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Theorem ege2le3 11304
Description: Euler's constant  _e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erelem1.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) )
erelem1.2  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
Assertion
Ref Expression
ege2le3  |-  ( 2  <_  _e  /\  _e  <_  3 )

Proof of Theorem ege2le3
Dummy variables  k  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 8960 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
2 nn0uz 9328 . . . . . . . . 9  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2eleqtri 2192 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
43a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  0  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
5 elnn0uz 9331 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  <->  k  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
65biimpri 132 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  k  e.  NN0 )
7 faccl 10449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
87nnrecred 8735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 1  /  ( ! `  k ) )  e.  RR )
9 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  k ) )
109oveq2d 5758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
11 erelem1.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
1210, 11fvmptg 5465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( 1  /  ( ! `  k )
)  e.  RR )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  /  ( ! `
 k ) ) )
138, 12mpdan 417 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  =  ( 1  /  ( ! `  k )
) )
1413, 8eqeltrd 2194 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  e.  RR )
156, 14syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( G `  k )  e.  RR )
1615adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( G `  k )  e.  RR )
17 readdcl 7714 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( k  +  y )  e.  RR )
1817adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( k  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( k  +  y )  e.  RR )
194, 16, 18seq3p1 10203 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  ( 0  +  1 ) )  =  ( (  seq 0 (  +  ,  G ) `  0
)  +  ( G `
 ( 0  +  1 ) ) ) )
20 0zd 9034 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  0  e.  ZZ )
2120, 16, 18seq3-1 10201 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  0 )  =  ( G ` 
0 ) )
22 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  0  ->  ( ! `  n )  =  ( ! ` 
0 ) )
23 fac0 10442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ! `
 0 )  =  1
2422, 23syl6eq 2166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  ( ! `  n )  =  1 )
2524oveq2d 5758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  0  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
26 ax-1cn 7681 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
2726div1i 8468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  1 )  =  1
2825, 27syl6eq 2166 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  0  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  1 )
29 1ex 7729 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  _V
3028, 11, 29fvmpt 5466 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( G `
 0 )  =  1 )
311, 30mp1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( G `  0
)  =  1 )
3221, 31eqtrd 2150 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  0 )  =  1 )
33 1e0p1 9191 . . . . . . . . 9  |-  1  =  ( 0  +  1 )
3433fveq2i 5392 . . . . . . . 8  |-  ( G `
 1 )  =  ( G `  (
0  +  1 ) )
35 1nn0 8961 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
36 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  ( ! `  n )  =  ( ! ` 
1 ) )
37 fac1 10443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ! `
 1 )  =  1
3836, 37syl6eq 2166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  ( ! `  n )  =  1 )
3938oveq2d 5758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
4039, 27syl6eq 2166 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  1 )
4140, 11, 29fvmpt 5466 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( G `
 1 )  =  1 )
4235, 41mp1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( G `  1
)  =  1 )
4334, 42syl5eqr 2164 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( G `  (
0  +  1 ) )  =  1 )
4432, 43oveq12d 5760 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( (  seq 0
(  +  ,  G
) `  0 )  +  ( G `  ( 0  +  1 ) ) )  =  ( 1  +  1 ) )
4519, 44eqtrd 2150 . . . . 5  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  +  1 ) )
4633fveq2i 5392 . . . . 5  |-  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  1
)  =  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  (
0  +  1 ) )
47 df-2 8747 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
4845, 46, 473eqtr4g 2175 . . . 4  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  1 )  =  2 )
4935a1i 9 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  NN0 )
50 nn0z 9042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
51 1exp 10290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
5250, 51syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
5352oveq1d 5757 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n ) )  =  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
5453mpteq2ia 3984 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( 1  / 
( ! `  n
) ) )
5511, 54eqtr4i 2141 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n )
) )
5655efcvg 11299 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  seq 0 (  +  ,  G )  ~~>  ( exp `  1 ) )
5726, 56mp1i 10 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  G )  ~~>  ( exp `  1 ) )
58 df-e 11282 . . . . . 6  |-  _e  =  ( exp `  1 )
5957, 58breqtrrdi 3940 . . . . 5  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  G )  ~~>  _e )
6013adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
617adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
6261nnrecred 8735 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  e.  RR )
6360, 62eqeltrd 2194 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
6461nnred 8701 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  RR )
6561nngt0d 8732 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <  ( ! `  k
) )
66 1re 7733 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
67 0le1 8211 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
68 divge0 8599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( ( ! `
 k )  e.  RR  /\  0  < 
( ! `  k
) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ! `  k ) ) )
6966, 67, 68mpanl12 432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  RR  /\  0  <  ( ! `  k ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ! `  k ) ) )
7064, 65, 69syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <_  ( 1  /  ( ! `  k )
) )
7170, 60breqtrrd 3926 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <_  ( G `  k
) )
722, 49, 59, 63, 71climserle 11082 . . . 4  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  1 )  <_  _e )
7348, 72eqbrtrrd 3922 . . 3  |-  ( T. 
