Theorem mertenslem2 11701

Description: Lemma for mertensabs 11702. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mertens.1	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = A )
mertens.2	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
mertens.3	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
mertens.4	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
mertens.5	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
mertens.6	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
mertens.7	|- ( ph -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
mertens.8	|- ( ph -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
mertens.9	|- ( ph -> E e. RR+ )
mertens.10	|- T = { z | E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) }
mertens.11	|- ( ps <-> ( s e. NN /\ A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
mertenslem2	|- ( ph -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )

Distinct variable groups:   j, m, n, s, y, z, B   j, k, G, m, n, s, y, z   ph, j, k, m, y, z   A, k, m, n, s, y   j, E, k, m, n, s, y, z   j, K, k, m, n, s, y, z   j, F, m, n, y   ps, j, k, m, n, y, z   T, j, k, m, n, y, z   k, H, m, y   ph, n, s

Allowed substitution hints:   ps( s)   A( z, j)   B( k)   T( s)   F( z, k, s)   H( z, j, n, s)

Proof of Theorem mertenslem2

Dummy variables t w a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9637	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9353	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		mertens.9	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR+ )
4	3	rphalfcld 9784	. . . 4 |- ( ph -> ( E / 2 ) e. RR+ )
5		nn0uz 9636	. . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
6		0zd 9338	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
7		eqidd 2197	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( K ` j ) )
8		mertens.2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
9		mertens.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
10	9	abscld 11346	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
11	8, 10	eqeltrd 2273	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) e. RR )
12		mertens.7	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
13	5, 6, 7, 11, 12	isumrecl 11594	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( K ` j ) e. RR )
14	9	absge0d 11349	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
15	14, 8	breqtrrd 4061	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> 0 <_ ( K ` j ) )
16	5, 6, 7, 11, 12, 15	isumge0 11595	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ sum_ j e. NN0 ( K ` j ) )
17	13, 16	ge0p1rpd 9802	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR+ )
18	4, 17	rpdivcld 9789	. . 3 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) e. RR+ )
19		eqidd 2197	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( seq 0 ( + , G ) ` m ) = ( seq 0 ( + , G ) ` m ) )
20		mertens.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
21		mertens.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
22		mertens.8	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
23	5, 6, 20, 21, 22	isumclim2 11587	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( + , G ) ~~> sum_ k e. NN0 B )
24	1, 2, 18, 19, 23	climi2 11453	. 2 |- ( ph -> E. s e. NN A. m e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
25		eluznn 9674	. . . . . . . 8 |- ( ( s e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` s ) ) -> m e. NN )
26	20, 21	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
27	5, 6, 26	serf 10575	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> seq 0 ( + , G ) : NN0 --> CC )
28		nnnn0 9256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> m e. NN0 )
29		ffvelcdm 5695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( seq 0 ( + , G ) : NN0 --> CC /\ m e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , G ) ` m ) e. CC )
30	27, 28, 29	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( seq 0 ( + , G ) ` m ) e. CC )
31	5, 6, 20, 21, 22	isumcl 11590	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sum_ k e. NN0 B e. CC )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. NN0 B e. CC )
33	30, 32	abssubd 11358	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) = ( abs ` ( sum_ k e. NN0 B - ( seq 0 ( + , G ) ` m ) ) ) )
34		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( m + 1 ) )
35	28	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. NN0 )
36		peano2nn0 9289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN0 -> ( m + 1 ) e. NN0 )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. NN0 )
38	37	nn0zd 9446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. ZZ )
39		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ph )
40		eluznn0 9673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m + 1 ) e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
41	37, 40	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
42	39, 41, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ( G ` k ) = B )
43	39, 41, 21	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> B e. CC )
44	22	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
45	26	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
46	5, 37, 45	iserex 11504	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> <-> seq ( m + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> ) )
47	44, 46	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> seq ( m + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> )
48	34, 38, 42, 43, 47	isumcl 11590	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B e. CC )
49	30, 48	pncan2d 8339	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B ) - ( seq 0 ( + , G ) ` m ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B )
50	20	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
51	21	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
52	5, 34, 37, 50, 51, 44	isumsplit 11656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. NN0 B = ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) B + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B ) )
53		nncn 8998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN -> m e. CC )
54	53	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. CC )
55		ax-1cn 7972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. CC
