Theorem ege2le3 11678

Description: Euler's constant _e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
erelem1.1	|- F = ( n e. NN |-> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) )
erelem1.2	|- G = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ege2le3	|- ( 2 <_ _e /\ _e <_ 3 )

Proof of Theorem ege2le3

Dummy variables k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 9190	. . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
2		nn0uz 9561	. . . . . . . . 9 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
3	1, 2	eleqtri 2252	. . . . . . . 8 |- 0 e. ( ZZ>= ` 0 )
4	3	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
5		elnn0uz 9564	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 <-> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
6	5	biimpri 133	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` 0 ) -> k e. NN0 )
7		faccl 10714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
8	7	nnrecred 8965	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( 1 / ( ! ` k ) ) e. RR )
9		fveq2 5515	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ! ` n ) = ( ! ` k ) )
10	9	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
11		erelem1.2	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
12	10, 11	fvmptg 5592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN0 /\ ( 1 / ( ! ` k ) ) e. RR ) -> ( G ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
13	8, 12	mpdan 421	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( G ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
14	13, 8	eqeltrd 2254	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> ( G ` k ) e. RR )
15	6, 14	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( G ` k ) e. RR )
16	15	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
17		readdcl 7936	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. RR /\ y e. RR ) -> ( k + y ) e. RR )
18	17	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ ( k e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( k + y ) e. RR )
19	4, 16, 18	seq3p1 10461	. . . . . 6 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , G ) ` ( 0 + 1 ) ) = ( ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) + ( G ` ( 0 + 1 ) ) ) )
20		0zd 9264	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
21	20, 16, 18	seq3-1 10459	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) = ( G ` 0 ) )
22		fveq2 5515	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 0 -> ( ! ` n ) = ( ! ` 0 ) )
23		fac0 10707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ! ` 0 ) = 1
24	22, 23	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 0 -> ( ! ` n ) = 1 )
25	24	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 0 -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = ( 1 / 1 ) )
26		ax-1cn 7903	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
27	26	div1i 8696	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 1 ) = 1
28	25, 27	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 0 -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = 1 )
29		1ex 7951	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. _V
30	28, 11, 29	fvmpt 5593	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. NN0 -> ( G ` 0 ) = 1 )
31	1, 30	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( G ` 0 ) = 1 )
32	21, 31	eqtrd 2210	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) = 1 )
33		1e0p1 9424	. . . . . . . . 9 |- 1 = ( 0 + 1 )
34	33	fveq2i 5518	. . . . . . . 8 |- ( G ` 1 ) = ( G ` ( 0 + 1 ) )
35		1nn0 9191	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN0
36		fveq2 5515	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( ! ` n ) = ( ! ` 1 ) )
37		fac1 10708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ! ` 1 ) = 1
38	36, 37	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> ( ! ` n ) = 1 )
39	38	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = ( 1 / 1 ) )
40	39, 27	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 1 -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = 1 )
41	40, 11, 29	fvmpt 5593	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. NN0 -> ( G ` 1 ) = 1 )
42	35, 41	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( G ` 1 ) = 1 )
43	34, 42	eqtr3id 2224	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( G ` ( 0 + 1 ) ) = 1 )
44	32, 43	oveq12d 5892	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) + ( G ` ( 0 + 1 ) ) ) = ( 1 + 1 ) )
45	19, 44	eqtrd 2210	. . . . 5 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , G ) ` ( 0 + 1 ) ) = ( 1 + 1 ) )
46	33	fveq2i 5518	. . . . 5 |- ( seq 0 ( + , G ) ` 1 ) = ( seq 0 ( + , G ) ` ( 0 + 1 ) )
47		df-2 8977	. . . . 5 |- 2 = ( 1 + 1 )
48	45, 46, 47	3eqtr4g 2235	. . . 4 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , G ) ` 1 ) = 2 )
49	35	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 1 e. NN0 )
50		nn0z 9272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
51		1exp 10548	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( 1 ^ n ) = 1 )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> ( 1 ^ n ) = 1 )
53	52	oveq1d 5889	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( 1 / ( ! ` n ) ) )
54	53	mpteq2ia 4089	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
55	11, 54	eqtr4i 2201	. . . . . . . 8 |- G = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
56	55	efcvg 11673	. . . . . . 7 |- ( 1 e. CC -> seq 0 ( + , G ) ~~> ( exp ` 1 ) )
57	26, 56	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> seq 0 ( + , G ) ~~> ( exp ` 1 ) )
58		df-e 11656	. . . . . 6 |- _e = ( exp ` 1 )
59	57, 58	breqtrrdi 4045	. . . . 5 |- ( T. -> seq 0 ( + , G ) ~~> _e )
60	13	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
61	7	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. NN )
62	61	nnrecred 8965	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ! ` k ) ) e. RR )
63	60, 62	eqeltrd 2254	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. RR )
64	61	nnred 8931	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. RR )
65	61	nngt0d 8962	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> 0 < ( ! ` k ) )
