Theorem mertenslem2 12281

Description: Lemma for mertensabs 12282. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mertens.1	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = A )
mertens.2	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
mertens.3	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
mertens.4	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
mertens.5	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
mertens.6	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
mertens.7	|- ( ph -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
mertens.8	|- ( ph -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
mertens.9	|- ( ph -> E e. RR+ )
mertens.10	|- T = { z | E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) }
mertens.11	|- ( ps <-> ( s e. NN /\ A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
mertenslem2	|- ( ph -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )

Distinct variable groups:   j, m, n, s, y, z, B   j, k, G, m, n, s, y, z   ph, j, k, m, y, z   A, k, m, n, s, y   j, E, k, m, n, s, y, z   j, K, k, m, n, s, y, z   j, F, m, n, y   ps, j, k, m, n, y, z   T, j, k, m, n, y, z   k, H, m, y   ph, n, s

Allowed substitution hints:   ps( s)   A( z, j)   B( k)   T( s)   F( z, k, s)   H( z, j, n, s)

Proof of Theorem mertenslem2

Dummy variables t w a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9937	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9650	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		mertens.9	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR+ )
4	3	rphalfcld 10089	. . . 4 |- ( ph -> ( E / 2 ) e. RR+ )
5		nn0uz 9936	. . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
6		0zd 9635	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
7		eqidd 2239	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( K ` j ) )
8		mertens.2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
9		mertens.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
10	9	abscld 11925	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
11	8, 10	eqeltrd 2315	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) e. RR )
12		mertens.7	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
13	5, 6, 7, 11, 12	isumrecl 12174	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( K ` j ) e. RR )
14	9	absge0d 11928	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
15	14, 8	breqtrrd 4153	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> 0 <_ ( K ` j ) )
16	5, 6, 7, 11, 12, 15	isumge0 12175	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ sum_ j e. NN0 ( K ` j ) )
17	13, 16	ge0p1rpd 10107	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR+ )
18	4, 17	rpdivcld 10094	. . 3 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) e. RR+ )
19		eqidd 2239	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( seq 0 ( + , G ) ` m ) = ( seq 0 ( + , G ) ` m ) )
20		mertens.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
21		mertens.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
22		mertens.8	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
23	5, 6, 20, 21, 22	isumclim2 12167	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( + , G ) ~~> sum_ k e. NN0 B )
24	1, 2, 18, 19, 23	climi2 12032	. 2 |- ( ph -> E. s e. NN A. m e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
25		eluznn 9979	. . . . . . . 8 |- ( ( s e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` s ) ) -> m e. NN )
26	20, 21	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
27	5, 6, 26	serf 10898	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> seq 0 ( + , G ) : NN0 --> CC )
28		nnnn0 9549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> m e. NN0 )
29		ffvelcdm 5832	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( seq 0 ( + , G ) : NN0 --> CC /\ m e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , G ) ` m ) e. CC )
30	27, 28, 29	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( seq 0 ( + , G ) ` m ) e. CC )
31	5, 6, 20, 21, 22	isumcl 12170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sum_ k e. NN0 B e. CC )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. NN0 B e. CC )
33	30, 32	abssubd 11937	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) = ( abs ` ( sum_ k e. NN0 B - ( seq 0 ( + , G ) ` m ) ) ) )
34		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( m + 1 ) )
35	28	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. NN0 )
36		peano2nn0 9582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN0 -> ( m + 1 ) e. NN0 )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. NN0 )
38	37	nn0zd 9745	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. ZZ )
39		simpll 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ph )
40		eluznn0 9978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m + 1 ) e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
41	37, 40	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
42	39, 41, 20	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ( G ` k ) = B )
43	39, 41, 21	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> B e. CC )
44	22	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
45	26	adantlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
46	5, 37, 45	iserex 12083	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> <-> seq ( m + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> ) )
47	44, 46	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> seq ( m + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> )
48	34, 38, 42, 43, 47	isumcl 12170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B e. CC )
49	30, 48	pncan2d 8629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B ) - ( seq 0 ( + , G ) ` m ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B )
50	20	adantlr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
51	21	adantlr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
52	5, 34, 37, 50, 51, 44	isumsplit 12236	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. NN0 B = ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) B + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B ) )
53		nncn 9291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN -> m e. CC )
54	53	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. CC )
55		ax-1cn 8262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. CC