56		pncan 8232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( m + 1 ) - 1 ) = m )
57	54, 55, 56	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( m + 1 ) - 1 ) = m )
58	57	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... m ) )
59	58	sumeq1d 11531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) B = sum_ k e. ( 0 ... m ) B )
60		elnn0uz 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN0 <-> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
61	60, 50	sylan2br 288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( G ` k ) = B )
62	35, 5	eleqtrdi 2289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. ( ZZ>= ` 0 ) )
63	60, 51	sylan2br 288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> B e. CC )
64	61, 62, 63	fsum3ser 11562	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( 0 ... m ) B = ( seq 0 ( + , G ) ` m ) )
65	59, 64	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) B = ( seq 0 ( + , G ) ` m ) )
66	65	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) B + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B ) = ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B ) )
67	52, 66	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. NN0 B = ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B ) )
68	67	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sum_ k e. NN0 B - ( seq 0 ( + , G ) ` m ) ) = ( ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B ) - ( seq 0 ( + , G ) ` m ) ) )
69	42	sumeq2dv 11533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B )
70	49, 68, 69	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sum_ k e. NN0 B - ( seq 0 ( + , G ) ` m ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) )
71	70	fveq2d 5562	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( abs ` ( sum_ k e. NN0 B - ( seq 0 ( + , G ) ` m ) ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
72	33, 71	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
73	72	breq1d 4043	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
74	25, 73	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( s e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` s ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
75	74	anassrs 400	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` s ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
76	75	ralbidva 2493	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
77		fvoveq1 5945	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
78	77	sumeq1d 11531	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) )
79	78	fveq2d 5562	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
80	79	breq1d 4043	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
81	80	cbvralv 2729	. . . . 5 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
82	76, 81	bitrdi 196	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
83		mertens.11	. . . . . 6 |- ( ps <-> ( s e. NN /\ A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
84		0zd 9338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 e. ZZ )
85	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( E / 2 ) e. RR+ )
86	83	simplbi 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ps -> s e. NN )
87	86	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> s e. NN )
88	87	nnrpd 9769	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> s e. RR+ )
89	85, 88	rpdivcld 9789	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( E / 2 ) / s ) e. RR+ )
90	87	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> s e. ZZ )
91		1zzd 9353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> 1 e. ZZ )
92	90, 91	zsubcld 9453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( s - 1 ) e. ZZ )
93	84, 92	fzfigd 10523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( 0 ... ( s - 1 ) ) e. Fin )
94		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( n + 1 ) )
95		elfznn0 10189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) -> n e. NN0 )
96	95	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> n e. NN0 )
97		peano2nn0 9289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. NN0 )
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> ( n + 1 ) e. NN0 )
99	98	nn0zd 9446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ZZ )
100		eqidd 2197	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
101		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ph )
102		eluznn0 9673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n + 1 ) e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
103	98, 102	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
104	101, 103, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
105	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
106		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> ph )
107	106, 26	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
108	5, 98, 107	iserex 11504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> ( seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> <-> seq ( n + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> ) )
109	105, 108	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> seq ( n + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> )
110	94, 99, 100, 104, 109	isumcl 11590	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) e. CC )
111	110	abscld 11346	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) e. RR )
112	93, 111	fsumrecl 11566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) e. RR )
113		0red 8027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 e. RR )
114		nnnn0 9256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
115	114, 20	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) = B )
116	114, 21	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> B e. CC )
117		1nn0 9265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. NN0
118	117	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 1 e. NN0 )
119	5, 118, 26	iserex 11504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> <-> seq 1 ( + , G ) e. dom ~~> ) )
120	22, 119	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> seq 1 ( + , G ) e. dom ~~> )
121	1, 2, 115, 116, 120	isumcl 11590	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> sum_ k e. NN B e. CC )
122	121	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. NN B e. CC )
