Theorem cosq34lt1 14356

Description: Cosine is less than one in the third and fourth quadrants. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cosq34lt1	|- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )

Proof of Theorem cosq34lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 14292	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
2		2re 8991	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
3	2, 1	remulcli 7973	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. pi ) e. RR
4	3	rexri 8017	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. pi ) e. RR*
5		elico2 9939	. . . . . . . 8 |- ( ( pi e. RR /\ ( 2 x. pi ) e. RR* ) -> ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A e. RR /\ pi <_ A /\ A < ( 2 x. pi ) ) ) )
6	1, 4, 5	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A e. RR /\ pi <_ A /\ A < ( 2 x. pi ) ) )
7	6	simp1bi 1012	. . . . . 6 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> A e. RR )
8	7	recnd 7988	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> A e. CC )
9		2cn 8992	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
10		picn 14293	. . . . . . 7 |- pi e. CC
11	9, 10	mulcli 7964	. . . . . 6 |- ( 2 x. pi ) e. CC
12	11	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( 2 x. pi ) e. CC )
13	8, 12	subcld 8270	. . . 4 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A - ( 2 x. pi ) ) e. CC )
14		cosneg 11737	. . . 4 |- ( ( A - ( 2 x. pi ) ) e. CC -> ( cos ` -u ( A - ( 2 x. pi ) ) ) = ( cos ` ( A - ( 2 x. pi ) ) ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` -u ( A - ( 2 x. pi ) ) ) = ( cos ` ( A - ( 2 x. pi ) ) ) )
16	12	mulm1d 8369	. . . . . 6 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( -u 1 x. ( 2 x. pi ) ) = -u ( 2 x. pi ) )
17	16	oveq2d 5893	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A + ( -u 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A + -u ( 2 x. pi ) ) )
18	8, 12	negsubd 8276	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A + -u ( 2 x. pi ) ) = ( A - ( 2 x. pi ) ) )
19	17, 18	eqtrd 2210	. . . 4 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A + ( -u 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A - ( 2 x. pi ) ) )
20	19	fveq2d 5521	. . 3 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` ( A + ( -u 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` ( A - ( 2 x. pi ) ) ) )
21		neg1z 9287	. . . 4 |- -u 1 e. ZZ
22		cosper 14316	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ -u 1 e. ZZ ) -> ( cos ` ( A + ( -u 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` A ) )
23	8, 21, 22	sylancl 413	. . 3 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` ( A + ( -u 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` A ) )
24	15, 20, 23	3eqtr2d 2216	. 2 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` -u ( A - ( 2 x. pi ) ) ) = ( cos ` A ) )
25		0xr 8006	. . . . 5 |- 0 e. RR*
26	1	rexri 8017	. . . . 5 |- pi e. RR*
27		0re 7959	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
28		pipos 14294	. . . . . . 7 |- 0 < pi
29	27, 1, 28	ltleii 8062	. . . . . 6 |- 0 <_ pi
30	29	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 <_ pi )
31		lbicc2 9986	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* /\ 0 <_ pi ) -> 0 e. ( 0 [,] pi ) )
32	25, 26, 30, 31	mp3an12i 1341	. . . 4 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 e. ( 0 [,] pi ) )
33	3	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( 2 x. pi ) e. RR )
34	7, 33	resubcld 8340	. . . . . 6 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A - ( 2 x. pi ) ) e. RR )
35	34	renegcld 8339	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> -u ( A - ( 2 x. pi ) ) e. RR )
36	27	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 e. RR )
37	6	simp3bi 1014	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> A < ( 2 x. pi ) )
38	7, 33	posdifd 8491	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A < ( 2 x. pi ) <-> 0 < ( ( 2 x. pi ) - A ) ) )
39	37, 38	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 < ( ( 2 x. pi ) - A ) )
40	8, 12	negsubdi2d 8286	. . . . . . 7 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> -u ( A - ( 2 x. pi ) ) = ( ( 2 x. pi ) - A ) )
41	39, 40	breqtrrd 4033	. . . . . 6 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 < -u ( A - ( 2 x. pi ) ) )
42	36, 35, 41	ltled 8078	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 <_ -u ( A - ( 2 x. pi ) ) )
43	1	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> pi e. RR )
44		ax-1cn 7906	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
45	9, 44, 10	subdiri 8367	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 - 1 ) x. pi ) = ( ( 2 x. pi ) - ( 1 x. pi ) )
46		2m1e1 9039	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 - 1 ) = 1
47	46	oveq1i 5887	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 - 1 ) x. pi ) = ( 1 x. pi )
48	10	mullidi 7962	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. pi ) = pi
49	47, 48	eqtri 2198	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 - 1 ) x. pi ) = pi
50	48	oveq2i 5888	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. pi ) - ( 1 x. pi ) ) = ( ( 2 x. pi ) - pi )
51	45, 49, 50	3eqtr3ri 2207	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. pi ) - pi ) = pi
52	6	simp2bi 1013	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> pi <_ A )
53	51, 52	eqbrtrid 4040	. . . . . . 7 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( ( 2 x. pi ) - pi ) <_ A )
54	33, 43, 7, 53	subled 8507	. . . . . 6 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( ( 2 x. pi ) - A ) <_ pi )
55	40, 54	eqbrtrd 4027	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> -u ( A - ( 2 x. pi ) ) <_ pi )
56	27, 1	elicc2i 9941	. . . . 5 |- ( -u ( A - ( 2 x. pi ) ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( -u ( A - ( 2 x. pi ) ) e. RR /\ 0 <_ -u ( A - ( 2 x. pi ) ) /\ -u ( A - ( 2 x. pi ) ) <_ pi ) )
57	35, 42, 55, 56	syl3anbrc 1181	. . . 4 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> -u ( A - ( 2 x. pi ) ) e. ( 0 [,] pi ) )
58	32, 57, 41	cosordlem 14355	. . 3 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` -u ( A - ( 2 x. pi ) ) ) < ( cos ` 0 ) )
59		cos0 11740	. . 3 |- ( cos ` 0 ) = 1
60	58, 59	breqtrdi 4046	. 2 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` -u ( A - ( 2 x. pi ) ) ) < 1 )
61	24, 60	eqbrtrrd 4029	1 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   CCcc 7811   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814   + caddc 7816   x. cmul 7818   RR*cxr 7993   < clt 7994   <_ cle 7995   - cmin 8130   -ucneg 8131   2c2 8972   ZZcz 9255   [,)cico 9892   [,]cicc 9893   cosccos 11655   picpi 11657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933  ax-pre-suploc 7934  ax-addf 7935  ax-mulf 7936

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-disj 3983  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-of 6085  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-map 6652  df-pm 6653  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-9 8987  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-xadd 9775  df-ioo 9894  df-ioc 9895  df-ico 9896  df-icc 9897  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-fac 10708  df-bc 10730  df-ihash 10758  df-shft 10826  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364  df-ef 11658  df-sin 11660  df-cos 11661  df-pi 11663  df-rest 12695  df-topgen 12714  df-psmet 13532  df-xmet 13533  df-met 13534  df-bl 13535  df-mopn 13536  df-top 13583  df-topon 13596  df-bases 13628  df-ntr 13681  df-cn 13773  df-cnp 13774  df-tx 13838  df-cncf 14143  df-limced 14210  df-dvap 14211

This theorem is referenced by:  cos02pilt1  14357