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Theorem mertenslem2 10993
Description: Lemma for mertensabs 10994. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mertens.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  j )  =  A )
mertens.2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  =  ( abs `  A ) )
mertens.3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
mertens.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  B )
mertens.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
mertens.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `
 ( k  -  j ) ) ) )
mertens.7  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  K )  e. 
dom 
~~>  )
mertens.8  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
mertens.9  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
mertens.10  |-  T  =  { z  |  E. n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) ) }
mertens.11  |-  ( ps  <->  ( s  e.  NN  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  <  ( ( E  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
mertenslem2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  E )
Distinct variable groups:    j, m, n, s, y, z, B   
j, k, G, m, n, s, y, z    ph, j, k, m, y, z    A, k, m, n, s, y    j, E, k, m, n, s, y, z    j, K, k, m, n, s, y, z    j, F, m, n, y    ps, j, k, m, n, y, z    T, j, k, m, n, y, z    k, H, m, y    ph, n, s
Allowed substitution hints:    ps( s)    A( z,
j)    B( k)    T( s)    F( z, k, s)    H( z, j, n, s)

Proof of Theorem mertenslem2
Dummy variables  t  w  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9117 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 8840 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
3 mertens.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
43rphalfcld 9249 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  /  2
)  e.  RR+ )
5 nn0uz 9116 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
6 0zd 8825 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
7 eqidd 2090 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  =  ( K `  j ) )
8 mertens.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  =  ( abs `  A ) )
9 mertens.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
109abscld 10677 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
118, 10eqeltrd 2165 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  e.  RR )
12 mertens.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  K )  e. 
dom 
~~>  )
135, 6, 7, 11, 12isumrecl 10886 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  e.  RR )
149absge0d 10680 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
1514, 8breqtrrd 3879 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( K `  j ) )
165, 6, 7, 11, 12, 15isumge0 10887 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ j  e. 
NN0  ( K `  j ) )
1713, 16ge0p1rpd 9267 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 )  e.  RR+ )
184, 17rpdivcld 9254 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E  / 
2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) )  e.  RR+ )
19 eqidd 2090 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m
)  =  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m
) )
20 mertens.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  B )
21 mertens.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
22 mertens.8 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
235, 6, 20, 21, 22isumclim2 10879 . . 3  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  G )  ~~>  sum_ k  e.  NN0  B )
241, 2, 18, 19, 23climi2 10739 . 2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  G
) `  m )  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  <  (
( E  /  2
)  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `
 j )  +  1 ) ) )
25 eluznn 9150 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  s ) )  ->  m  e.  NN )
2620, 21eqeltrd 2165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
275, 6, 26serf 9963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  G ) : NN0 --> CC )
28 nnnn0 8743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
29 ffvelrn 5448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq 0 (  +  ,  G ) : NN0 --> CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m
)  e.  CC )
3027, 28, 29syl2an 284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m
)  e.  CC )
315, 6, 20, 21, 22isumcl 10882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN0  B  e.  CC )
3231adantr 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  NN0  B  e.  CC )
3330, 32abssubd 10689 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  G
) `  m )  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  =  ( abs `  ( sum_ k  e.  NN0  B  -  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )
34 eqid 2089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) )
3528adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e. 
NN0 )
36 peano2nn0 8776 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e. 
NN0 )
3735, 36syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e. 
