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Theorem ege2le3 11681
Description: Euler's constant  _e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erelem1.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) )
erelem1.2  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
Assertion
Ref Expression
ege2le3  |-  ( 2  <_  _e  /\  _e  <_  3 )

Proof of Theorem ege2le3
Dummy variables  k  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 9193 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
2 nn0uz 9564 . . . . . . . . 9  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2eleqtri 2252 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
43a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  0  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
5 elnn0uz 9567 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  <->  k  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
65biimpri 133 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  k  e.  NN0 )
7 faccl 10717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
87nnrecred 8968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 1  /  ( ! `  k ) )  e.  RR )
9 fveq2 5517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  k ) )
109oveq2d 5893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
11 erelem1.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
1210, 11fvmptg 5594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( 1  /  ( ! `  k )
)  e.  RR )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  /  ( ! `
 k ) ) )
138, 12mpdan 421 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  =  ( 1  /  ( ! `  k )
) )
1413, 8eqeltrd 2254 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  e.  RR )
156, 14syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( G `  k )  e.  RR )
1615adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( G `  k )  e.  RR )
17 readdcl 7939 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( k  +  y )  e.  RR )
1817adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( k  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( k  +  y )  e.  RR )
194, 16, 18seq3p1 10464 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  ( 0  +  1 ) )  =  ( (  seq 0 (  +  ,  G ) `  0
)  +  ( G `
 ( 0  +  1 ) ) ) )
20 0zd 9267 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  0  e.  ZZ )
2120, 16, 18seq3-1 10462 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  0 )  =  ( G ` 
0 ) )
22 fveq2 5517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  0  ->  ( ! `  n )  =  ( ! ` 
0 ) )
23 fac0 10710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ! `
 0 )  =  1
2422, 23eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  ( ! `  n )  =  1 )
2524oveq2d 5893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  0  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
26 ax-1cn 7906 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
2726div1i 8699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  1 )  =  1
2825, 27eqtrdi 2226 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  0  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  1 )
29 1ex 7954 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  _V
3028, 11, 29fvmpt 5595 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( G `
 0 )  =  1 )
311, 30mp1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( G `  0
)  =  1 )
3221, 31eqtrd 2210 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  0 )  =  1 )
33 1e0p1 9427 . . . . . . . . 9  |-  1  =  ( 0  +  1 )
3433fveq2i 5520 . . . . . . . 8  |-  ( G `
 1 )  =  ( G `  (
0  +  1 ) )
35 1nn0 9194 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
36 fveq2 5517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  ( ! `  n )  =  ( ! ` 
1 ) )
37 fac1 10711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ! `
 1 )  =  1
3836, 37eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  ( ! `  n )  =  1 )
3938oveq2d 5893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
4039, 27eqtrdi 2226 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  1 )
4140, 11, 29fvmpt 5595 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( G `
 1 )  =  1 )
4235, 41mp1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( G `  1
)  =  1 )
4334, 42eqtr3id 2224 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( G `  (
0  +  1 ) )  =  1 )
4432, 43oveq12d 5895 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( (  seq 0
(  +  ,  G
) `  0 )  +  ( G `  ( 0  +  1 ) ) )  =  ( 1  +  1 ) )
4519, 44eqtrd 2210 . . . . 5  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  +  1 ) )
4633fveq2i 5520 . . . . 5  |-  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  1
)  =  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  (
0  +  1 ) )
47 df-2 8980 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
4845, 46, 473eqtr4g 2235 . . . 4  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  1 )  =  2 )
4935a1i 9 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  NN0 )
50 nn0z 9275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
51 1exp 10551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
5250, 51syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
5352oveq1d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n ) )  =  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
5453mpteq2ia 4091 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( 1  / 
( ! `  n
) ) )
5511, 54eqtr4i 2201 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n )
) )
5655efcvg 11676 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  seq 0 (  +  ,  G )  ~~>  ( exp `  1 ) )
5726, 56mp1i 10 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  G )  ~~>  ( exp `  1 ) )
58 df-e 11659 . . . . . 6  |-  _e  =  ( exp `  1 )
5957, 58breqtrrdi 4047 . . . . 5  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  G )  ~~>  _e )
6013adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
617adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
6261nnrecred 8968 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  e.  RR )
6360, 62eqeltrd 2254 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
6461nnred 8934 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  RR )
6561nngt0d 8965 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <  ( ! `  k
) )
66 1re 7958 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
67 0le1 8440 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
68 divge0 8832 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( ( ! `
 k )  e.  RR  /\  0  < 
( ! `  k
) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ! `  k ) ) )
6966, 67, 68mpanl12 436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  RR  /\  0  <  ( ! `  k ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ! `  k ) ) )
7064, 65, 69syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <_  ( 1  /  ( ! `  k )
) )
7170, 60breqtrrd 4033 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <_  ( G `  k
) )
722, 49, 59, 63, 71climserle 11355 . . . 4  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  1 )  <_  _e )
7348, 72eqbrtrrd 4029 . . 3  |-  ( T. 
