 38mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  0  <  ( ( 2  x.  pi )  -  A
) )
408, 12negsubdi2d 8258 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  -u ( A  -  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  -  A ) )
4139, 40breqtrrd 4026 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  0  <  -u ( A  -  ( 2  x.  pi ) ) )
4236, 35, 41ltled 8050 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  0  <_ 
-u ( A  -  ( 2  x.  pi ) ) )
431a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  pi  e.  RR )
44 ax-1cn 7879 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
459, 44, 10subdiri 8339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  -  1 )  x.  pi )  =  ( ( 2  x.  pi )  -  (
1  x.  pi ) )
46 2m1e1 9010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  -  1 )  =  1
4746oveq1i 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  -  1 )  x.  pi )  =  ( 1  x.  pi )
4810mulid2i 7935 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
4947, 48eqtri 2196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  -  1 )  x.  pi )  =  pi
5048oveq2i 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  pi )  -  ( 1  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  -  pi )
5145, 49, 503eqtr3ri 2205 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  pi )  -  pi )  =  pi
526simp2bi 1013 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  pi  <_  A )
5351, 52eqbrtrid 4033 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  (
( 2  x.  pi )  -  pi )  <_  A )
5433, 43, 7, 53subled 8479 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  (
( 2  x.  pi )  -  A )  <_  pi )
5540, 54eqbrtrd 4020 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  -u ( A  -  ( 2  x.  pi ) )  <_  pi )
5627, 1elicc2i 9910 . . . . 5  |-  ( -u ( A  -  (
2  x.  pi ) )  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( -u ( A  -  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
-u ( A  -  ( 2  x.  pi ) )  /\  -u ( A  -  ( 2  x.  pi ) )  <_  pi ) )
5735, 42, 55, 56syl3anbrc 1181 . . . 4  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  -u ( A  -  ( 2  x.  pi ) )  e.  ( 0 [,] pi ) )
5832, 57, 41cosordlem 13841 . . 3  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  ( cos `  -u ( A  -  ( 2  x.  pi ) ) )  < 
( cos `  0
) )
59 cos0 11706 . . 3  |-  ( cos `  0 )  =  1
6058, 59breqtrdi 4039 . 2  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  ( cos `  -u ( A  -  ( 2  x.  pi ) ) )  <  1 )
6124, 60eqbrtrrd 4022 1  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  ( cos `  A )  <  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2146   class class class wbr 3998   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   CCcc 7784   RRcr 7785   0cc0 7786   1c1 7787    + caddc 7789    x. cmul 7791   RR*cxr 7965    < clt 7966    <_ cle 7967    - cmin 8102   -ucneg 8103   2c2 8943   ZZcz 9226   [,)cico 9861   [,]cicc 9862   cosccos 11621   picpi 11623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906  ax-pre-suploc 7907  ax-addf 7908  ax-mulf 7909
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-disj 3976  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-of 6073  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-oadd 6411  df-er 6525  df-map 6640  df-pm 6641  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-5 8954  df-6 8955  df-7 8956  df-8 8957  df-9 8958  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-xneg 9743  df-xadd 9744  df-ioo 9863  df-ioc 9864  df-ico 9865  df-icc 9866  df-fz 9980  df-fzo 10113  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-fac 10674  df-bc 10696  df-ihash 10724  df-shft 10792  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-clim 11255  df-sumdc 11330  df-ef 11624  df-sin 11626  df-cos 11627  df-pi 11629  df-rest 12612  df-topgen 12631  df-psmet 13058  df-xmet 13059  df-met 13060  df-bl 13061  df-mopn 13062  df-top 13067  df-topon 13080  df-bases 13112  df-ntr 13167  df-cn 13259  df-cnp 13260  df-tx 13324  df-cncf 13629  df-limced 13696  df-dvap 13697
This theorem is referenced by:  cos02pilt1  13843
  Copyright terms: Public domain W3C validator