NN0 )
3837nn0zd 8929 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e.  ZZ )
39 simpll 497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  ->  ph )
40 eluznn0 9149 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
4137, 40sylan 278 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
4239, 41, 20syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  =  B )
4339, 41, 21syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  ->  B  e.  CC )
4422adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  seq 0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )
4526adantlr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
465, 37, 45iserex 10790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  (  seq 0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  <->  seq ( m  +  1
) (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  ) )
4744, 46mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  seq (
m  +  1 ) (  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )
4834, 38, 42, 43, 47isumcl 10882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) B  e.  CC )
4930, 48pncan2d 7858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( (  seq 0 (  +  ,  G ) `
 m )  + 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) B )  -  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m
) )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) B )
5020adantlr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  B )
5121adantlr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
525, 34, 37, 50, 51, 44isumsplit 10948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  NN0  B  =  (
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  -  1 ) ) B  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) B ) )
53 nncn 8493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
5453adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
55 ax-1cn 7501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
56 pncan 7751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( m  + 
1 )  -  1 )  =  m )
5754, 55, 56sylancl 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  +  1 )  -  1 )  =  m )
5857oveq2d 5684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... m
) )
5958sumeq1d 10818 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( m  +  1 )  -  1 ) ) B  =  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) B )
60 elnn0uz 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  <->  k  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
6160, 50sylan2br 283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( G `  k )  =  B )
6235, 5syl6eleq 2181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
6360, 51sylan2br 283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  B  e.  CC )
6461, 62, 63fsum3ser 10854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) B  =  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m ) )
6559, 64eqtrd 2121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( m  +  1 )  -  1 ) ) B  =  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m ) )
6665oveq1d 5683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  - 
1 ) ) B  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) B )  =  ( (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) B ) )
6752, 66eqtrd 2121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  NN0  B  =  ( (  seq 0 (  +  ,  G ) `
 m )  + 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) B ) )
6867oveq1d 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  -  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m ) )  =  ( ( (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) B )  -  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m
) ) )
6942sumeq2dv 10820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( G `  k
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) B )
7049, 68, 693eqtr4d 2131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  -  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m ) )  = 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) ( G `  k ) )
7170fveq2d 5324 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  NN0  B  -  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  m )
) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( G `  k
) ) )
7233, 71eqtrd 2121 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  G
) `  m )  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( G `  k
) ) )
7372breq1d 3863 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m )  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  <  ( ( E  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) )  <->  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  <  ( ( E  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
7425, 73sylan2 281 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  s )
) )  ->  (
( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  G ) `  m )  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  <  ( ( E  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) )  <->  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  <  ( ( E  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
7574anassrs 393 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  s )
)  ->  ( ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  G ) `  m
)  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  <  ( ( E  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) )  <-> 
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( E  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
7675ralbidva 2377 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  G
) `  m )  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  <  (
( E  /  2
)  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `
 j )  +  1 ) )  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  s )
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( E  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
77 fvoveq1 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( ZZ>=
`  ( m  + 
1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
7877sumeq1d 10818 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( G `  k
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) )
7978fveq2d 5324 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) ) )
8079breq1d 3863 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( E  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) )  <-> 
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( E  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
8180cbvralv 2593 . . . . 5  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  <  ( ( E  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) )  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  s )
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( E  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) )
8276, 81syl6bb 195 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  G
) `  m )  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  <  (
( E  /  2
)  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `
 j )  +  1 ) )  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  s )
