Theorem en2eleq 7303

Description: Express a set of pair cardinality as the unordered pair of a given element and the other element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2eleq	|- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P = { X , U. ( P \ { X } ) } )

Proof of Theorem en2eleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6606	. . . . . . 7 |- 1o e. om
2		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P ~~ 2o )
3		df-2o 6503	. . . . . . . 8 |- 2o = suc 1o
4	2, 3	breqtrdi 4085	. . . . . . 7 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P ~~ suc 1o )
5		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> X e. P )
6		dif1en 6976	. . . . . . 7 |- ( ( 1o e. om /\ P ~~ suc 1o /\ X e. P ) -> ( P \ { X } ) ~~ 1o )
7	1, 4, 5, 6	mp3an2i 1355	. . . . . 6 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( P \ { X } ) ~~ 1o )
8		en1uniel 6896	. . . . . 6 |- ( ( P \ { X } ) ~~ 1o -> U. ( P \ { X } ) e. ( P \ { X } ) )
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { X } ) e. ( P \ { X } ) )
10		eldifsn 3760	. . . . 5 |- ( U. ( P \ { X } ) e. ( P \ { X } ) <-> ( U. ( P \ { X } ) e. P /\ U. ( P \ { X } ) =/= X ) )
11	9, 10	sylib 122	. . . 4 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( U. ( P \ { X } ) e. P /\ U. ( P \ { X } ) =/= X ) )
12	11	simprd 114	. . 3 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { X } ) =/= X )
13	12	necomd 2462	. 2 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> X =/= U. ( P \ { X } ) )
14	11	simpld 112	. . 3 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { X } ) e. P )
15		en2eqpr 7004	. . 3 |- ( ( P ~~ 2o /\ X e. P /\ U. ( P \ { X } ) e. P ) -> ( X =/= U. ( P \ { X } ) -> P = { X , U. ( P \ { X } ) } ) )
16	2, 5, 14, 15	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( X =/= U. ( P \ { X } ) -> P = { X , U. ( P \ { X } ) } ) )
17	13, 16	mpd 13	1 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P = { X , U. ( P \ { X } ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   \ cdif 3163   {csn 3633   {cpr 3634   U.cuni 3850   class class class wbr 4044   suc csuc 4412   omcom 4638   1oc1o 6495   2oc2o 6496   ~~ cen 6825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6502  df-2o 6503  df-er 6620  df-en 6828  df-fin 6830

This theorem is referenced by:  en2other2  7304