66		1re 7955	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
67		0le1 8437	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 1
68		divge0 8829	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( ( ! ` k ) e. RR /\ 0 < ( ! ` k ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( ! ` k ) ) )
69	66, 67, 68	mpanl12 436	. . . . . . 7 |- ( ( ( ! ` k ) e. RR /\ 0 < ( ! ` k ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( ! ` k ) ) )
70	64, 65, 69	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( 1 / ( ! ` k ) ) )
71	70, 60	breqtrrd 4031	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
72	2, 49, 59, 63, 71	climserle 11352	. . . 4 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , G ) ` 1 ) <_ _e )
73	48, 72	eqbrtrrd 4027	. . 3 |- ( T. -> 2 <_ _e )
74	73	mptru 1362	. 2 |- 2 <_ _e
75		nnuz 9562	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
76		1zzd 9279	. . . . . 6 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
77	1	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> 0 e. NN0 )
78	63	recnd 7985	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
79	2, 77, 78, 59	clim2ser 11344	. . . . . . 7 |- ( T. -> seq ( 0 + 1 ) ( + , G ) ~~> ( _e - ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) ) )
80		0p1e1 9032	. . . . . . . 8 |- ( 0 + 1 ) = 1
81		seqeq1 10447	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 + 1 ) = 1 -> seq ( 0 + 1 ) ( + , G ) = seq 1 ( + , G ) )
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- seq ( 0 + 1 ) ( + , G ) = seq 1 ( + , G )
83	32	mptru 1362	. . . . . . . 8 |- ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) = 1
84	83	oveq2i 5885	. . . . . . 7 |- ( _e - ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) ) = ( _e - 1 )
85	79, 82, 84	3brtr3g 4036	. . . . . 6 |- ( T. -> seq 1 ( + , G ) ~~> ( _e - 1 ) )
86		2cnd 8991	. . . . . . . 8 |- ( T. -> 2 e. CC )
87		halfre 9131	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 / 2 ) e. RR
88	87	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN0 -> ( 1 / 2 ) e. RR )
89		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN0 -> k e. NN0 )
90	88, 89	reexpcld 10670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR )
91		oveq2 5882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) = ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
92		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) )
93	91, 92	fvmptg 5592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
94	90, 93	mpdan 421	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
95	94	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
96		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
97		reexpcl 10536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR )
98	87, 96, 97	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR )
99	98	recnd 7985	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. CC )
100	95, 99	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) e. CC )
101		1lt2 9087	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 < 2
102		2re 8988	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
103		0le2 9008	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 <_ 2
104		absid 11079	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) -> ( abs ` 2 ) = 2 )
105	102, 103, 104	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` 2 ) = 2
106	101, 105	breqtrri 4030	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 < ( abs ` 2 )
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 1 < ( abs ` 2 ) )
108	86, 107, 95	georeclim 11520	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ~~> ( 2 / ( 2 - 1 ) ) )
109		2m1e1 9036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 - 1 ) = 1
110	109	oveq2i 5885	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 / ( 2 - 1 ) ) = ( 2 / 1 )
111		2cn 8989	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
112	111	div1i 8696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 / 1 ) = 2
113	110, 112	eqtri 2198	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 / ( 2 - 1 ) ) = 2
114	108, 113	breqtrdi 4044	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ~~> 2 )
115	2, 77, 100, 114	clim2ser 11344	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> seq ( 0 + 1 ) ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ~~> ( 2 - ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` 0 ) ) )
116		seqeq1 10447	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 + 1 ) = 1 -> seq ( 0 + 1 ) ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) )
117	80, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- seq ( 0 + 1 ) ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) )
118	6	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T. /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> k e. NN0 )
119	94, 90	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) e. RR )
120	118, 119	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) e. RR )
121	20, 120, 18	seq3-1 10459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` 0 ) = ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` 0 ) )
122		halfcn 9132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 / 2 ) e. CC
123		exp0 10523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 / 2 ) e. CC -> ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) = 1 )
124	122, 123	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) = 1
125	124, 35	eqeltri 2250	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) e. NN0
126		oveq2 5882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = 0 -> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) = ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) )
127	126, 92	fvmptg 5592	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. NN0 /\ ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` 0 ) = ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) )
128	1, 125, 127	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` 0 ) = ( ( 1 / 2 ) ^ 0 )
129	128, 124	eqtri 2198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` 0 ) = 1
130	121, 129	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` 0 ) = 1 )