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( E  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
83 mertens.11 . . . . . 6  |-  ( ps  <->  ( s  e.  NN  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  <  ( ( E  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
84 0zd 8825 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  0  e.  ZZ )
854adantr 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( E  /  2
)  e.  RR+ )
8683simplbi 269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  s  e.  NN )
8786adantl 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  s  e.  NN )
8887nnrpd 9235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  s  e.  RR+ )
8985, 88rpdivcld 9254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( E  / 
2 )  /  s
)  e.  RR+ )
9087nnzd 8930 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  s  e.  ZZ )
91 1zzd 8840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  1  e.  ZZ )
9290, 91zsubcld 8936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( s  -  1 )  e.  ZZ )
9384, 92fzfigd 9901 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( 0 ... (
s  -  1 ) )  e.  Fin )
94 eqid 2089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) )
95 elfznn0 9591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
9695adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
97 peano2nn0 8776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
9896, 97syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
9998nn0zd 8929 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ZZ )
100 eqidd 2090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
101 simplll 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ph )
102 eluznn0 9149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
10398, 102sylan 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
104101, 103, 26syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
10522ad2antrr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  seq 0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )
106 simpll 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  ph )
107106, 26sylan 278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
1085, 98, 107iserex 10790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  (  seq 0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  <->  seq ( n  +  1
) (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  ) )
109105, 108mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  seq (
n  +  1 ) (  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )
11094, 99, 100, 104, 109isumcl 10882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
)  e.  CC )
111110abscld 10677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  e.  RR )
11293, 111fsumrecl 10858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( s  - 
1 ) ) ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) )  e.  RR )
113 0red 7552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  0  e.  RR )
114 nnnn0 8743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
115114, 20sylan2 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  =  B )
116114, 21sylan2 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
117 1nn0 8752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  NN0
118117a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
1195, 118, 26iserex 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  (  seq 0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  <->  seq 1
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  ) )
12022, 119mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
1211, 2, 115, 116, 120isumcl 10882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN  B  e.  CC )
122121adantr 271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  NN  B  e.  CC )
123122abscld 10677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  e.  RR )
124122absge0d 10680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  0  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  NN  B ) )
12520adantlr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  B )
12621adantlr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
12722adantr 271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  seq 0 (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
128 mertens.10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  =  { z  |  E. n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) ) }
129 nnm1nn0 8777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  -  1 )  e.  NN0 )
13087, 129syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( s  -  1 )  e.  NN0 )
131130, 5syl6eleq 2181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( s  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
132 eluzfz1 9508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) )
133131, 132syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  0  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) )
134115sumeq2dv 10820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN  ( G `  k )  =  sum_ k  e.  NN  B )
135134adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  NN  ( G `  k )  =  sum_ k  e.  NN  B )
136135fveq2d 5324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  NN  ( G `  k )
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B ) )
137136eqcomd 2094 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  NN  ( G `  k ) ) )
138 fv0p1e1 8600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  0  ->  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) )  =  ( ZZ>= `  1 )
)
139138, 1syl6eqr 2139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  0  ->  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) )  =  NN )
140139sumeq1d 10818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  0  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
)  =  sum_ k  e.  NN  ( G `  k ) )
141140fveq2d 5324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  0  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  NN  ( G `  k ) ) )
142141rspceeqv 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) )  /\  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B )  =  ( abs `  sum_ k  e.  NN  ( G `  k )
) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) ) )
143133, 137, 142syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) ) )
144 eqeq1 2095 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  ->  ( z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <-> 
( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) ) ) )
145144rexbidv 2382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  ->  ( E. n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <->  E. n  e.  (
0 ... ( s  - 
1 ) ) ( abs `  sum_ k  e.  NN  B )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) ) ) )
146145, 128elab2g 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs `  sum_ k  e.  NN  B )  e.  RR  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  NN  B )  e.  T  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) ( abs `  sum_ k  e.  NN  B )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) ) ) )
147123, 146syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  e.  T  <->  E. n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) ) ) )