123	122	abscld 11346	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` sum_ k e. NN B ) e. RR )
124	122	absge0d 11349	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 <_ ( abs ` sum_ k e. NN B ) )
125	20	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
126	21	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
127	22	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
128		mertens.10	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T = { z | E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) }
129		nnm1nn0 9290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. NN -> ( s - 1 ) e. NN0 )
130	87, 129	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( s - 1 ) e. NN0 )
131	130, 5	eleqtrdi 2289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( s - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
132		eluzfz1 10106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( s - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) )
133	131, 132	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) )
134	115	sumeq2dv 11533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> sum_ k e. NN ( G ` k ) = sum_ k e. NN B )
135	134	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. NN ( G ` k ) = sum_ k e. NN B )
136	135	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` sum_ k e. NN ( G ` k ) ) = ( abs ` sum_ k e. NN B ) )
137	136	eqcomd 2202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` sum_ k e. NN B ) = ( abs ` sum_ k e. NN ( G ` k ) ) )
138		fv0p1e1 9105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = 0 -> ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 1 ) )
139	138, 1	eqtr4di 2247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = 0 -> ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) = NN )
140	139	sumeq1d 11531	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 0 -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. NN ( G ` k ) )
141	140	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 0 -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) = ( abs ` sum_ k e. NN ( G ` k ) ) )
142	141	rspceeqv 2886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) /\ ( abs ` sum_ k e. NN B ) = ( abs ` sum_ k e. NN ( G ` k ) ) ) -> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. NN B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
143	133, 137, 142	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. NN B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
144		eqeq1 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( abs ` sum_ k e. NN B ) -> ( z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. NN B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
145	144	rexbidv 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( abs ` sum_ k e. NN B ) -> ( E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. NN B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
146	145, 128	elab2g 2911	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( abs ` sum_ k e. NN B ) e. RR -> ( ( abs ` sum_ k e. NN B ) e. T <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. NN B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
147	123, 146	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( abs ` sum_ k e. NN B ) e. T <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. NN B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
148	143, 147	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` sum_ k e. NN B ) e. T )
149	125, 126, 127, 128, 148, 87	mertenslemub 11699	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` sum_ k e. NN B ) <_ sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
150	113, 123, 112, 124, 149	letrd 8150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
151	112, 150	ge0p1rpd 9802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) + 1 ) e. RR+ )
152	89, 151	rpdivcld 9789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) + 1 ) ) e. RR+ )
153		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
154		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = m -> ( K ` j ) = ( K ` m ) )
155	154	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = m -> ( ( K ` j ) e. RR <-> ( K ` m ) e. RR ) )
156	11	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. j e. NN0 ( K ` j ) e. RR )
157	156	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ m e. NN0 ) -> A. j e. NN0 ( K ` j ) e. RR )
158	155, 157, 153	rspcdva 2873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ m e. NN0 ) -> ( K ` m ) e. RR )
159		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( K ` n ) = ( K ` m ) )
160		eqid 2196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) )
161	159, 160	fvmptg 5637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN0 /\ ( K ` m ) e. RR ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` m ) = ( K ` m ) )
162	153, 158, 161	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` m ) = ( K ` m ) )
163		nn0ex 9255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 e. _V
164	163	mptex 5788	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) e. _V
165	164	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) e. _V )
166	60	biimpri 133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ZZ>= ` 0 ) -> k e. NN0 )
167		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = k -> ( K ` j ) = ( K ` k ) )
168	167	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = k -> ( ( K ` j ) e. RR <-> ( K ` k ) e. RR ) )
169	156	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> A. j e. NN0 ( K ` j ) e. RR )
170		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
171	168, 169, 170	rspcdva 2873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( K ` k ) e. RR )
172	60, 171	sylan2br 288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( K ` k ) e. RR )
173		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = k -> ( K ` n ) = ( K ` k ) )
174	173, 160	fvmptg 5637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. NN0 /\ ( K ` k ) e. RR ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` k ) = ( K ` k ) )
175	166, 172, 174	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` k ) = ( K ` k ) )
176	175, 172	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` k ) e. RR )
177		elnn0uz 9639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN0 <-> j e. ( ZZ>= ` 0 ) )