->  2  <_  _e )
7473mptru 1362 . 2  |-  2  <_  _e
75 nnuz 9565 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
76 1zzd 9282 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
771a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  0  e.  NN0 )
7863recnd 7988 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
792, 77, 78, 59clim2ser 11347 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  seq ( 0  +  1 ) (  +  ,  G )  ~~>  ( _e 
-  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  0 )
) )
80 0p1e1 9035 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
81 seqeq1 10450 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  seq ( 0  +  1 ) (  +  ,  G )  =  seq 1 (  +  ,  G ) )
8280, 81ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  seq (
0  +  1 ) (  +  ,  G
)  =  seq 1
(  +  ,  G
)
8332mptru 1362 . . . . . . . 8  |-  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  0
)  =  1
8483oveq2i 5888 . . . . . . 7  |-  ( _e 
-  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  0 )
)  =  ( _e 
-  1 )
8579, 82, 843brtr3g 4038 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  G )  ~~>  ( _e 
-  1 ) )
86 2cnd 8994 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  2  e.  CC )
87 halfre 9134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
8887a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
89 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e. 
NN0 )
9088, 89reexpcld 10673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  e.  RR )
91 oveq2 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  2
) ^ n )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )
92 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) )
9391, 92fvmptg 5594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
9490, 93mpdan 421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
9594adantl 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  =  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )
96 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
97 reexpcl 10539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR )
9887, 96, 97sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR )
9998recnd 7988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  CC )
10095, 99eqeltrd 2254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  e.  CC )
101 1lt2 9090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <  2
102 2re 8991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
103 0le2 9011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  2
104 absid 11082 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( abs `  2
)  =  2 )
105102, 103, 104mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  2 )  =  2
106101, 105breqtrri 4032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <  ( abs `  2
)
107106a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  1  <  ( abs `  2 ) )
10886, 107, 95georeclim 11523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  ( 2  /  (
2  -  1 ) ) )
109 2m1e1 9039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  -  1 )  =  1
110109oveq2i 5888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  ( 2  -  1 ) )  =  ( 2  /  1
)
111 2cn 8992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
112111div1i 8699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  1 )  =  2
113110, 112eqtri 2198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  /  ( 2  -  1 ) )  =  2
114108, 113breqtrdi 4046 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  2 )
1152, 77, 100, 114clim2ser 11347 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  seq ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  ( 2  -  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) ) ` 
0 ) ) )
116 seqeq1 10450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  seq ( 0  +  1 ) (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ) )
11780, 116ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  seq (
0  +  1 ) (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) )  =  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) )
1186adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  k  e.  NN0 )
11994, 90eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k )  e.  RR )
120118, 119syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k )  e.  RR )
12120, 120, 18seq3-1 10462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 ) )
122 halfcn 9135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
123 exp0 10526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
) ^ 0 )  =  1 )
124122, 123ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 0 )  =  1
125124, 35eqeltri 2250 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 0 )  e. 