148143, 147mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  e.  T )
149125, 126, 127, 128, 148, 87mertenslemub 10991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  NN  B
)  <_  sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) ) )
150113, 123, 112, 124, 149letrd 7670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  0  <_  sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) ) )
151112, 150ge0p1rpd 9267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  +  1 )  e.  RR+ )
15289, 151rpdivcld 9254 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
153 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  NN0 )
154 fveq2 5320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  m  ->  ( K `  j )  =  ( K `  m ) )
155154eleq1d 2157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  m  ->  (
( K `  j
)  e.  RR  <->  ( K `  m )  e.  RR ) )
15611ralrimiva 2447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. j  e.  NN0  ( K `  j )  e.  RR )
157156ad2antrr 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  m  e.  NN0 )  ->  A. j  e.  NN0  ( K `  j )  e.  RR )
158155, 157, 153rspcdva 2730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( K `  m )  e.  RR )
159 fveq2 5320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  ( K `  n )  =  ( K `  m ) )
160 eqid 2089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( K `  n ) )
161159, 160fvmptg 5395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( K `  m )  e.  RR )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( K `  n ) ) `  m )  =  ( K `  m ) )
162153, 158, 161syl2anc 404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) ) `
 m )  =  ( K `  m
) )
163 nn0ex 8742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN0  e.  _V
164163mptex 5539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) )  e.  _V
165164a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( K `  n ) )  e.  _V )
16660biimpri 132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  k  e.  NN0 )
167 fveq2 5320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  k  ->  ( K `  j )  =  ( K `  k ) )
168167eleq1d 2157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  k  ->  (
( K `  j
)  e.  RR  <->  ( K `  k )  e.  RR ) )
169156adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  A. j  e.  NN0  ( K `  j )  e.  RR )
170 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
171168, 169, 170rspcdva 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( K `  k )  e.  RR )
17260, 171sylan2br 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( K `  k )  e.  RR )
173 fveq2 5320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  ( K `  n )  =  ( K `  k ) )
174173, 160fvmptg 5395 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( K `  k )  e.  RR )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( K `  n ) ) `  k )  =  ( K `  k ) )
175166, 172, 174syl2an2 562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) ) `
 k )  =  ( K `  k
) )
176175, 172eqeltrd 2165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) ) `
 k )  e.  RR )
177 elnn0uz 9119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN0  <->  j  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
178 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  NN0 )
179 fveq2 5320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  ( K `  n )  =  ( K `  j ) )
180179, 160fvmptg 5395 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  NN0  /\  ( K `  j )  e.  RR )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( K `  n ) ) `  j )  =  ( K `  j ) )
181178, 11, 180syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) ) `
 j )  =  ( K `  j
) )
182177, 181sylan2br 283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) ) `
 j )  =  ( K `  j
) )
183 readdcl 7531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( k  +  y )  e.  RR )
184183adantl 272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( k  +  y )  e.  RR )
1856, 176, 182, 184seq3feq 9960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( K `  n ) ) )  =  seq 0 (  +  ,  K ) )
186185, 12eqeltrd 2165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( K `  n ) ) )  e.  dom  ~~>  )
187181, 11eqeltrd 2165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) ) `
 j )  e.  RR )
188187recnd 7579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( K `
 n ) ) `
 j )  e.  CC )
1895, 6, 165, 186, 188serf0 10804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( K `  n ) )  ~~>  0 )
190189adantr 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( K `  n ) )  ~~>  0 )
1915, 84, 152, 162, 190climi0 10740 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. t  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  t ) ( abs `  ( K `  m
) )  <  (
( ( E  / 
2 )  /  s
)  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  +  1 ) ) )
192 fveq2 5320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  a  ->  ( G `  k )  =  ( G `  a ) )
193192cbvsumv 10813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
)  =  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  a
)
194193fveq2i 5323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  =  ( abs `  sum_ a  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  a ) )
195194a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  =  ( abs `  sum_ a  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  a ) ) )
196195sumeq2i 10816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )
197196oveq1i 5678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  +  1 )  =  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 )
198197oveq2i 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( E  /  2 )  /  s )  / 
( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) )
199198breq2i 3861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( K `
 m ) )  <  ( ( ( E  /  2 )  /  s )  / 
( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  +  1 ) )  <-> 
( abs `  ( K `  m )
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) ) )
200199ralbii 2385 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  t ) ( abs `  ( K `  m
) )  <  (
( ( E  / 
2 )  /  s
)  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  +  1 ) )  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  t ) ( abs `  ( K `
 m ) )  <  ( ( ( E  /  2 )  /  s )  / 
( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) ) )
201200rexbii 2386 . . . . . . . . 9  |-  ( E. t  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  t )
( abs `  ( K `  m )
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  +  1 ) )  <->  E. t  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  t ) ( abs `  ( K `  m
) )  <  (
( ( E  / 
2 )  /  s
)  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  a ) )  +  1 ) ) )
202191, 201sylib 121 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. t  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  t ) ( abs `  ( K `  m
) )  <  (
( ( E  / 
2 )  /  s
)  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  a ) )  +  1 ) ) )
203 simplll 501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  t  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  t )
)  ->  ph )
204 eluznn0 9149 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  NN0  /\  m  e.  ( ZZ>= `  t ) )  ->  m  e.  NN0 )