56		pncan 8522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( m + 1 ) - 1 ) = m )
57	54, 55, 56	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( m + 1 ) - 1 ) = m )
58	57	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... m ) )
59	58	sumeq1d 12110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) B = sum_ k e. ( 0 ... m ) B )
60		elnn0uz 9939	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN0 <-> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
61	60, 50	sylan2br 288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( G ` k ) = B )
62	35, 5	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. ( ZZ>= ` 0 ) )
63	60, 51	sylan2br 288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> B e. CC )
64	61, 62, 63	fsum3ser 12142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( 0 ... m ) B = ( seq 0 ( + , G ) ` m ) )
65	59, 64	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) B = ( seq 0 ( + , G ) ` m ) )
66	65	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) B + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B ) = ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B ) )
67	52, 66	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. NN0 B = ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B ) )
68	67	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sum_ k e. NN0 B - ( seq 0 ( + , G ) ` m ) ) = ( ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B ) - ( seq 0 ( + , G ) ` m ) ) )
69	42	sumeq2dv 12112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B )
70	49, 68, 69	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sum_ k e. NN0 B - ( seq 0 ( + , G ) ` m ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) )
71	70	fveq2d 5694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( abs ` ( sum_ k e. NN0 B - ( seq 0 ( + , G ) ` m ) ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
72	33, 71	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
73	72	breq1d 4135	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
74	25, 73	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( s e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` s ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
75	74	anassrs 404	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` s ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
76	75	ralbidva 2546	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
77		fvoveq1 6098	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
78	77	sumeq1d 12110	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) )
79	78	fveq2d 5694	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
80	79	breq1d 4135	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
81	80	cbvralv 2786	. . . . 5 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
82	76, 81	bitrdi 196	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
83		mertens.11	. . . . . 6 |- ( ps <-> ( s e. NN /\ A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
84		0zd 9635	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 e. ZZ )
85	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( E / 2 ) e. RR+ )
86	83	simplbi 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ps -> s e. NN )
87	86	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> s e. NN )
88	87	nnrpd 10074	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> s e. RR+ )
89	85, 88	rpdivcld 10094	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( E / 2 ) / s ) e. RR+ )
90	87	nnzd 9746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> s e. ZZ )
91		1zzd 9650	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> 1 e. ZZ )
92	90, 91	zsubcld 9752	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( s - 1 ) e. ZZ )
93	84, 92	fzfigd 10846	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( 0 ... ( s - 1 ) ) e. Fin )
94		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( n + 1 ) )
95		elfznn0 10499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) -> n e. NN0 )
96	95	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> n e. NN0 )
97		peano2nn0 9582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. NN0 )
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> ( n + 1 ) e. NN0 )
99	98	nn0zd 9745	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ZZ )
100		eqidd 2239	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
101		simplll 539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ph )
102		eluznn0 9978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n + 1 ) e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
103	98, 102	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
104	101, 103, 26	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
105	22	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
106		simpll 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> ph )
107	106, 26	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
108	5, 98, 107	iserex 12083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> ( seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> <-> seq ( n + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> ) )
109	105, 108	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> seq ( n + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> )
110	94, 99, 100, 104, 109	isumcl 12170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) e. CC )
111	110	abscld 11925	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) e. RR )
112	93, 111	fsumrecl 12146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) e. RR )
113		0red 8317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 e. RR )
114		nnnn0 9549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
115	114, 20	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) = B )
116	114, 21	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> B e. CC )
117		1nn0 9558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. NN0
118	117	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 1 e. NN0 )
119	5, 118, 26	iserex 12083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> <-> seq 1 ( + , G ) e. dom ~~> ) )
120	22, 119	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> seq 1 ( + , G ) e. dom ~~> )
121	1, 2, 115, 116, 120	isumcl 12170	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> sum_ k e. NN B e. CC )
