Theorem en2eleq 7113

Description: Express a set of pair cardinality as the unordered pair of a given element and the other element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2eleq	|- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P = { X , U. ( P \ { X } ) } )

Proof of Theorem en2eleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6460	. . . . . . 7 |- 1o e. om
2		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P ~~ 2o )
3		df-2o 6358	. . . . . . . 8 |- 2o = suc 1o
4	2, 3	breqtrdi 4005	. . . . . . 7 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P ~~ suc 1o )
5		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> X e. P )
6		dif1en 6817	. . . . . . 7 |- ( ( 1o e. om /\ P ~~ suc 1o /\ X e. P ) -> ( P \ { X } ) ~~ 1o )
7	1, 4, 5, 6	mp3an2i 1324	. . . . . 6 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( P \ { X } ) ~~ 1o )
8		en1uniel 6742	. . . . . 6 |- ( ( P \ { X } ) ~~ 1o -> U. ( P \ { X } ) e. ( P \ { X } ) )
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { X } ) e. ( P \ { X } ) )
10		eldifsn 3686	. . . . 5 |- ( U. ( P \ { X } ) e. ( P \ { X } ) <-> ( U. ( P \ { X } ) e. P /\ U. ( P \ { X } ) =/= X ) )
11	9, 10	sylib 121	. . . 4 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( U. ( P \ { X } ) e. P /\ U. ( P \ { X } ) =/= X ) )
12	11	simprd 113	. . 3 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { X } ) =/= X )
13	12	necomd 2413	. 2 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> X =/= U. ( P \ { X } ) )
14	11	simpld 111	. . 3 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { X } ) e. P )
15		en2eqpr 6845	. . 3 |- ( ( P ~~ 2o /\ X e. P /\ U. ( P \ { X } ) e. P ) -> ( X =/= U. ( P \ { X } ) -> P = { X , U. ( P \ { X } ) } ) )
16	2, 5, 14, 15	syl3anc 1220	. 2 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( X =/= U. ( P \ { X } ) -> P = { X , U. ( P \ { X } ) } ) )
17	13, 16	mpd 13	1 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P = { X , U. ( P \ { X } ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   =/= wne 2327   \ cdif 3099   {csn 3560   {cpr 3561   U.cuni 3772   class class class wbr 3965   suc csuc 4324   omcom 4547   1oc1o 6350   2oc2o 6351   ~~ cen 6676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-iord 4325  df-on 4327  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-1o 6357  df-2o 6358  df-er 6473  df-en 6679  df-fin 6681

This theorem is referenced by:  en2other2  7114