Theorem en2eleq 6742

Description: Express a set of pair cardinality as the unordered pair of a given element and the other element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2eleq	|- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P = { X , U. ( P \ { X } ) } )

Proof of Theorem en2eleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6212	. . . . . . 7 |- 1o e. om
2		simpr 108	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P ~~ 2o )
3		df-2o 6117	. . . . . . . 8 |- 2o = suc 1o
4	2, 3	syl6breq 3853	. . . . . . 7 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P ~~ suc 1o )
5		simpl 107	. . . . . . 7 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> X e. P )
6		dif1en 6528	. . . . . . 7 |- ( ( 1o e. om /\ P ~~ suc 1o /\ X e. P ) -> ( P \ { X } ) ~~ 1o )
7	1, 4, 5, 6	mp3an2i 1276	. . . . . 6 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( P \ { X } ) ~~ 1o )
8		en1uniel 6454	. . . . . 6 |- ( ( P \ { X } ) ~~ 1o -> U. ( P \ { X } ) e. ( P \ { X } ) )
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { X } ) e. ( P \ { X } ) )
10		eldifsn 3544	. . . . 5 |- ( U. ( P \ { X } ) e. ( P \ { X } ) <-> ( U. ( P \ { X } ) e. P /\ U. ( P \ { X } ) =/= X ) )
11	9, 10	sylib 120	. . . 4 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( U. ( P \ { X } ) e. P /\ U. ( P \ { X } ) =/= X ) )
12	11	simprd 112	. . 3 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { X } ) =/= X )
13	12	necomd 2337	. 2 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> X =/= U. ( P \ { X } ) )
14	11	simpld 110	. . 3 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { X } ) e. P )
15		en2eqpr 6553	. . 3 |- ( ( P ~~ 2o /\ X e. P /\ U. ( P \ { X } ) e. P ) -> ( X =/= U. ( P \ { X } ) -> P = { X , U. ( P \ { X } ) } ) )
16	2, 5, 14, 15	syl3anc 1172	. 2 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( X =/= U. ( P \ { X } ) -> P = { X , U. ( P \ { X } ) } ) )
17	13, 16	mpd 13	1 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P = { X , U. ( P \ { X } ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1287   e. wcel 1436   =/= wne 2251   \ cdif 2983   {csn 3425   {cpr 3426   U.cuni 3630   class class class wbr 3814   suc csuc 4159   omcom 4371   1oc1o 6109   2oc2o 6110   ~~ cen 6388

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-if 3377  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-iord 4160  df-on 4162  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-1o 6116  df-2o 6117  df-er 6225  df-en 6391  df-fin 6393

This theorem is referenced by:  en2other2  6743