Theorem cosq34lt1 15661

Description: Cosine is less than one in the third and fourth quadrants. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cosq34lt1	|- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )

Proof of Theorem cosq34lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 15597	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
2		2re 9272	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
3	2, 1	remulcli 8253	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. pi ) e. RR
4	3	rexri 8296	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. pi ) e. RR*
5		elico2 10233	. . . . . . . 8 |- ( ( pi e. RR /\ ( 2 x. pi ) e. RR* ) -> ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A e. RR /\ pi <_ A /\ A < ( 2 x. pi ) ) ) )
6	1, 4, 5	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A e. RR /\ pi <_ A /\ A < ( 2 x. pi ) ) )
7	6	simp1bi 1039	. . . . . 6 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> A e. RR )
8	7	recnd 8267	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> A e. CC )
9		2cn 9273	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
10		picn 15598	. . . . . . 7 |- pi e. CC
11	9, 10	mulcli 8244	. . . . . 6 |- ( 2 x. pi ) e. CC
12	11	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( 2 x. pi ) e. CC )
13	8, 12	subcld 8549	. . . 4 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A - ( 2 x. pi ) ) e. CC )
14		cosneg 12368	. . . 4 |- ( ( A - ( 2 x. pi ) ) e. CC -> ( cos ` -u ( A - ( 2 x. pi ) ) ) = ( cos ` ( A - ( 2 x. pi ) ) ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` -u ( A - ( 2 x. pi ) ) ) = ( cos ` ( A - ( 2 x. pi ) ) ) )
16	12	mulm1d 8648	. . . . . 6 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( -u 1 x. ( 2 x. pi ) ) = -u ( 2 x. pi ) )
17	16	oveq2d 6044	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A + ( -u 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A + -u ( 2 x. pi ) ) )
18	8, 12	negsubd 8555	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A + -u ( 2 x. pi ) ) = ( A - ( 2 x. pi ) ) )
19	17, 18	eqtrd 2264	. . . 4 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A + ( -u 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A - ( 2 x. pi ) ) )
20	19	fveq2d 5652	. . 3 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` ( A + ( -u 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` ( A - ( 2 x. pi ) ) ) )
21		neg1z 9572	. . . 4 |- -u 1 e. ZZ
22		cosper 15621	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ -u 1 e. ZZ ) -> ( cos ` ( A + ( -u 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` A ) )
23	8, 21, 22	sylancl 413	. . 3 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` ( A + ( -u 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` A ) )
24	15, 20, 23	3eqtr2d 2270	. 2 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` -u ( A - ( 2 x. pi ) ) ) = ( cos ` A ) )
25		0xr 8285	. . . . 5 |- 0 e. RR*
26	1	rexri 8296	. . . . 5 |- pi e. RR*
27		0re 8239	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
28		pipos 15599	. . . . . . 7 |- 0 < pi
29	27, 1, 28	ltleii 8341	. . . . . 6 |- 0 <_ pi
30	29	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 <_ pi )
31		lbicc2 10280	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* /\ 0 <_ pi ) -> 0 e. ( 0 [,] pi ) )
32	25, 26, 30, 31	mp3an12i 1378	. . . 4 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 e. ( 0 [,] pi ) )
33	3	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( 2 x. pi ) e. RR )
34	7, 33	resubcld 8619	. . . . . 6 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A - ( 2 x. pi ) ) e. RR )
35	34	renegcld 8618	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> -u ( A - ( 2 x. pi ) ) e. RR )
36	27	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 e. RR )
37	6	simp3bi 1041	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> A < ( 2 x. pi ) )
38	7, 33	posdifd 8771	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A < ( 2 x. pi ) <-> 0 < ( ( 2 x. pi ) - A ) ) )
39	37, 38	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 < ( ( 2 x. pi ) - A ) )
40	8, 12	negsubdi2d 8565	. . . . . . 7 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> -u ( A - ( 2 x. pi ) ) = ( ( 2 x. pi ) - A ) )
41	39, 40	breqtrrd 4121	. . . . . 6 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 < -u ( A - ( 2 x. pi ) ) )
42	36, 35, 41	ltled 8357	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 <_ -u ( A - ( 2 x. pi ) ) )
43	1	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> pi e. RR )
44		ax-1cn 8185	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
45	9, 44, 10	subdiri 8646	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 - 1 ) x. pi ) = ( ( 2 x. pi ) - ( 1 x. pi ) )
46		2m1e1 9320	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 - 1 ) = 1
47	46	oveq1i 6038	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 - 1 ) x. pi ) = ( 1 x. pi )
48	10	mullidi 8242	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. pi ) = pi
49	47, 48	eqtri 2252	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 - 1 ) x. pi ) = pi
50	48	oveq2i 6039	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. pi ) - ( 1 x. pi ) ) = ( ( 2 x. pi ) - pi )
51	45, 49, 50	3eqtr3ri 2261	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. pi ) - pi ) = pi
52	6	simp2bi 1040	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> pi <_ A )
53	51, 52	eqbrtrid 4128	. . . . . . 7 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( ( 2 x. pi ) - pi ) <_ A )
54	33, 43, 7, 53	subled 8787	. . . . . 6 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( ( 2 x. pi ) - A ) <_ pi )
55	40, 54	eqbrtrd 4115	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> -u ( A - ( 2 x. pi ) ) <_ pi )
56	27, 1	elicc2i 10235	. . . . 5 |- ( -u ( A - ( 2 x. pi ) ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( -u ( A - ( 2 x. pi ) ) e. RR /\ 0 <_ -u ( A - ( 2 x. pi ) ) /\ -u ( A - ( 2 x. pi ) ) <_ pi ) )
57	35, 42, 55, 56	syl3anbrc 1208	. . . 4 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> -u ( A - ( 2 x. pi ) ) e. ( 0 [,] pi ) )
58	32, 57, 41	cosordlem 15660	. . 3 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` -u ( A - ( 2 x. pi ) ) ) < ( cos ` 0 ) )
59		cos0 12371	. . 3 |- ( cos ` 0 ) = 1
60	58, 59	breqtrdi 4134	. 2 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` -u ( A - ( 2 x. pi ) ) ) < 1 )
61	24, 60	eqbrtrrd 4117	1 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   RRcr 8091   0cc0 8092   1c1 8093   + caddc 8095   x. cmul 8097   RR*cxr 8272   < clt 8273   <_ cle 8274   - cmin 8409   -ucneg 8410   2c2 9253   ZZcz 9540   [,)cico 10186   [,]cicc 10187   cosccos 12286   picpi 12288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212  ax-pre-suploc 8213  ax-addf 8214  ax-mulf 8215

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-pm 6863  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7243  df-inf 7244  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-5 9264  df-6 9265  df-7 9266  df-8 9267  df-9 9268  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-xneg 10068  df-xadd 10069  df-ioo 10188  df-ioc 10189  df-ico 10190  df-icc 10191  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-fac 11051  df-bc 11073  df-ihash 11101  df-shft 11455  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-clim 11919  df-sumdc 11994  df-ef 12289  df-sin 12291  df-cos 12292  df-pi 12294  df-rest 13404  df-topgen 13423  df-psmet 14639  df-xmet 14640  df-met 14641  df-bl 14642  df-mopn 14643  df-top 14809  df-topon 14822  df-bases 14854  df-ntr 14907  df-cn 14999  df-cnp 15000  df-tx 15064  df-cncf 15382  df-limced 15467  df-dvap 15468

This theorem is referenced by:  cos02pilt1  15662