205204adantll 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  t  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  t )
)  ->  m  e.  NN0 )
20611, 15absidd 10663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( K `  j
) )  =  ( K `  j ) )
207206ralrimiva 2447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. j  e.  NN0  ( abs `  ( K `
 j ) )  =  ( K `  j ) )
208154fveq2d 5324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  m  ->  ( abs `  ( K `  j ) )  =  ( abs `  ( K `  m )
) )
209208, 154eqeq12d 2103 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  m  ->  (
( abs `  ( K `  j )
)  =  ( K `
 j )  <->  ( abs `  ( K `  m
) )  =  ( K `  m ) ) )
210209rspccva 2724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. j  e.  NN0  ( abs `  ( K `
 j ) )  =  ( K `  j )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( K `  m ) )  =  ( K `  m
) )
211207, 210sylan 278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( K `  m
) )  =  ( K `  m ) )
212203, 205, 211syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  t  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  t )
)  ->  ( abs `  ( K `  m
) )  =  ( K `  m ) )
213212breq1d 3863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  t  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  t )
)  ->  ( ( abs `  ( K `  m ) )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  a
) )  +  1 ) )  <->  ( K `  m )  <  (
( ( E  / 
2 )  /  s
)  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  a ) )  +  1 ) ) ) )
214213ralbidva 2377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  t  e.  NN0 )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  t )
( abs `  ( K `  m )
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) )  <->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  t ) ( K `  m )  <  ( ( ( E  /  2 )  /  s )  / 
( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) ) ) )
215 nfv 1467 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ m
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) )
216 nfcv 2229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
( K `  m
)
217 nfcv 2229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n  <
218 nfcv 2229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
( ( E  / 
2 )  /  s
)
219 nfcv 2229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n  /
220 nfcv 2229 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( 0 ... (
s  -  1 ) )
221220nfsum1 10808 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  a
) )
222 nfcv 2229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n  +
223 nfcv 2229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
1
224221, 222, 223nfov 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 )
225218, 219, 224nfov 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  a
) )  +  1 ) )
226216, 217, 225nfbr 3897 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n
( K `  m
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) )
227159breq1d 3863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) )  <-> 
( K `  m
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) ) ) )
228215, 226, 227cbvral 2589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 n )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  a
) )  +  1 ) )  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  m
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) ) )
229214, 228syl6bbr 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  t  e.  NN0 )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  t )
( abs `  ( K `  m )
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) )  <->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  t ) ( K `  n )  <  ( ( ( E  /  2 )  /  s )  / 
( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) ) ) )
230 simpll 497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) ) ) )  ->  ph )
231 mertens.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  j )  =  A )
232230, 231sylan 278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  (
t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 n )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  a
) )  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  j )  =  A )
233230, 8sylan 278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  (
t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 n )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  a
) )  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  =  ( abs `  A ) )
234230, 9sylan 278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  (
t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 n )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  a
) )  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
235230, 20sylan 278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  (
t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 n )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  a
) )  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  B )
236230, 21sylan 278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  (
t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 n )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  a
) )  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
237 mertens.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `
 ( k  -  j ) ) ) )
238230, 237sylan 278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  (
t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 n )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  a
) )  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `
 ( k  -  j ) ) ) )
23912ad2antrr 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) ) ) )  ->  seq 0 (  +  ,  K )  e.  dom  ~~>  )
24022ad2antrr 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) ) ) )  ->  seq 0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
2413ad2antrr 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) ) ) )  ->  E  e.  RR+ )
242196, 112syl5eqelr 2176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( s  - 
1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  a
) )  e.  RR )
243242adantr 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  e.  RR )
244228anbi2i 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t ) ( K `
 n )  < 
( ( ( E  /  2 )  / 
s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  a
) )  +  1 ) ) )  <->  ( t  e.  NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  m
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) ) ) )
245244anbi2i 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ps  /\  ( t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) ) ) )  <->  ( ps  /\  ( t  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  t ) ( K `  m )  <  ( ( ( E  /  2 )  /  s )  / 
( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) ) ) ) )
246245biimpi 119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ps  /\  ( t  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ps  /\  ( t  e. 
NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  m
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) ) ) ) )
247246adantll 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ps  /\  ( t  e. 