178		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> j e. NN0 )
179		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = j -> ( K ` n ) = ( K ` j ) )
180	179, 160	fvmptg 5637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. NN0 /\ ( K ` j ) e. RR ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` j ) = ( K ` j ) )
181	178, 11, 180	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` j ) = ( K ` j ) )
182	177, 181	sylan2br 288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` j ) = ( K ` j ) )
183		readdcl 8005	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. RR /\ y e. RR ) -> ( k + y ) e. RR )
184	183	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( k + y ) e. RR )
185	6, 176, 182, 184	seq3feq 10572	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ) = seq 0 ( + , K ) )
186	185, 12	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ) e. dom ~~> )
187	181, 11	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` j ) e. RR )
188	187	recnd 8055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` j ) e. CC )
189	5, 6, 165, 186, 188	serf0 11517	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ~~> 0 )
190	189	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ~~> 0 )
191	5, 84, 152, 162, 190	climi0 11454	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. t e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) + 1 ) ) )
192		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = a -> ( G ` k ) = ( G ` a ) )
193	192	cbvsumv 11526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a )
194	193	fveq2i 5561	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) = ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) )
195	194	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) = ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) )
196	195	sumeq2i 11529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) )
197	196	oveq1i 5932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) + 1 ) = ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 )
198	197	oveq2i 5933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) + 1 ) ) = ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) )
199	198	breq2i 4041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) + 1 ) ) <-> ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) )
200	199	ralbii 2503	. . . . . . . . . 10 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) + 1 ) ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) )
201	200	rexbii 2504	. . . . . . . . 9 |- ( E. t e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) + 1 ) ) <-> E. t e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) )
202	191, 201	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. t e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) )
203		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ t e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` t ) ) -> ph )
204		eluznn0 9673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. NN0 /\ m e. ( ZZ>= ` t ) ) -> m e. NN0 )
205	204	adantll 476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ t e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` t ) ) -> m e. NN0 )
206	11, 15	absidd 11332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` ( K ` j ) ) = ( K ` j ) )
207	206	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. j e. NN0 ( abs ` ( K ` j ) ) = ( K ` j ) )
208	154	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = m -> ( abs ` ( K ` j ) ) = ( abs ` ( K ` m ) ) )
209	208, 154	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = m -> ( ( abs ` ( K ` j ) ) = ( K ` j ) <-> ( abs ` ( K ` m ) ) = ( K ` m ) ) )
210	209	rspccva 2867	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. j e. NN0 ( abs ` ( K ` j ) ) = ( K ` j ) /\ m e. NN0 ) -> ( abs ` ( K ` m ) ) = ( K ` m ) )
211	207, 210	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( abs ` ( K ` m ) ) = ( K ` m ) )
212	203, 205, 211	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ t e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` t ) ) -> ( abs ` ( K ` m ) ) = ( K ` m ) )
213	212	breq1d 4043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ t e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` t ) ) -> ( ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) <-> ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) )
214	213	ralbidva 2493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ t e. NN0 ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) )
215		nfv 1542	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ m ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) )
216		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n ( K ` m )
217		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n <
218		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n ( ( E / 2 ) / s )
219		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n /
220		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n ( 0 ... ( s - 1 ) )
221	220	nfsum1 11521	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) )
222		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n +
223		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n 1
224	221, 222, 223	nfov 5952	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 )
225	218, 219, 224	nfov 5952	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) )
226	216, 217, 225	nfbr 4079	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ n ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) )
227	159	breq1d 4043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) <-> ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) )
228	215, 226, 227	cbvral 2725	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) )
229	214, 228	bitr4di 198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ t e. NN0 ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) <-> A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) )
230		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) -> ph )
231		mertens.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = A )
232	230, 231	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = A )
233	230, 8	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
234	230, 9	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
235	230, 20	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