NN0
126 oveq2 5885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  0  ->  (
( 1  /  2
) ^ n )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
0 ) )
127126, 92fvmptg 5594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( ( 1  / 
2 ) ^ 0 )  e.  NN0 )  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ` 
0 )  =  ( ( 1  /  2
) ^ 0 ) )
1281, 125, 127mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ 0 )
129128, 124eqtri 2198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 )  =  1
130121, 129eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 )  =  1 )
131130mptru 1362 . . . . . . . . . . 11  |-  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) ) ` 
0 )  =  1
132131oveq2i 5888 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  -  (  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 ) )  =  ( 2  -  1 )
133132, 109eqtri 2198 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  -  (  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 ) )  =  1
134115, 117, 1333brtr3g 4038 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  1 )
135 nnnn0 9185 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
136135, 100sylan2 286 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  e.  CC )
137102a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR )
138135, 90syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR )
139137, 138remulcld 7990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  e.  RR )
14091oveq2d 5893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
141 erelem1.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) )
142140, 141fvmptg 5594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
( 1  /  2
) ^ k ) )  e.  RR )  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) ) )
143139, 142mpdan 421 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
144143adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
145135, 95sylan2 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  =  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )
146145oveq2d 5893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
147144, 146eqtr4d 2213 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) `  k ) ) )
14875, 76, 86, 134, 136, 147isermulc2 11350 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  ( 2  x.  1 ) )
149 2t1e2 9074 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
150148, 149breqtrdi 4046 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  2 )
151135, 63sylan2 286 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
152 remulcl 7941 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )  e.  RR )
153102, 98, 152sylancr 414 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  e.  RR )
154135, 153sylan2 286 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  e.  RR )
155144, 154eqeltrd 2254 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
156 faclbnd2 10724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ k )  /  2 )  <_ 
( ! `  k
) )
157156adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 2 ^ k
)  /  2 )  <_  ( ! `  k ) )
158 2nn 9082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
159 nnexpcl 10535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  NN )
160158, 96, 159sylancr 414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  NN )
161160nnrpd 9696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  RR+ )
162161rphalfcld 9711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 2 ^ k
)  /  2 )  e.  RR+ )
16361nnrpd 9696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  RR+ )
164162, 163lerecd 9718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( ( 2 ^ k )  /  2
)  <_  ( ! `  k )  <->  ( 1  /  ( ! `  k ) )  <_ 
( 1  /  (
( 2 ^ k
)  /  2 ) ) ) )
165157, 164mpbid 147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 1  / 
( ( 2 ^ k )  /  2
) ) )
166 2cnd 8994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  2  e.  CC )
167160nncnd 8935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  CC )
168160nnap0d 8967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k ) #  0 )
169166, 167, 168divrecapd 8752 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  /  ( 2 ^ k ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2 ^ k ) ) ) )
170 2ap0 9014 . . . . . . . . . . . 12  |-  2 #  0
171170a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  2 #  0 )
172167, 166, 168, 171recdivapd 8766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ( 2 ^ k )  /  2 ) )  =  ( 2  / 
( 2 ^ k
) ) )
173 nn0z 9275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
174173adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  k  e.  ZZ )
175166, 171, 174exprecapd 10664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  =  ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )
176175oveq2d 5893 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2 ^ k ) ) ) )
177169, 172, 1763eqtr4rd 2221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  =  ( 1  / 
( ( 2 ^ k )  /  2
) ) )
178165, 177breqtrrd 4033 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
179135, 178sylan2 286 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
180135, 60sylan2 286 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
181179, 180, 1443brtr4d 4037 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k
) )
18275, 76, 85, 150, 151, 155, 181iserle 11352 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( _e  -  1 )  <_  2 )
183182mptru 1362 . . . 4  |-  ( _e 
-  1 )  <_ 
2
184 ere 11680 . . . . 5  |-  _e  e.  RR
185184, 66, 102lesubaddi 8465 . . . 4  |-  ( ( _e  -  1 )  <_  2  <->  _e  <_  ( 2  +  1 ) )
186183, 185mpbi 145 . . 3  |-  _e  <_  ( 2  +  1 )
187 df-3 8981 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
188186, 187breqtrri 4032 . 2  |-  _e  <_  3
18974, 188pm3.2i 272 1  |-  ( 2  <_  _e  /\  _e  <_  3 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    = wceq 1353   T. wtru 1354    e. wcel 2148   class class class wbr 4005    |-> cmpt 4066   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   CCcc 7811   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814    + caddc 7816    x. cmul 7818    < clt 7994    <_ cle 7995    - cmin 8130   # cap 8540    / cdiv 8631   NNcn 8921   2c2 8972   3c3 8973   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530    seqcseq 10447   ^cexp 10521   !cfa 10707   abscabs 11008    ~~> cli 11288   expce 11652   _eceu 11653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-ico 9896  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-fac 10708  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364  df-ef 11658  df-e 11659
This theorem is referenced by:  egt2lt3  11789
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