131	130	mptru 1362	. . . . . . . . . . 11 |- ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` 0 ) = 1
132	131	oveq2i 5885	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 - ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` 0 ) ) = ( 2 - 1 )
133	132, 109	eqtri 2198	. . . . . . . . 9 |- ( 2 - ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` 0 ) ) = 1
134	115, 117, 133	3brtr3g 4036	. . . . . . . 8 |- ( T. -> seq 1 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ~~> 1 )
135		nnnn0 9182	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
136	135, 100	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) e. CC )
137	102	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> 2 e. RR )
138	135, 90	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR )
139	137, 138	remulcld 7987	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) e. RR )
140	91	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
141		erelem1.1	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( n e. NN |-> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) )
142	140, 141	fvmptg 5592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) e. RR ) -> ( F ` k ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
143	139, 142	mpdan 421	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( F ` k ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
144	143	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
145	135, 95	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
146	145	oveq2d 5890	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 2 x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
147	144, 146	eqtr4d 2213	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( 2 x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) ) )
148	75, 76, 86, 134, 136, 147	isermulc2 11347	. . . . . . 7 |- ( T. -> seq 1 ( + , F ) ~~> ( 2 x. 1 ) )
149		2t1e2 9071	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 1 ) = 2
150	148, 149	breqtrdi 4044	. . . . . 6 |- ( T. -> seq 1 ( + , F ) ~~> 2 )
151	135, 63	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
152		remulcl 7938	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) e. RR )
153	102, 98, 152	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) e. RR )
154	135, 153	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) e. RR )
155	144, 154	eqeltrd 2254	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR )
156		faclbnd2 10721	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 ^ k ) / 2 ) <_ ( ! ` k ) )
157	156	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ k ) / 2 ) <_ ( ! ` k ) )
158		2nn 9079	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN
159		nnexpcl 10532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
160	158, 96, 159	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
161	160	nnrpd 9693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. RR+ )
162	161	rphalfcld 9708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ k ) / 2 ) e. RR+ )
163	61	nnrpd 9693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. RR+ )
164	162, 163	lerecd 9715	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( 2 ^ k ) / 2 ) <_ ( ! ` k ) <-> ( 1 / ( ! ` k ) ) <_ ( 1 / ( ( 2 ^ k ) / 2 ) ) ) )
165	157, 164	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ! ` k ) ) <_ ( 1 / ( ( 2 ^ k ) / 2 ) ) )
166		2cnd 8991	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> 2 e. CC )
167	160	nncnd 8932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. CC )
168	160	nnap0d 8964	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) # 0 )
169	166, 167, 168	divrecapd 8749	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 / ( 2 ^ k ) ) = ( 2 x. ( 1 / ( 2 ^ k ) ) ) )
170		2ap0 9011	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 # 0
171	170	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> 2 # 0 )
172	167, 166, 168, 171	recdivapd 8763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ( 2 ^ k ) / 2 ) ) = ( 2 / ( 2 ^ k ) ) )
173		nn0z 9272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
174	173	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> k e. ZZ )
175	166, 171, 174	exprecapd 10661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
176	175	oveq2d 5890	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) = ( 2 x. ( 1 / ( 2 ^ k ) ) ) )
177	169, 172, 176	3eqtr4rd 2221	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) = ( 1 / ( ( 2 ^ k ) / 2 ) ) )
178	165, 177	breqtrrd 4031	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ! ` k ) ) <_ ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
179	135, 178	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( ! ` k ) ) <_ ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
180	135, 60	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
181	179, 180, 144	3brtr4d 4035	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( F ` k ) )
182	75, 76, 85, 150, 151, 155, 181	iserle 11349	. . . . 5 |- ( T. -> ( _e - 1 ) <_ 2 )
183	182	mptru 1362	. . . 4 |- ( _e - 1 ) <_ 2
184		ere 11677	. . . . 5 |- _e e. RR
185	184, 66, 102	lesubaddi 8462	. . . 4 |- ( ( _e - 1 ) <_ 2 <-> _e <_ ( 2 + 1 ) )
186	183, 185	mpbi 145	. . 3 |- _e <_ ( 2 + 1 )
187		df-3 8978	. . 3 |- 3 = ( 2 + 1 )
188	186, 187	breqtrri 4030	. 2 |- _e <_ 3
189	74, 188	pm3.2i 272	1 |- ( 2 <_ _e /\ _e <_ 3 )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   T. wtru 1354   e. wcel 2148   class class class wbr 4003   |-> cmpt 4064   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   CCcc 7808   RRcr 7809   0cc0 7810   1c1 7811   + caddc 7813   x. cmul 7815   < clt 7991   <_ cle 7992   - cmin 8127   # cap 8537   / cdiv 8628   NNcn 8918   2c2 8969   3c3 8970   NN0cn0 9175   ZZcz 9252   ZZ>=cuz 9527   seqcseq 10444   ^cexp 10518   !cfa 10704   abscabs 11005   ~~> cli 11285   expce 11649   _eceu 11650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-ico 9893  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-fac 10705  df-ihash 10755  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-sumdc 11361  df-ef 11655  df-e 11656

This theorem is referenced by:  egt2lt3  11786