122	121	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. NN B e. CC )
123	122	abscld 11925	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` sum_ k e. NN B ) e. RR )
124	122	absge0d 11928	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 <_ ( abs ` sum_ k e. NN B ) )
125	20	adantlr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
126	21	adantlr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
127	22	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
128		mertens.10	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T = { z | E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) }
129		nnm1nn0 9583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. NN -> ( s - 1 ) e. NN0 )
130	87, 129	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( s - 1 ) e. NN0 )
131	130, 5	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( s - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
132		eluzfz1 10414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( s - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) )
133	131, 132	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) )
134	115	sumeq2dv 12112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> sum_ k e. NN ( G ` k ) = sum_ k e. NN B )
135	134	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. NN ( G ` k ) = sum_ k e. NN B )
136	135	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` sum_ k e. NN ( G ` k ) ) = ( abs ` sum_ k e. NN B ) )
137	136	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` sum_ k e. NN B ) = ( abs ` sum_ k e. NN ( G ` k ) ) )
138		fv0p1e1 9398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = 0 -> ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 1 ) )
139	138, 1	eqtr4di 2289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = 0 -> ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) = NN )
140	139	sumeq1d 12110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 0 -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. NN ( G ` k ) )
141	140	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 0 -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) = ( abs ` sum_ k e. NN ( G ` k ) ) )
142	141	rspceeqv 2948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) /\ ( abs ` sum_ k e. NN B ) = ( abs ` sum_ k e. NN ( G ` k ) ) ) -> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. NN B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
143	133, 137, 142	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. NN B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
144		eqeq1 2245	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( abs ` sum_ k e. NN B ) -> ( z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. NN B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
145	144	rexbidv 2551	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( abs ` sum_ k e. NN B ) -> ( E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. NN B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
146	145, 128	elab2g 2973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( abs ` sum_ k e. NN B ) e. RR -> ( ( abs ` sum_ k e. NN B ) e. T <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. NN B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
147	123, 146	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( abs ` sum_ k e. NN B ) e. T <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. NN B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
148	143, 147	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` sum_ k e. NN B ) e. T )
149	125, 126, 127, 128, 148, 87	mertenslemub 12279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` sum_ k e. NN B ) <_ sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
150	113, 123, 112, 124, 149	letrd 8440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
151	112, 150	ge0p1rpd 10107	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) + 1 ) e. RR+ )
152	89, 151	rpdivcld 10094	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) + 1 ) ) e. RR+ )
153		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
154		fveq2 5690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = m -> ( K ` j ) = ( K ` m ) )
155	154	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = m -> ( ( K ` j ) e. RR <-> ( K ` m ) e. RR ) )
156	11	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. j e. NN0 ( K ` j ) e. RR )
157	156	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ m e. NN0 ) -> A. j e. NN0 ( K ` j ) e. RR )
158	155, 157, 153	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ m e. NN0 ) -> ( K ` m ) e. RR )
159		fveq2 5690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( K ` n ) = ( K ` m ) )
160		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) )
161	159, 160	fvmptg 5775	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN0 /\ ( K ` m ) e. RR ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` m ) = ( K ` m ) )
162	153, 158, 161	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` m ) = ( K ` m ) )
163		nn0ex 9548	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 e. _V
164	163	mptex 5934	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) e. _V
165	164	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) e. _V )
166	60	biimpri 133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ZZ>= ` 0 ) -> k e. NN0 )
167		fveq2 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = k -> ( K ` j ) = ( K ` k ) )
168	167	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = k -> ( ( K ` j ) e. RR <-> ( K ` k ) e. RR ) )
169	156	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> A. j e. NN0 ( K ` j ) e. RR )
170		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
171	168, 169, 170	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( K ` k ) e. RR )
172	60, 171	sylan2br 288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( K ` k ) e. RR )
173		fveq2 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = k -> ( K ` n ) = ( K ` k ) )
174	173, 160	fvmptg 5775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. NN0 /\ ( K ` k ) e. RR ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` k ) = ( K ` k ) )
175	166, 172, 174	syl2an2 602	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` k ) = ( K ` k ) )
176	175, 172	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` k ) e. RR )
