Theorem ege2le3 12015

Description: Euler's constant _e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
erelem1.1	|- F = ( n e. NN |-> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) )
erelem1.2	|- G = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ege2le3	|- ( 2 <_ _e /\ _e <_ 3 )

Proof of Theorem ege2le3

Dummy variables k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 9312	. . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
2		nn0uz 9685	. . . . . . . . 9 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
3	1, 2	eleqtri 2280	. . . . . . . 8 |- 0 e. ( ZZ>= ` 0 )
4	3	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
5		elnn0uz 9688	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 <-> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
6	5	biimpri 133	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` 0 ) -> k e. NN0 )
7		faccl 10882	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
8	7	nnrecred 9085	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( 1 / ( ! ` k ) ) e. RR )
9		fveq2 5578	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ! ` n ) = ( ! ` k ) )
10	9	oveq2d 5962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
11		erelem1.2	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
12	10, 11	fvmptg 5657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN0 /\ ( 1 / ( ! ` k ) ) e. RR ) -> ( G ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
13	8, 12	mpdan 421	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( G ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
14	13, 8	eqeltrd 2282	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> ( G ` k ) e. RR )
15	6, 14	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( G ` k ) e. RR )
16	15	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
17		readdcl 8053	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. RR /\ y e. RR ) -> ( k + y ) e. RR )
18	17	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ ( k e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( k + y ) e. RR )
19	4, 16, 18	seq3p1 10612	. . . . . 6 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , G ) ` ( 0 + 1 ) ) = ( ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) + ( G ` ( 0 + 1 ) ) ) )
20		0zd 9386	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
21	20, 16, 18	seq3-1 10609	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) = ( G ` 0 ) )
22		fveq2 5578	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 0 -> ( ! ` n ) = ( ! ` 0 ) )
23		fac0 10875	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ! ` 0 ) = 1
24	22, 23	eqtrdi 2254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 0 -> ( ! ` n ) = 1 )
25	24	oveq2d 5962	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 0 -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = ( 1 / 1 ) )
26		ax-1cn 8020	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
27	26	div1i 8815	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 1 ) = 1
28	25, 27	eqtrdi 2254	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 0 -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = 1 )
29		1ex 8069	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. _V
30	28, 11, 29	fvmpt 5658	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. NN0 -> ( G ` 0 ) = 1 )
31	1, 30	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( G ` 0 ) = 1 )
32	21, 31	eqtrd 2238	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) = 1 )
33		1e0p1 9547	. . . . . . . . 9 |- 1 = ( 0 + 1 )
34	33	fveq2i 5581	. . . . . . . 8 |- ( G ` 1 ) = ( G ` ( 0 + 1 ) )
35		1nn0 9313	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN0
36		fveq2 5578	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( ! ` n ) = ( ! ` 1 ) )
37		fac1 10876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ! ` 1 ) = 1
38	36, 37	eqtrdi 2254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> ( ! ` n ) = 1 )
39	38	oveq2d 5962	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = ( 1 / 1 ) )
40	39, 27	eqtrdi 2254	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 1 -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = 1 )
41	40, 11, 29	fvmpt 5658	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. NN0 -> ( G ` 1 ) = 1 )
42	35, 41	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( G ` 1 ) = 1 )
43	34, 42	eqtr3id 2252	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( G ` ( 0 + 1 ) ) = 1 )
44	32, 43	oveq12d 5964	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) + ( G ` ( 0 + 1 ) ) ) = ( 1 + 1 ) )
45	19, 44	eqtrd 2238	. . . . 5 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , G ) ` ( 0 + 1 ) ) = ( 1 + 1 ) )
46	33	fveq2i 5581	. . . . 5 |- ( seq 0 ( + , G ) ` 1 ) = ( seq 0 ( + , G ) ` ( 0 + 1 ) )
47		df-2 9097	. . . . 5 |- 2 = ( 1 + 1 )
48	45, 46, 47	3eqtr4g 2263	. . . 4 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , G ) ` 1 ) = 2 )
49	35	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 1 e. NN0 )
50		nn0z 9394	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
51		1exp 10715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( 1 ^ n ) = 1 )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> ( 1 ^ n ) = 1 )
53	52	oveq1d 5961	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( 1 / ( ! ` n ) ) )
54	53	mpteq2ia 4131	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
55	11, 54	eqtr4i 2229	. . . . . . . 8 |- G = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
56	55	efcvg 12010	. . . . . . 7 |- ( 1 e. CC -> seq 0 ( + , G ) ~~> ( exp ` 1 ) )
57	26, 56	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> seq 0 ( + , G ) ~~> ( exp ` 1 ) )
58		df-e 11993	. . . . . 6 |- _e = ( exp ` 1 )
59	57, 58	breqtrrdi 4087	. . . . 5 |- ( T. -> seq 0 ( + , G ) ~~> _e )
60	13	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
61	7	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. NN )
62	61	nnrecred 9085	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ! ` k ) ) e. RR )
63	60, 62	eqeltrd 2282	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. RR )
64	61	nnred 9051	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. RR )
65	61	nngt0d 9082	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> 0 < ( ! ` k ) )
66		1re 8073	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
