Theorem en2eleq 6819

Description: Express a set of pair cardinality as the unordered pair of a given element and the other element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2eleq	|- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P = { X , U. ( P \ { X } ) } )

Proof of Theorem en2eleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6277	. . . . . . 7 |- 1o e. om
2		simpr 108	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P ~~ 2o )
3		df-2o 6182	. . . . . . . 8 |- 2o = suc 1o
4	2, 3	syl6breq 3884	. . . . . . 7 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P ~~ suc 1o )
5		simpl 107	. . . . . . 7 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> X e. P )
6		dif1en 6593	. . . . . . 7 |- ( ( 1o e. om /\ P ~~ suc 1o /\ X e. P ) -> ( P \ { X } ) ~~ 1o )
7	1, 4, 5, 6	mp3an2i 1278	. . . . . 6 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( P \ { X } ) ~~ 1o )
8		en1uniel 6519	. . . . . 6 |- ( ( P \ { X } ) ~~ 1o -> U. ( P \ { X } ) e. ( P \ { X } ) )
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { X } ) e. ( P \ { X } ) )
10		eldifsn 3567	. . . . 5 |- ( U. ( P \ { X } ) e. ( P \ { X } ) <-> ( U. ( P \ { X } ) e. P /\ U. ( P \ { X } ) =/= X ) )
11	9, 10	sylib 120	. . . 4 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( U. ( P \ { X } ) e. P /\ U. ( P \ { X } ) =/= X ) )
12	11	simprd 112	. . 3 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { X } ) =/= X )
13	12	necomd 2341	. 2 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> X =/= U. ( P \ { X } ) )
14	11	simpld 110	. . 3 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { X } ) e. P )
15		en2eqpr 6621	. . 3 |- ( ( P ~~ 2o /\ X e. P /\ U. ( P \ { X } ) e. P ) -> ( X =/= U. ( P \ { X } ) -> P = { X , U. ( P \ { X } ) } ) )
16	2, 5, 14, 15	syl3anc 1174	. 2 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( X =/= U. ( P \ { X } ) -> P = { X , U. ( P \ { X } ) } ) )
17	13, 16	mpd 13	1 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P = { X , U. ( P \ { X } ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   e. wcel 1438   =/= wne 2255   \ cdif 2996   {csn 3446   {cpr 3447   U.cuni 3653   class class class wbr 3845   suc csuc 4192   omcom 4405   1oc1o 6174   2oc2o 6175   ~~ cen 6453

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-1o 6181  df-2o 6182  df-er 6290  df-en 6456  df-fin 6458

This theorem is referenced by:  en2other2  6820