Theorem cosq34lt1 14985

Description: Cosine is less than one in the third and fourth quadrants. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cosq34lt1	|- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )

Proof of Theorem cosq34lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 14921	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
2		2re 9052	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
3	2, 1	remulcli 8033	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. pi ) e. RR
4	3	rexri 8077	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. pi ) e. RR*
5		elico2 10003	. . . . . . . 8 |- ( ( pi e. RR /\ ( 2 x. pi ) e. RR* ) -> ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A e. RR /\ pi <_ A /\ A < ( 2 x. pi ) ) ) )
6	1, 4, 5	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A e. RR /\ pi <_ A /\ A < ( 2 x. pi ) ) )
7	6	simp1bi 1014	. . . . . 6 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> A e. RR )
8	7	recnd 8048	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> A e. CC )
9		2cn 9053	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
10		picn 14922	. . . . . . 7 |- pi e. CC
11	9, 10	mulcli 8024	. . . . . 6 |- ( 2 x. pi ) e. CC
12	11	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( 2 x. pi ) e. CC )
13	8, 12	subcld 8330	. . . 4 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A - ( 2 x. pi ) ) e. CC )
14		cosneg 11870	. . . 4 |- ( ( A - ( 2 x. pi ) ) e. CC -> ( cos ` -u ( A - ( 2 x. pi ) ) ) = ( cos ` ( A - ( 2 x. pi ) ) ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` -u ( A - ( 2 x. pi ) ) ) = ( cos ` ( A - ( 2 x. pi ) ) ) )
16	12	mulm1d 8429	. . . . . 6 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( -u 1 x. ( 2 x. pi ) ) = -u ( 2 x. pi ) )
17	16	oveq2d 5934	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A + ( -u 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A + -u ( 2 x. pi ) ) )
18	8, 12	negsubd 8336	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A + -u ( 2 x. pi ) ) = ( A - ( 2 x. pi ) ) )
19	17, 18	eqtrd 2226	. . . 4 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A + ( -u 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A - ( 2 x. pi ) ) )
20	19	fveq2d 5558	. . 3 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` ( A + ( -u 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` ( A - ( 2 x. pi ) ) ) )
21		neg1z 9349	. . . 4 |- -u 1 e. ZZ
22		cosper 14945	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ -u 1 e. ZZ ) -> ( cos ` ( A + ( -u 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` A ) )
23	8, 21, 22	sylancl 413	. . 3 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` ( A + ( -u 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` A ) )
24	15, 20, 23	3eqtr2d 2232	. 2 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` -u ( A - ( 2 x. pi ) ) ) = ( cos ` A ) )
25		0xr 8066	. . . . 5 |- 0 e. RR*
26	1	rexri 8077	. . . . 5 |- pi e. RR*
27		0re 8019	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
28		pipos 14923	. . . . . . 7 |- 0 < pi
29	27, 1, 28	ltleii 8122	. . . . . 6 |- 0 <_ pi
30	29	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 <_ pi )
31		lbicc2 10050	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* /\ 0 <_ pi ) -> 0 e. ( 0 [,] pi ) )
32	25, 26, 30, 31	mp3an12i 1352	. . . 4 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 e. ( 0 [,] pi ) )
33	3	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( 2 x. pi ) e. RR )
34	7, 33	resubcld 8400	. . . . . 6 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A - ( 2 x. pi ) ) e. RR )
35	34	renegcld 8399	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> -u ( A - ( 2 x. pi ) ) e. RR )
36	27	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 e. RR )
37	6	simp3bi 1016	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> A < ( 2 x. pi ) )
38	7, 33	posdifd 8551	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A < ( 2 x. pi ) <-> 0 < ( ( 2 x. pi ) - A ) ) )
39	37, 38	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 < ( ( 2 x. pi ) - A ) )
40	8, 12	negsubdi2d 8346	. . . . . . 7 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> -u ( A - ( 2 x. pi ) ) = ( ( 2 x. pi ) - A ) )
41	39, 40	breqtrrd 4057	. . . . . 6 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 < -u ( A - ( 2 x. pi ) ) )
42	36, 35, 41	ltled 8138	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 <_ -u ( A - ( 2 x. pi ) ) )
43	1	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> pi e. RR )
44		ax-1cn 7965	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
45	9, 44, 10	subdiri 8427	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 - 1 ) x. pi ) = ( ( 2 x. pi ) - ( 1 x. pi ) )
46		2m1e1 9100	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 - 1 ) = 1
47	46	oveq1i 5928	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 - 1 ) x. pi ) = ( 1 x. pi )
48	10	mullidi 8022	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. pi ) = pi
49	47, 48	eqtri 2214	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 - 1 ) x. pi ) = pi
50	48	oveq2i 5929	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. pi ) - ( 1 x. pi ) ) = ( ( 2 x. pi ) - pi )
51	45, 49, 50	3eqtr3ri 2223	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. pi ) - pi ) = pi
52	6	simp2bi 1015	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> pi <_ A )
53	51, 52	eqbrtrid 4064	. . . . . . 7 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( ( 2 x. pi ) - pi ) <_ A )
54	33, 43, 7, 53	subled 8567	. . . . . 6 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( ( 2 x. pi ) - A ) <_ pi )
55	40, 54	eqbrtrd 4051	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> -u ( A - ( 2 x. pi ) ) <_ pi )
56	27, 1	elicc2i 10005	. . . . 5 |- ( -u ( A - ( 2 x. pi ) ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( -u ( A - ( 2 x. pi ) ) e. RR /\ 0 <_ -u ( A - ( 2 x. pi ) ) /\ -u ( A - ( 2 x. pi ) ) <_ pi ) )
57	35, 42, 55, 56	syl3anbrc 1183	. . . 4 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> -u ( A - ( 2 x. pi ) ) e. ( 0 [,] pi ) )
58	32, 57, 41	cosordlem 14984	. . 3 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` -u ( A - ( 2 x. pi ) ) ) < ( cos ` 0 ) )
59		cos0 11873	. . 3 |- ( cos ` 0 ) = 1
60	58, 59	breqtrdi 4070	. 2 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` -u ( A - ( 2 x. pi ) ) ) < 1 )
61	24, 60	eqbrtrrd 4053	1 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   x. cmul 7877   RR*cxr 8053   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   -ucneg 8191   2c2 9033   ZZcz 9317   [,)cico 9956   [,]cicc 9957   cosccos 11788   picpi 11790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992  ax-pre-suploc 7993  ax-addf 7994  ax-mulf 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-disj 4007  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-of 6130  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-map 6704  df-pm 6705  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-xneg 9838  df-xadd 9839  df-ioo 9958  df-ioc 9959  df-ico 9960  df-icc 9961  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-fac 10797  df-bc 10819  df-ihash 10847  df-shft 10959  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497  df-ef 11791  df-sin 11793  df-cos 11794  df-pi 11796  df-rest 12852  df-topgen 12871  df-psmet 14039  df-xmet 14040  df-met 14041  df-bl 14042  df-mopn 14043  df-top 14166  df-topon 14179  df-bases 14211  df-ntr 14264  df-cn 14356  df-cnp 14357  df-tx 14421  df-cncf 14726  df-limced 14810  df-dvap 14811

This theorem is referenced by:  cos02pilt1  14986