Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ege2le3 Unicode version

Theorem ege2le3 11377
 Description: Euler's constant = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erelem1.1
erelem1.2
Assertion
Ref Expression
ege2le3

Proof of Theorem ege2le3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 8992 . . . . . . . . 9
2 nn0uz 9360 . . . . . . . . 9
31, 2eleqtri 2214 . . . . . . . 8
43a1i 9 . . . . . . 7
5 elnn0uz 9363 . . . . . . . . . 10
65biimpri 132 . . . . . . . . 9
7 faccl 10481 . . . . . . . . . . . 12
87nnrecred 8767 . . . . . . . . . . 11
9 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . 13
109oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . 12
11 erelem1.2 . . . . . . . . . . . 12
1210, 11fvmptg 5497 . . . . . . . . . . 11
138, 12mpdan 417 . . . . . . . . . 10
1413, 8eqeltrd 2216 . . . . . . . . 9
156, 14syl 14 . . . . . . . 8
1615adantl 275 . . . . . . 7
17 readdcl 7746 . . . . . . . 8
1817adantl 275 . . . . . . 7
194, 16, 18seq3p1 10235 . . . . . 6
20 0zd 9066 . . . . . . . . 9
2120, 16, 18seq3-1 10233 . . . . . . . 8
22 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . 13
23 fac0 10474 . . . . . . . . . . . . 13
2422, 23syl6eq 2188 . . . . . . . . . . . 12
2524oveq2d 5790 . . . . . . . . . . 11
26 ax-1cn 7713 . . . . . . . . . . . 12
2726div1i 8500 . . . . . . . . . . 11
2825, 27syl6eq 2188 . . . . . . . . . 10
29 1ex 7761 . . . . . . . . . 10
3028, 11, 29fvmpt 5498 . . . . . . . . 9
311, 30mp1i 10 . . . . . . . 8
3221, 31eqtrd 2172 . . . . . . 7
33 1e0p1 9223 . . . . . . . . 9
3433fveq2i 5424 . . . . . . . 8
35 1nn0 8993 . . . . . . . . 9
36 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . 13
37 fac1 10475 . . . . . . . . . . . . 13
3836, 37syl6eq 2188 . . . . . . . . . . . 12
3938oveq2d 5790 . . . . . . . . . . 11
4039, 27syl6eq 2188 . . . . . . . . . 10
4140, 11, 29fvmpt 5498 . . . . . . . . 9
4235, 41mp1i 10 . . . . . . . 8
4334, 42syl5eqr 2186 . . . . . . 7
4432, 43oveq12d 5792 . . . . . 6
4519, 44eqtrd 2172 . . . . 5
4633fveq2i 5424 . . . . 5
47 df-2 8779 . . . . 5
4845, 46, 473eqtr4g 2197 . . . 4
4935a1i 9 . . . . 5
50 nn0z 9074 . . . . . . . . . . . 12
51 1exp 10322 . . . . . . . . . . . 12
5250, 51syl 14 . . . . . . . . . . 11
5352oveq1d 5789 . . . . . . . . . 10
5453mpteq2ia 4014 . . . . . . . . 9
5511, 54eqtr4i 2163 . . . . . . . 8
5655efcvg 11372 . . . . . . 7
5726, 56mp1i 10 . . . . . 6
58 df-e 11355 . . . . . 6
5957, 58breqtrrdi 3970 . . . . 5
6013adantl 275 . . . . . 6
617adantl 275 . . . . . . 7
6261nnrecred 8767 . . . . . 6
6360, 62eqeltrd 2216 . . . . 5
6461nnred 8733 . . . . . . 7
6561nngt0d 8764 . . . . . . 7
66 1re 7765 . . . . . . . 8
67 0le1 8243 . . . . . . . 8
68 divge0 8631 . . . . . . . 8
6966, 67, 68mpanl12 432 . . . . . . 7
7064, 65, 69syl2anc 408 . . . . . 6
7170, 60breqtrrd 3956 . . . . 5
722, 49, 59, 63, 71climserle 11114 . . . 4
7348, 72eqbrtrrd 3952 . . 3
7473mptru 1340 . 2
75 nnuz 9361 . . . . . 6
76 1zzd 9081 . . . . . 6
771a1i 9 . . . . . . . 8
7863recnd 7794 . . . . . . . 8
792, 77, 78, 59clim2ser 11106 . . . . . . 7
80 0p1e1 8834 . . . . . . . 8
81 seqeq1 10221 . . . . . . . 8
8280, 81ax-mp 5 . . . . . . 7
8332mptru 1340 . . . . . . . 8
8483oveq2i 5785 . . . . . . 7
8579, 82, 843brtr3g 3961 . . . . . 6
86 2cnd 8793 . . . . . . . 8
87 halfre 8933 . . . . . . . . . . . . . . 15
8887a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14
89 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14
9088, 89reexpcld 10441 . . . . . . . . . . . . 13
91 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . . . 14
92 eqid 2139 . . . . . . . . . . . . . 14
9391, 92fvmptg 5497 . . . . . . . . . . . . 13
9490, 93mpdan 417 . . . . . . . . . . . 12
9594adantl 275 . . . . . . . . . . 11
96 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13
97 reexpcl 10310 . . . . . . . . . . . . 13
9887, 96, 97sylancr 410 . . . . . . . . . . . 12
9998recnd 7794 . . . . . . . . . . 11
10095, 99eqeltrd 2216 . . . . . . . . . 10
101 1lt2 8889 . . . . . . . . . . . . . 14
102 2re 8790 . . . . . . . . . . . . . . 15
103 0le2 8810 . . . . . . . . . . . . . . 15
104 absid 10843 . . . . . . . . . . . . . . 15
105102, 103, 104mp2an 422 . . . . . . . . . . . . . 14
106101, 105breqtrri 3955 . . . . . . . . . . . . 13
107106a1i 9 . . . . . . . . . . . 12