236	230, 21	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
237		mertens.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
238	230, 237	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
239	12	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
240	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
241	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) -> E e. RR+ )
242	196, 112	eqeltrrid 2284	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) e. RR )
243	242	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) e. RR )
244	228	anbi2i 457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) <-> ( t e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) )
245	244	anbi2i 457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ps /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) <-> ( ps /\ ( t e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) )
246	245	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ps /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) -> ( ps /\ ( t e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) )
247	246	adantll 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) -> ( ps /\ ( t e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) )
248	150, 196	breqtrdi 4074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) )
249	248	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) )
250		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ w e. T ) /\ a e. NN0 ) -> a e. NN0 )
251	20	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. k e. NN0 ( G ` k ) = B )
252	251	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ w e. T ) /\ a e. NN0 ) -> A. k e. NN0 ( G ` k ) = B )
253		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k [_ a / k ]_ B
254	253	nfeq2 2351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k ( G ` a ) = [_ a / k ]_ B
255		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = a -> B = [_ a / k ]_ B )
256	192, 255	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = a -> ( ( G ` k ) = B <-> ( G ` a ) = [_ a / k ]_ B ) )
257	254, 256	rspc 2862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. NN0 -> ( A. k e. NN0 ( G ` k ) = B -> ( G ` a ) = [_ a / k ]_ B ) )
258	250, 252, 257	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ w e. T ) /\ a e. NN0 ) -> ( G ` a ) = [_ a / k ]_ B )
259	21	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. k e. NN0 B e. CC )
260	259	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ w e. T ) /\ a e. NN0 ) -> A. k e. NN0 B e. CC )
261	253	nfel1 2350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k [_ a / k ]_ B e. CC
262	255	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = a -> ( B e. CC <-> [_ a / k ]_ B e. CC ) )
263	261, 262	rspc 2862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. NN0 -> ( A. k e. NN0 B e. CC -> [_ a / k ]_ B e. CC ) )
264	250, 260, 263	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ w e. T ) /\ a e. NN0 ) -> [_ a / k ]_ B e. CC )
265	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ w e. T ) -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
266	194	eqeq2i 2207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> z = ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) )
267	266	rexbii 2504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) )
268	267	abbii 2312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { z | E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) } = { z | E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) }
269	128, 268	eqtri 2217	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = { z | E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) }
270		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ w e. T ) -> w e. T )
271	87	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ w e. T ) -> s e. NN )
272	258, 264, 265, 269, 270, 271	mertenslemub 11699	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ w e. T ) -> w <_ sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) )
273	272	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> A. w e. T w <_ sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) )
274	273	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) -> A. w e. T w <_ sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) )
275	232, 233, 234, 235, 236, 238, 239, 240, 241, 128, 83, 243, 247, 249, 274	mertenslemi1 11700	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) ) ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )
276	275	expr 375	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ t e. NN0 ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
277	229, 276	sylbid 150	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ t e. NN0 ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
278	277	rexlimdva 2614	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( E. t e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sum_ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ a e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` a ) ) + 1 ) ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
279	202, 278	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )
280	279	ex 115	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ps -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
281	83, 280	biimtrrid 153	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( s e. NN /\ A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
282	281	expdimp 259	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
283	82, 282	sylbid 150	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
284	283	rexlimdva 2614	. 2 |- ( ph -> ( E. s e. NN A. m e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
285	24, 284	mpd 13	1 |- ( ph -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cab 2182   A.wral 2475   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   [_csb 3084   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   dom cdm 4663   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   < clt 8061   <_ cle 8062   - cmin 8197   / cdiv 8699   NNcn 8990   2c2 9041   NN0cn0 9249   ZZ>=cuz 9601   RR+crp 9728   ...cfz 10083   seqcseq 10539   abscabs 11162   ~~> cli 11443   sum_csu 11518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-ico 9969  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519

This theorem is referenced by:  mertensabs  11702