ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en2eleq Unicode version

Theorem en2eleq 6819
Description: Express a set of pair cardinality as the unordered pair of a given element and the other element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2eleq  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  P  =  { X ,  U. ( P  \  { X } ) } )

Proof of Theorem en2eleq
StepHypRef Expression
1 1onn 6277 . . . . . . 7  |-  1o  e.  om
2 simpr 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  P  ~~  2o )
3 df-2o 6182 . . . . . . . 8  |-  2o  =  suc  1o
42, 3syl6breq 3884 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  P  ~~  suc  1o )
5 simpl 107 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  X  e.  P )
6 dif1en 6593 . . . . . . 7  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  P  ~~  suc  1o  /\  X  e.  P )  ->  ( P  \  { X } )  ~~  1o )
71, 4, 5, 6mp3an2i 1278 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  -> 
( P  \  { X } )  ~~  1o )
8 en1uniel 6519 . . . . . 6  |-  ( ( P  \  { X } )  ~~  1o  ->  U. ( P  \  { X } )  e.  ( P  \  { X } ) )
97, 8syl 14 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  U. ( P  \  { X } )  e.  ( P  \  { X } ) )
10 eldifsn 3567 . . . . 5  |-  ( U. ( P  \  { X } )  e.  ( P  \  { X } )  <->  ( U. ( P  \  { X } )  e.  P  /\  U. ( P  \  { X } )  =/= 
X ) )
119, 10sylib 120 . . . 4  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  -> 
( U. ( P 
\  { X }
)  e.  P  /\  U. ( P  \  { X } )  =/=  X
) )
1211simprd 112 . . 3  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  U. ( P  \  { X } )  =/=  X
)
1312necomd 2341 . 2  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  X  =/=  U. ( P 
\  { X }
) )
1411simpld 110 . . 3  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  U. ( P  \  { X } )  e.  P
)
15 en2eqpr 6621 . . 3  |-  ( ( P  ~~  2o  /\  X  e.  P  /\  U. ( P  \  { X } )  e.  P
)  ->  ( X  =/=  U. ( P  \  { X } )  ->  P  =  { X ,  U. ( P  \  { X } ) } ) )
162, 5, 14, 15syl3anc 1174 . 2  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  -> 
( X  =/=  U. ( P  \  { X } )  ->  P  =  { X ,  U. ( P  \  { X } ) } ) )
1713, 16mpd 13 1  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  P  =  { X ,  U. ( P  \  { X } ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255    \ cdif 2996   {csn 3446   {cpr 3447   U.cuni 3653   class class class wbr 3845   suc csuc 4192   omcom 4405   1oc1o 6174   2oc2o 6175    ~~ cen 6453
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-1o 6181  df-2o 6182  df-er 6290  df-en 6456  df-fin 6458
This theorem is referenced by:  en2other2  6820
  Copyright terms: Public domain W3C validator