177		elnn0uz 9939	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN0 <-> j e. ( ZZ>= ` 0 ) )
178		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> j e. NN0 )
179		fveq2 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = j -> ( K ` n ) = ( K ` j ) )
180	179, 160	fvmptg 5775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. NN0 /\ ( K ` j ) e. RR ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` j ) = ( K ` j ) )
181	178, 11, 180	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` j ) = ( K ` j ) )
182	177, 181	sylan2br 288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` j ) = ( K ` j ) )
183		readdcl 8295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. RR /\ y e. RR ) -> ( k + y ) e. RR )
184	183	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( k + y ) e. RR )
185	6, 176, 182, 184	seq3feq 10895	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ) = seq 0 ( + , K ) )
186	185, 12	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ) e. dom ~~> )
187	181, 11	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` j ) e. RR )
188	187	recnd 8344	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` j ) e. CC )
189	5, 6, 165, 186, 188	serf0 12096	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ~~> 0 )
190	189	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ~~> 0 )
191	5, 84, 152, 162, 190	climi0 12033	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. t e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) + 1 ) ) )
192		fveq2 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = a -> ( G ` k ) = ( G ` a ) )
193	192	cbvsumv 12105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a )
194	193	fveq2i 5693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) = ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) )
195	194	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) = ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) )
196	195	sumeq2i 12108	. . . . . . . . . . . . . 14 |- sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) )
197	196	oveq1i 6085	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) + 1 ) = ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 )
198	197	oveq2i 6086	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) + 1 ) ) = ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) )
199	198	breq2i 4133	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) + 1 ) ) <-> ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) )
200	199	ralbii 2556	. . . . . . . . . 10 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) + 1 ) ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) )
201	200	rexbii 2557	. . . . . . . . 9 |- ( E. t e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) + 1 ) ) <-> E. t e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) )
202	191, 201	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. t e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) )
203		simplll 539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ t e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` t ) ) -> ph )
204		eluznn0 9978	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. NN0 /\ m e. ( ZZ>= ` t ) ) -> m e. NN0 )
205	204	adantll 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ t e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` t ) ) -> m e. NN0 )
206	11, 15	absidd 11911	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` ( K ` j ) ) = ( K ` j ) )
207	206	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. j e. NN0 ( abs ` ( K ` j ) ) = ( K ` j ) )
208	154	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = m -> ( abs ` ( K ` j ) ) = ( abs ` ( K ` m ) ) )
209	208, 154	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = m -> ( ( abs ` ( K ` j ) ) = ( K ` j ) <-> ( abs ` ( K ` m ) ) = ( K ` m ) ) )
210	209	rspccva 2928	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. j e. NN0 ( abs ` ( K ` j ) ) = ( K ` j ) /\ m e. NN0 ) -> ( abs ` ( K ` m ) ) = ( K ` m ) )
211	207, 210	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( abs ` ( K ` m ) ) = ( K ` m ) )
212	203, 205, 211	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ t e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` t ) ) -> ( abs ` ( K ` m ) ) = ( K ` m ) )
213	212	breq1d 4135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ t e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` t ) ) -> ( ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) <-> ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) )
214	213	ralbidva 2546	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ t e. NN0 ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) )
215		nfv 1581	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ m ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) )
216		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n ( K ` m )
217		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n <
218		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n ( ( E / 2 ) / s )
219		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n /
220		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n ( 0 ... ( s - 1 ) )
221	220	nfsum1 12100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) )
222		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n +
223		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n 1
224	221, 222, 223	nfov 6105	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 )
225	218, 219, 224	nfov 6105	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) )
226	216, 217, 225	nfbr 4172	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ n ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) )
227	159	breq1d 4135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) <-> ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) )
228	215, 226, 227	cbvral 2782	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) )
229	214, 228	bitr4di 198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ t e. NN0 ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) <-> A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) )
230		simpll 531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) -> ph )
231		mertens.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = A )
232	230, 231	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = A )