->  2  <_  _e )
7473mptru 1325 . 2  |-  2  <_  _e
75 nnuz 9329 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
76 1zzd 9049 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
771a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  0  e.  NN0 )
7863recnd 7762 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
792, 77, 78, 59clim2ser 11074 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  seq ( 0  +  1 ) (  +  ,  G )  ~~>  ( _e 
-  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  0 )
) )
80 0p1e1 8802 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
81 seqeq1 10189 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  seq ( 0  +  1 ) (  +  ,  G )  =  seq 1 (  +  ,  G ) )
8280, 81ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  seq (
0  +  1 ) (  +  ,  G
)  =  seq 1
(  +  ,  G
)
8332mptru 1325 . . . . . . . 8  |-  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  0
)  =  1
8483oveq2i 5753 . . . . . . 7  |-  ( _e 
-  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  0 )
)  =  ( _e 
-  1 )
8579, 82, 843brtr3g 3931 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  G )  ~~>  ( _e 
-  1 ) )
86 2cnd 8761 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  2  e.  CC )
87 halfre 8901 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
8887a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
89 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e. 
NN0 )
9088, 89reexpcld 10409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  e.  RR )
91 oveq2 5750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  2
) ^ n )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )
92 eqid 2117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) )
9391, 92fvmptg 5465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
9490, 93mpdan 417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
9594adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  =  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )
96 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
97 reexpcl 10278 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR )
9887, 96, 97sylancr 410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR )
9998recnd 7762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  CC )
10095, 99eqeltrd 2194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  e.  CC )
101 1lt2 8857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <  2
102 2re 8758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
103 0le2 8778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  2
104 absid 10811 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( abs `  2
)  =  2 )
105102, 103, 104mp2an 422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  2 )  =  2
106101, 105breqtrri 3925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <  ( abs `  2
)
107106a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  1  <  ( abs `  2 ) )
10886, 107, 95georeclim 11250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  ( 2  /  (
2  -  1 ) ) )
109 2m1e1 8806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  -  1 )  =  1
110109oveq2i 5753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  ( 2  -  1 ) )  =  ( 2  /  1
)
111 2cn 8759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
112111div1i 8468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  1 )  =  2
113110, 112eqtri 2138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  /  ( 2  -  1 ) )  =  2
114108, 113breqtrdi 3939 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  2 )
1152, 77, 100, 114clim2ser 11074 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  seq ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  ( 2  -  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) ) ` 
0 ) ) )
116 seqeq1 10189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  seq ( 0  +  1 ) (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ) )
11780, 116ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  seq (
0  +  1 ) (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) )  =  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) )
1186adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  k  e.  NN0 )
11994, 90eqeltrd 2194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k )  e.  RR )
120118, 119syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k )  e.  RR )
12120, 120, 18seq3-1 10201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 ) )
122 halfcn 8902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
123 exp0 10265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
) ^ 0 )  =  1 )
124122, 123ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 0 )  =  1
125124, 35eqeltri 2190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 0 )  e. 
