Theorem en2eleq 7449

Description: Express a set of pair cardinality as the unordered pair of a given element and the other element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2eleq	|- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P = { X , U. ( P \ { X } ) } )

Proof of Theorem en2eleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6731	. . . . . . 7 |- 1o e. om
2		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P ~~ 2o )
3		df-2o 6626	. . . . . . . 8 |- 2o = suc 1o
4	2, 3	breqtrdi 4134	. . . . . . 7 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P ~~ suc 1o )
5		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> X e. P )
6		dif1en 7111	. . . . . . 7 |- ( ( 1o e. om /\ P ~~ suc 1o /\ X e. P ) -> ( P \ { X } ) ~~ 1o )
7	1, 4, 5, 6	mp3an2i 1379	. . . . . 6 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( P \ { X } ) ~~ 1o )
8		en1uniel 7021	. . . . . 6 |- ( ( P \ { X } ) ~~ 1o -> U. ( P \ { X } ) e. ( P \ { X } ) )
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { X } ) e. ( P \ { X } ) )
10		eldifsn 3804	. . . . 5 |- ( U. ( P \ { X } ) e. ( P \ { X } ) <-> ( U. ( P \ { X } ) e. P /\ U. ( P \ { X } ) =/= X ) )
11	9, 10	sylib 122	. . . 4 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( U. ( P \ { X } ) e. P /\ U. ( P \ { X } ) =/= X ) )
12	11	simprd 114	. . 3 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { X } ) =/= X )
13	12	necomd 2489	. 2 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> X =/= U. ( P \ { X } ) )
14	11	simpld 112	. . 3 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { X } ) e. P )
15		en2eqpr 7142	. . 3 |- ( ( P ~~ 2o /\ X e. P /\ U. ( P \ { X } ) e. P ) -> ( X =/= U. ( P \ { X } ) -> P = { X , U. ( P \ { X } ) } ) )
16	2, 5, 14, 15	syl3anc 1274	. 2 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( X =/= U. ( P \ { X } ) -> P = { X , U. ( P \ { X } ) } ) )
17	13, 16	mpd 13	1 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P = { X , U. ( P \ { X } ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   \ cdif 3198   {csn 3673   {cpr 3674   U.cuni 3898   class class class wbr 4093   suc csuc 4468   omcom 4694   1oc1o 6618   2oc2o 6619   ~~ cen 6950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955

This theorem is referenced by:  en2other2  7450