NN0  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  m
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) ) ) ) )
248150, 196syl6breq 3892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  0  <_  sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) ) )
249248adantr 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) ) ) )  ->  0  <_ 
sum_ n  e.  (
0 ... ( s  - 
1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  a
) ) )
250 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  w  e.  T )  /\  a  e.  NN0 )  ->  a  e.  NN0 )
25120ralrimiva 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( G `  k )  =  B )
252251ad3antrrr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  w  e.  T )  /\  a  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  NN0  ( G `  k )  =  B )
253 nfcsb1v 2966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k [_ a  /  k ]_ B
254253nfeq2 2241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k ( G `  a
)  =  [_ a  /  k ]_ B
255 csbeq1a 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  a  ->  B  =  [_ a  /  k ]_ B )
256192, 255eqeq12d 2103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  a  ->  (
( G `  k
)  =  B  <->  ( G `  a )  =  [_ a  /  k ]_ B
) )
257254, 256rspc 2719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  NN0  ( G `
 k )  =  B  ->  ( G `  a )  =  [_ a  /  k ]_ B
) )
258250, 252, 257sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  w  e.  T )  /\  a  e.  NN0 )  ->  ( G `  a )  =  [_ a  /  k ]_ B )
25921ralrimiva 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  B  e.  CC )
260259ad3antrrr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  w  e.  T )  /\  a  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  NN0  B  e.  CC )
261253nfel1 2240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k
[_ a  /  k ]_ B  e.  CC
262255eleq1d 2157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  a  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ a  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
263261, 262rspc 2719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  NN0  B  e.  CC  ->  [_ a  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
264250, 260, 263sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  w  e.  T )  /\  a  e.  NN0 )  ->  [_ a  /  k ]_ B  e.  CC )
26522ad2antrr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  w  e.  T
)  ->  seq 0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )
266194eqeq2i 2099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <-> 
z  =  ( abs `  sum_ a  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  a ) ) )
267266rexbii 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <->  E. n  e.  (
0 ... ( s  - 
1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) ) )
268267abbii 2204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { z  |  E. n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) ) }  =  { z  |  E. n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) ) }
269128, 268eqtri 2109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  { z  |  E. n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) ) }
270 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  w  e.  T
)  ->  w  e.  T )
27187adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  w  e.  T
)  ->  s  e.  NN )
272258, 264, 265, 269, 270, 271mertenslemub 10991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  w  e.  T
)  ->  w  <_  sum_
n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  a
) ) )
273272ralrimiva 2447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A. w  e.  T  w  <_  sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) ) )
274273adantr 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) ) ) )  ->  A. w  e.  T  w  <_  sum_
n  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  a
) ) )
275232, 233, 234, 235, 236, 238, 239, 240, 241, 128, 83, 243, 247, 249, 274mertenslemi1 10992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( t  e. 
NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) ) ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  < 
E )
276275expr 368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  t  e.  NN0 )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  t )
( K `  n
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  E ) )
277229, 276sylbid 149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  t  e.  NN0 )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  t )
( abs `  ( K `  m )
)  <  ( (
( E  /  2
)  /  s )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  E ) )
278277rexlimdva 2491 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( E. t  e. 
NN0  A. m  e.  (
ZZ>= `  t ) ( abs `  ( K `
 m ) )  <  ( ( ( E  /  2 )  /  s )  / 
( sum_ n  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) ( abs `  sum_ a  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 a ) )  +  1 ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  E ) )
279202, 278mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  E )
280279ex 114 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ps  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  < 
E ) )
28183, 280syl5bir 152 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  NN  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  s )
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( E  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  < 
E ) )
282281expdimp 256 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  <  ( ( E  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  < 
E ) )
28382, 282sylbid 149 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  G
) `  m )  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  <  (
( E  /  2
)  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `
 j )  +  1 ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  E ) )
284283rexlimdva 2491 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  s )
( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  G ) `  m )  -  sum_ k  e.  NN0  B ) )  <  ( ( E  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  < 
E ) )
28524, 284mpd 13 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1290    e. wcel 1439   {cab 2075   A.wral 2360   E.wrex 2361   _Vcvv 2622   [_csb 2936   class class class wbr 3853    |-> cmpt 3907   dom cdm 4454   -->wf 5026   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   CCcc 7411   RRcr 7412   0cc0 7413   1c1 7414    + caddc 7416    x. cmul 7418    < clt 7585    <_ cle 7586    - cmin 7716    / cdiv 8202   NNcn 8485   2c2 8536   NN0cn0 8736   ZZ>=cuz 9082   RR+crp 9197   ...cfz 9487    seqcseq 9915   abscabs 10493    ~~> cli 10729   sum_csu 10805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-sup 6735  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-ico 9375  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-ihash 10247  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806
This theorem is referenced by:  mertensabs  10994
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