233	230, 8	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
234	230, 9	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
235	230, 20	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
236	230, 21	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
237		mertens.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
238	230, 237	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
239	12	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
240	22	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
241	3	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) -> E e. RR+ )
242	196, 112	eqeltrrid 2326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) e. RR )
243	242	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) e. RR )
244	228	anbi2i 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) <-> ( t e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) )
245	244	anbi2i 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ps /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) <-> ( ps /\ ( t e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) )
246	245	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ps /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) -> ( ps /\ ( t e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) )
247	246	adantll 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) -> ( ps /\ ( t e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) )
248	150, 196	breqtrdi 4166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) )
249	248	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) )
250		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ w e. T ) /\ a e. NN0 ) -> a e. NN0 )
251	20	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. k e. NN0 ( G ` k ) = B )
252	251	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ w e. T ) /\ a e. NN0 ) -> A. k e. NN0 ( G ` k ) = B )
253		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k [_ a / k ]_ B
254	253	nfeq2 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k ( G ` a ) = [_ a / k ]_ B
255		csbeq1a 3156	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = a -> B = [_ a / k ]_ B )
256	192, 255	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = a -> ( ( G ` k ) = B <-> ( G ` a ) = [_ a / k ]_ B ) )
257	254, 256	rspc 2923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. NN0 -> ( A. k e. NN0 ( G ` k ) = B -> ( G ` a ) = [_ a / k ]_ B ) )
258	250, 252, 257	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ w e. T ) /\ a e. NN0 ) -> ( G ` a ) = [_ a / k ]_ B )
259	21	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. k e. NN0 B e. CC )
260	259	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ w e. T ) /\ a e. NN0 ) -> A. k e. NN0 B e. CC )
261	253	nfel1 2403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k [_ a / k ]_ B e. CC
262	255	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = a -> ( B e. CC <-> [_ a / k ]_ B e. CC ) )
263	261, 262	rspc 2923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. NN0 -> ( A. k e. NN0 B e. CC -> [_ a / k ]_ B e. CC ) )
264	250, 260, 263	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ w e. T ) /\ a e. NN0 ) -> [_ a / k ]_ B e. CC )
265	22	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ w e. T ) -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
266	194	eqeq2i 2249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> z = ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) )
267	266	rexbii 2557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) )
268	267	abbii 2354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { z | E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) } = { z | E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) }
269	128, 268	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = { z | E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) }
270		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ w e. T ) -> w e. T )
271	87	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ w e. T ) -> s e. NN )
272	258, 264, 265, 269, 270, 271	mertenslemub 12279	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ w e. T ) -> w <_ sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) )
273	272	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> A. w e. T w <_ sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) )
274	273	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) -> A. w e. T w <_ sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) )
275	232, 233, 234, 235, 236, 238, 239, 240, 241, 128, 83, 243, 247, 249, 274	mertenslemi1 12280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )
276	275	expr 375	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ t e. NN0 ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
277	229, 276	sylbid 150	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ t e. NN0 ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
278	277	rexlimdva 2668	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( E. t e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
279	202, 278	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )
280	279	ex 115	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ps -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
281	83, 280	biimtrrid 153	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( s e. NN /\ A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
282	281	expdimp 259	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
283	82, 282	sylbid 150	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
284	283	rexlimdva 2668	. 2 |- ( ph -> ( E. s e. NN A. m e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
285	24, 284	mpd 13	1 |- ( ph -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   [_csb 3147   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   dom cdm 4769   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   < clt 8350   <_ cle 8351   - cmin 8487   / cdiv 8992   NNcn 9283   2c2 9334   NN0cn0 9542   ZZ>=cuz 9900   RR+crp 10033   ...cfz 10390   seqcseq 10862   abscabs 11741   ~~> cli 12022   sum_csu 12097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-sup 7314  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-ico 10275  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098

This theorem is referenced by:  mertensabs  12282