67		0le1 8556	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 1
68		divge0 8948	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( ( ! ` k ) e. RR /\ 0 < ( ! ` k ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( ! ` k ) ) )
69	66, 67, 68	mpanl12 436	. . . . . . 7 |- ( ( ( ! ` k ) e. RR /\ 0 < ( ! ` k ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( ! ` k ) ) )
70	64, 65, 69	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( 1 / ( ! ` k ) ) )
71	70, 60	breqtrrd 4073	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
72	2, 49, 59, 63, 71	climserle 11689	. . . 4 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , G ) ` 1 ) <_ _e )
73	48, 72	eqbrtrrd 4069	. . 3 |- ( T. -> 2 <_ _e )
74	73	mptru 1382	. 2 |- 2 <_ _e
75		nnuz 9686	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
76		1zzd 9401	. . . . . 6 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
77	1	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> 0 e. NN0 )
78	63	recnd 8103	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
79	2, 77, 78, 59	clim2ser 11681	. . . . . . 7 |- ( T. -> seq ( 0 + 1 ) ( + , G ) ~~> ( _e - ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) ) )
80		0p1e1 9152	. . . . . . . 8 |- ( 0 + 1 ) = 1
81		seqeq1 10597	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 + 1 ) = 1 -> seq ( 0 + 1 ) ( + , G ) = seq 1 ( + , G ) )
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- seq ( 0 + 1 ) ( + , G ) = seq 1 ( + , G )
83	32	mptru 1382	. . . . . . . 8 |- ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) = 1
84	83	oveq2i 5957	. . . . . . 7 |- ( _e - ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) ) = ( _e - 1 )
85	79, 82, 84	3brtr3g 4078	. . . . . 6 |- ( T. -> seq 1 ( + , G ) ~~> ( _e - 1 ) )
86		2cnd 9111	. . . . . . . 8 |- ( T. -> 2 e. CC )
87		halfre 9252	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 / 2 ) e. RR
88	87	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN0 -> ( 1 / 2 ) e. RR )
89		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN0 -> k e. NN0 )
90	88, 89	reexpcld 10837	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR )
91		oveq2 5954	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) = ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
92		eqid 2205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) )
93	91, 92	fvmptg 5657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
94	90, 93	mpdan 421	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
95	94	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
96		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
97		reexpcl 10703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR )
98	87, 96, 97	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR )
99	98	recnd 8103	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. CC )
100	95, 99	eqeltrd 2282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) e. CC )
101		1lt2 9208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 < 2
102		2re 9108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
103		0le2 9128	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 <_ 2
104		absid 11415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) -> ( abs ` 2 ) = 2 )
105	102, 103, 104	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` 2 ) = 2
106	101, 105	breqtrri 4072	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 < ( abs ` 2 )
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 1 < ( abs ` 2 ) )
108	86, 107, 95	georeclim 11857	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ~~> ( 2 / ( 2 - 1 ) ) )
109		2m1e1 9156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 - 1 ) = 1
110	109	oveq2i 5957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 / ( 2 - 1 ) ) = ( 2 / 1 )
111		2cn 9109	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
112	111	div1i 8815	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 / 1 ) = 2
113	110, 112	eqtri 2226	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 / ( 2 - 1 ) ) = 2
114	108, 113	breqtrdi 4086	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ~~> 2 )
115	2, 77, 100, 114	clim2ser 11681	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> seq ( 0 + 1 ) ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ~~> ( 2 - ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` 0 ) ) )
116		seqeq1 10597	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 + 1 ) = 1 -> seq ( 0 + 1 ) ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) )
117	80, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- seq ( 0 + 1 ) ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) )
118	6	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T. /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> k e. NN0 )
119	94, 90	eqeltrd 2282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) e. RR )
120	118, 119	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) e. RR )
121	20, 120, 18	seq3-1 10609	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` 0 ) = ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` 0 ) )
122		halfcn 9253	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 / 2 ) e. CC
123		exp0 10690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 / 2 ) e. CC -> ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) = 1 )
124	122, 123	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) = 1
125	124, 35	eqeltri 2278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) e. NN0
126		oveq2 5954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = 0 -> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) = ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) )
127	126, 92	fvmptg 5657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. NN0 /\ ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` 0 ) = ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) )
128	1, 125, 127	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` 0 ) = ( ( 1 / 2 ) ^ 0 )
129	128, 124	eqtri 2226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` 0 ) = 1
130	121, 129	eqtrdi 2254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` 0 ) = 1 )
131	130	mptru 1382	. . . . . . . . . . 11 |- ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` 0 ) = 1