10886, 107, 95georeclim 11282 . . . . . . . . . . 11
109 2m1e1 8838 . . . . . . . . . . . . 13
110109oveq2i 5785 . . . . . . . . . . . 12
111 2cn 8791 . . . . . . . . . . . . 13
112111div1i 8500 . . . . . . . . . . . 12
113110, 112eqtri 2160 . . . . . . . . . . 11
114108, 113breqtrdi 3969 . . . . . . . . . 10
1152, 77, 100, 114clim2ser 11106 . . . . . . . . 9
116 seqeq1 10221 . . . . . . . . . 10
11780, 116ax-mp 5 . . . . . . . . 9
1186adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15
11994, 90eqeltrd 2216 . . . . . . . . . . . . . . 15
120118, 119syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14
12120, 120, 18seq3-1 10233 . . . . . . . . . . . . 13
122 halfcn 8934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123 exp0 10297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
124122, 123ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
125124, 35eqeltri 2212 . . . . . . . . . . . . . . 15
126 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127126, 92fvmptg 5497 . . . . . . . . . . . . . . 15
1281, 125, 127mp2an 422 . . . . . . . . . . . . . 14
129128, 124eqtri 2160 . . . . . . . . . . . . 13
130121, 129syl6eq 2188 . . . . . . . . . . . 12
131130mptru 1340 . . . . . . . . . . 11
132131oveq2i 5785 . . . . . . . . . 10
133132, 109eqtri 2160 . . . . . . . . 9
134115, 117, 1333brtr3g 3961 . . . . . . . 8
135 nnnn0 8984 . . . . . . . . 9
136135, 100sylan2 284 . . . . . . . 8
137102a1i 9 . . . . . . . . . . . 12
138135, 90syl 14 . . . . . . . . . . . 12
139137, 138remulcld 7796 . . . . . . . . . . 11
14091oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . 12
141 erelem1.1 . . . . . . . . . . . 12
142140, 141fvmptg 5497 . . . . . . . . . . 11
143139, 142mpdan 417 . . . . . . . . . 10
144143adantl 275 . . . . . . . . 9
145135, 95sylan2 284 . . . . . . . . . 10
146145oveq2d 5790 . . . . . . . . 9
147144, 146eqtr4d 2175 . . . . . . . 8
14875, 76, 86, 134, 136, 147isermulc2 11109 . . . . . . 7
149 2t1e2 8873 . . . . . . 7
150148, 149breqtrdi 3969 . . . . . 6
151135, 63sylan2 284 . . . . . 6
152 remulcl 7748 . . . . . . . . 9
153102, 98, 152sylancr 410 . . . . . . . 8
154135, 153sylan2 284 . . . . . . 7
155144, 154eqeltrd 2216 . . . . . 6
156 faclbnd2 10488 . . . . . . . . . . 11
157156adantl 275 . . . . . . . . . 10
158 2nn 8881 . . . . . . . . . . . . . 14
159 nnexpcl 10306 . . . . . . . . . . . . . 14
160158, 96, 159sylancr 410 . . . . . . . . . . . . 13
161160nnrpd 9482 . . . . . . . . . . . 12
162161rphalfcld 9496 . . . . . . . . . . 11
16361nnrpd 9482 . . . . . . . . . . 11
164162, 163lerecd 9503 . . . . . . . . . 10
165157, 164mpbid 146 . . . . . . . . 9
166 2cnd 8793 . . . . . . . . . . 11
167160nncnd 8734 . . . . . . . . . . 11
168160nnap0d 8766 . . . . . . . . . . 11 #
169166, 167, 168divrecapd 8553 . . . . . . . . . 10
170 2ap0 8813 . . . . . . . . . . . 12 #
171170a1i 9 . . . . . . . . . . 11 #
172167, 166, 168, 171recdivapd 8567 . . . . . . . . . 10
173 nn0z 9074 . . . . . . . . . . . . 13
174173adantl 275 . . . . . . . . . . . 12
175166, 171, 174exprecapd 10432 . . . . . . . . . . 11
176175oveq2d 5790 . . . . . . . . . 10
177169, 172, 1763eqtr4rd 2183 . . . . . . . . 9
178165, 177breqtrrd 3956 . . . . . . . 8
179135, 178sylan2 284 . . . . . . 7
180135, 60sylan2 284 . . . . . . 7
181179, 180, 1443brtr4d 3960 . . . . . 6
18275, 76, 85, 150, 151, 155, 181iserle 11111 . . . . 5
183182mptru 1340 . . . 4
184 ere 11376 . . . . 5
185184, 66, 102lesubaddi 8268 . . . 4
186183, 185mpbi 144 . . 3
187 df-3 8780 . . 3
188186, 187breqtrri 3955 . 2
18974, 188pm3.2i 270 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 103   wceq 1331   wtru 1332   wcel 1480   class class class wbr 3929   cmpt 3989  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7618  cr 7619  cc0 7620  c1 7621   caddc 7623   cmul 7625   clt 7800   cle 7801   cmin 7933   # cap 8343   cdiv 8432  cn 8720  c2 8771  c3 8772  cn0 8977  cz 9054  cuz 9326   cseq 10218  cexp 10292  cfa 10471  cabs 10769   cli 11047  ce 11348  ceu 11349 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-ico 9677  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-fac 10472  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123  df-ef 11354  df-e 11355 This theorem is referenced by:  egt2lt3  11486
 Copyright terms: Public domain W3C validator