ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en2eleq Unicode version

Theorem en2eleq 7015
Description: Express a set of pair cardinality as the unordered pair of a given element and the other element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2eleq  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  P  =  { X ,  U. ( P  \  { X } ) } )

Proof of Theorem en2eleq
StepHypRef Expression
1 1onn 6382 . . . . . . 7  |-  1o  e.  om
2 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  P  ~~  2o )
3 df-2o 6280 . . . . . . . 8  |-  2o  =  suc  1o
42, 3breqtrdi 3937 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  P  ~~  suc  1o )
5 simpl 108 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  X  e.  P )
6 dif1en 6739 . . . . . . 7  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  P  ~~  suc  1o  /\  X  e.  P )  ->  ( P  \  { X } )  ~~  1o )
71, 4, 5, 6mp3an2i 1303 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  -> 
( P  \  { X } )  ~~  1o )
8 en1uniel 6664 . . . . . 6  |-  ( ( P  \  { X } )  ~~  1o  ->  U. ( P  \  { X } )  e.  ( P  \  { X } ) )
97, 8syl 14 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  U. ( P  \  { X } )  e.  ( P  \  { X } ) )
10 eldifsn 3618 . . . . 5  |-  ( U. ( P  \  { X } )  e.  ( P  \  { X } )  <->  ( U. ( P  \  { X } )  e.  P  /\  U. ( P  \  { X } )  =/= 
X ) )
119, 10sylib 121 . . . 4  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  -> 
( U. ( P 
\  { X }
)  e.  P  /\  U. ( P  \  { X } )  =/=  X
) )
1211simprd 113 . . 3  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  U. ( P  \  { X } )  =/=  X
)
1312necomd 2369 . 2  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  X  =/=  U. ( P 
\  { X }
) )
1411simpld 111 . . 3  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  U. ( P  \  { X } )  e.  P
)
15 en2eqpr 6767 . . 3  |-  ( ( P  ~~  2o  /\  X  e.  P  /\  U. ( P  \  { X } )  e.  P
)  ->  ( X  =/=  U. ( P  \  { X } )  ->  P  =  { X ,  U. ( P  \  { X } ) } ) )
162, 5, 14, 15syl3anc 1199 . 2  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  -> 
( X  =/=  U. ( P  \  { X } )  ->  P  =  { X ,  U. ( P  \  { X } ) } ) )
1713, 16mpd 13 1  |-  ( ( X  e.  P  /\  P  ~~  2o )  ->  P  =  { X ,  U. ( P  \  { X } ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463    =/= wne 2283    \ cdif 3036   {csn 3495   {cpr 3496   U.cuni 3704   class class class wbr 3897   suc csuc 4255   omcom 4472   1oc1o 6272   2oc2o 6273    ~~ cen 6598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-1o 6279  df-2o 6280  df-er 6395  df-en 6601  df-fin 6603
This theorem is referenced by:  en2other2  7016
  Copyright terms: Public domain W3C validator