132	131	oveq2i 5957	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 - ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` 0 ) ) = ( 2 - 1 )
133	132, 109	eqtri 2226	. . . . . . . . 9 |- ( 2 - ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` 0 ) ) = 1
134	115, 117, 133	3brtr3g 4078	. . . . . . . 8 |- ( T. -> seq 1 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ~~> 1 )
135		nnnn0 9304	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
136	135, 100	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) e. CC )
137	102	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> 2 e. RR )
138	135, 90	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR )
139	137, 138	remulcld 8105	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) e. RR )
140	91	oveq2d 5962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
141		erelem1.1	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( n e. NN |-> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) )
142	140, 141	fvmptg 5657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) e. RR ) -> ( F ` k ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
143	139, 142	mpdan 421	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( F ` k ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
144	143	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
145	135, 95	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
146	145	oveq2d 5962	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 2 x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
147	144, 146	eqtr4d 2241	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( 2 x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) ) )
148	75, 76, 86, 134, 136, 147	isermulc2 11684	. . . . . . 7 |- ( T. -> seq 1 ( + , F ) ~~> ( 2 x. 1 ) )
149		2t1e2 9192	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 1 ) = 2
150	148, 149	breqtrdi 4086	. . . . . 6 |- ( T. -> seq 1 ( + , F ) ~~> 2 )
151	135, 63	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
152		remulcl 8055	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) e. RR )
153	102, 98, 152	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) e. RR )
154	135, 153	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) e. RR )
155	144, 154	eqeltrd 2282	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR )
156		faclbnd2 10889	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 ^ k ) / 2 ) <_ ( ! ` k ) )
157	156	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ k ) / 2 ) <_ ( ! ` k ) )
158		2nn 9200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN
159		nnexpcl 10699	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
160	158, 96, 159	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
161	160	nnrpd 9818	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. RR+ )
162	161	rphalfcld 9833	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ k ) / 2 ) e. RR+ )
163	61	nnrpd 9818	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. RR+ )
164	162, 163	lerecd 9840	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( 2 ^ k ) / 2 ) <_ ( ! ` k ) <-> ( 1 / ( ! ` k ) ) <_ ( 1 / ( ( 2 ^ k ) / 2 ) ) ) )
165	157, 164	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ! ` k ) ) <_ ( 1 / ( ( 2 ^ k ) / 2 ) ) )
166		2cnd 9111	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> 2 e. CC )
167	160	nncnd 9052	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. CC )
168	160	nnap0d 9084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) # 0 )
169	166, 167, 168	divrecapd 8868	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 / ( 2 ^ k ) ) = ( 2 x. ( 1 / ( 2 ^ k ) ) ) )
170		2ap0 9131	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 # 0
171	170	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> 2 # 0 )
172	167, 166, 168, 171	recdivapd 8882	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ( 2 ^ k ) / 2 ) ) = ( 2 / ( 2 ^ k ) ) )
173		nn0z 9394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
174	173	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> k e. ZZ )
175	166, 171, 174	exprecapd 10828	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
176	175	oveq2d 5962	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) = ( 2 x. ( 1 / ( 2 ^ k ) ) ) )
177	169, 172, 176	3eqtr4rd 2249	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) = ( 1 / ( ( 2 ^ k ) / 2 ) ) )
178	165, 177	breqtrrd 4073	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ! ` k ) ) <_ ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
179	135, 178	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( ! ` k ) ) <_ ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
180	135, 60	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
181	179, 180, 144	3brtr4d 4077	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( F ` k ) )
182	75, 76, 85, 150, 151, 155, 181	iserle 11686	. . . . 5 |- ( T. -> ( _e - 1 ) <_ 2 )
183	182	mptru 1382	. . . 4 |- ( _e - 1 ) <_ 2
184		ere 12014	. . . . 5 |- _e e. RR
185	184, 66, 102	lesubaddi 8581	. . . 4 |- ( ( _e - 1 ) <_ 2 <-> _e <_ ( 2 + 1 ) )
186	183, 185	mpbi 145	. . 3 |- _e <_ ( 2 + 1 )
187		df-3 9098	. . 3 |- 3 = ( 2 + 1 )
188	186, 187	breqtrri 4072	. 2 |- _e <_ 3
189	74, 188	pm3.2i 272	1 |- ( 2 <_ _e /\ _e <_ 3 )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   T. wtru 1374   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   |-> cmpt 4106   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   CCcc 7925   RRcr 7926   0cc0 7927   1c1 7928   + caddc 7930   x. cmul 7932   < clt 8109   <_ cle 8110   - cmin 8245   # cap 8656   / cdiv 8747   NNcn 9038   2c2 9089   3c3 9090   NN0cn0 9297   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650   seqcseq 10594   ^cexp 10685   !cfa 10872   abscabs 11341   ~~> cli 11622   expce 11986   _eceu 11987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-isom 5281  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-frec 6479  df-1o 6504  df-oadd 6508  df-er 6622  df-en 6830  df-dom 6831  df-fin 6832  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-q 9743  df-rp 9778  df-ico 10018  df-fz 10133  df-fzo 10267  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-fac 10873  df-ihash 10923  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-clim 11623  df-sumdc 11698  df-ef 11992  df-e 11993

This theorem is referenced by:  egt2lt3  12124