NN0
126 oveq2 5750 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  0  ->  (
( 1  /  2
) ^ n )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
0 ) )
127126, 92fvmptg 5465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( ( 1  / 
2 ) ^ 0 )  e.  NN0 )  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ` 
0 )  =  ( ( 1  /  2
) ^ 0 ) )
1281, 125, 127mp2an 422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ 0 )
129128, 124eqtri 2138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 )  =  1
130121, 129syl6eq 2166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 )  =  1 )
131130mptru 1325 . . . . . . . . . . 11  |-  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) ) ` 
0 )  =  1
132131oveq2i 5753 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  -  (  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 ) )  =  ( 2  -  1 )
133132, 109eqtri 2138 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  -  (  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 ) )  =  1
134115, 117, 1333brtr3g 3931 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  1 )
135 nnnn0 8952 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
136135, 100sylan2 284 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  e.  CC )
137102a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR )
138135, 90syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR )
139137, 138remulcld 7764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  e.  RR )
14091oveq2d 5758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
141 erelem1.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) )
142140, 141fvmptg 5465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
( 1  /  2
) ^ k ) )  e.  RR )  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) ) )
143139, 142mpdan 417 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
144143adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
145135, 95sylan2 284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  =  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )
146145oveq2d 5758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
147144, 146eqtr4d 2153 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) `  k ) ) )
14875, 76, 86, 134, 136, 147isermulc2 11077 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  ( 2  x.  1 ) )
149 2t1e2 8841 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
150148, 149breqtrdi 3939 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  2 )
151135, 63sylan2 284 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
152 remulcl 7716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )  e.  RR )
153102, 98, 152sylancr 410 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  e.  RR )
154135, 153sylan2 284 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  e.  RR )
155144, 154eqeltrd 2194 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
156 faclbnd2 10456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ k )  /  2 )  <_ 
( ! `  k
) )
157156adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 2 ^ k
)  /  2 )  <_  ( ! `  k ) )
158 2nn 8849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
159 nnexpcl 10274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  NN )
160158, 96, 159sylancr 410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  NN )
161160nnrpd 9450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  RR+ )
162161rphalfcld 9464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 2 ^ k
)  /  2 )  e.  RR+ )
16361nnrpd 9450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  RR+ )
164162, 163lerecd 9471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( ( 2 ^ k )  /  2
)  <_  ( ! `  k )  <->  ( 1  /  ( ! `  k ) )  <_ 
( 1  /  (
( 2 ^ k
)  /  2 ) ) ) )
165157, 164mpbid 146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 1  / 
( ( 2 ^ k )  /  2
) ) )
166 2cnd 8761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  2  e.  CC )
167160nncnd 8702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  CC )
168160nnap0d 8734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k ) #  0 )
169166, 167, 168divrecapd 8521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  /  ( 2 ^ k ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2 ^ k ) ) ) )
170 2ap0 8781 . . . . . . . . . . . 12  |-  2 #  0
171170a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  2 #  0 )
172167, 166, 168, 171recdivapd 8535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ( 2 ^ k )  /  2 ) )  =  ( 2  / 
( 2 ^ k
) ) )
173 nn0z 9042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
174173adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  k  e.  ZZ )
175166, 171, 174exprecapd 10400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  =  ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )
176175oveq2d 5758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2 ^ k ) ) ) )
177169, 172, 1763eqtr4rd 2161 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  =  ( 1  / 
( ( 2 ^ k )  /  2
) ) )
178165, 177breqtrrd 3926 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
179135, 178sylan2 284 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
180135, 60sylan2 284 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
181179, 180, 1443brtr4d 3930 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k
) )
18275, 76, 85, 150, 151, 155, 181iserle 11079 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( _e  -  1 )  <_  2 )
183182mptru 1325 . . . 4  |-  ( _e 
-  1 )  <_ 
2
184 ere 11303 . . . . 5  |-  _e  e.  RR
185184, 66, 102lesubaddi 8236 . . . 4  |-  ( ( _e  -  1 )  <_  2  <->  _e  <_  ( 2  +  1 ) )
186183, 185mpbi 144 . . 3  |-  _e  <_  ( 2  +  1 )
187 df-3 8748 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
188186, 187breqtrri 3925 . 2  |-  _e  <_  3
18974, 188pm3.2i 270 1  |-  ( 2  <_  _e  /\  _e  <_  3 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1316   T. wtru 1317    e. wcel 1465   class class class wbr 3899    |-> cmpt 3959   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   CCcc 7586   RRcr 7587   0cc0 7588   1c1 7589    + caddc 7591    x. cmul 7593    < clt 7768    <_ cle 7769    - cmin 7901   # cap 8311    / cdiv 8400   NNcn 8688   2c2 8739   3c3 8740   NN0cn0 8945   ZZcz 9022   ZZ>=cuz 9294    seqcseq 10186   ^cexp 10260   !cfa 10439   abscabs 10737    ~~> cli 11015   expce 11275   _eceu 11276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-frec 6256  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604  df-fin 6605  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-ico 9645  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-fac 10440  df-ihash 10490  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-clim 11016  df-sumdc 11091  df-ef 11281  df-e 11282
This theorem is referenced by:  egt2lt3  11413
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