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Theorem ege2le3 11024
Description: Euler's constant  _e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erelem1.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) )
erelem1.2  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
Assertion
Ref Expression
ege2le3  |-  ( 2  <_  _e  /\  _e  <_  3 )

Proof of Theorem ege2le3
Dummy variables  k  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 8751 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
2 nn0uz 9116 . . . . . . . . 9  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2eleqtri 2163 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
43a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  0  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
5 elnn0uz 9119 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  <->  k  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
65biimpri 132 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  k  e.  NN0 )
7 faccl 10206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
87nnrecred 8532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 1  /  ( ! `  k ) )  e.  RR )
9 fveq2 5320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  k ) )
109oveq2d 5684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
11 erelem1.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
1210, 11fvmptg 5395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( 1  /  ( ! `  k )
)  e.  RR )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  /  ( ! `
 k ) ) )
138, 12mpdan 413 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  =  ( 1  /  ( ! `  k )
) )
1413, 8eqeltrd 2165 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  e.  RR )
156, 14syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( G `  k )  e.  RR )
1615adantl 272 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( G `  k )  e.  RR )
17 readdcl 7531 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( k  +  y )  e.  RR )
1817adantl 272 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( k  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( k  +  y )  e.  RR )
194, 16, 18seq3p1 9947 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  ( 0  +  1 ) )  =  ( (  seq 0 (  +  ,  G ) `  0
)  +  ( G `
 ( 0  +  1 ) ) ) )
20 0zd 8825 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  0  e.  ZZ )
2120, 16, 18seq3-1 9940 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  0 )  =  ( G ` 
0 ) )
22 fveq2 5320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  0  ->  ( ! `  n )  =  ( ! ` 
0 ) )
23 fac0 10199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ! `
 0 )  =  1
2422, 23syl6eq 2137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  ( ! `  n )  =  1 )
2524oveq2d 5684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  0  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
26 ax-1cn 7501 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
2726div1i 8270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  1 )  =  1
2825, 27syl6eq 2137 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  0  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  1 )
29 1ex 7546 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  _V
3028, 11, 29fvmpt 5396 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( G `
 0 )  =  1 )
311, 30mp1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( G `  0
)  =  1 )
3221, 31eqtrd 2121 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  0 )  =  1 )
33 1e0p1 8981 . . . . . . . . 9  |-  1  =  ( 0  +  1 )
3433fveq2i 5323 . . . . . . . 8  |-  ( G `
 1 )  =  ( G `  (
0  +  1 ) )
35 1nn0 8752 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
36 fveq2 5320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  ( ! `  n )  =  ( ! ` 
1 ) )
37 fac1 10200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ! `
 1 )  =  1
3836, 37syl6eq 2137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  ( ! `  n )  =  1 )
3938oveq2d 5684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
4039, 27syl6eq 2137 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  1 )
4140, 11, 29fvmpt 5396 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( G `
 1 )  =  1 )
4235, 41mp1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( G `  1
)  =  1 )
4334, 42syl5eqr 2135 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( G `  (
0  +  1 ) )  =  1 )
4432, 43oveq12d 5686 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( (  seq 0
(  +  ,  G
) `  0 )  +  ( G `  ( 0  +  1 ) ) )  =  ( 1  +  1 ) )
4519, 44eqtrd 2121 . . . . 5  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  +  1 ) )
4633fveq2i 5323 . . . . 5  |-  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  1
)  =  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  (
0  +  1 ) )
47 df-2 8544 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
4845, 46, 473eqtr4g 2146 . . . 4  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  1 )  =  2 )
4935a1i 9 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  NN0 )
50 nn0z 8833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
51 1exp 10047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
5250, 51syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
5352oveq1d 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n ) )  =  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
5453mpteq2ia 3932 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( 1  / 
( ! `  n
) ) )
5511, 54eqtr4i 2112 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n )
) )
5655efcvg 11019 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  seq 0 (  +  ,  G )  ~~>  ( exp `  1 ) )
5726, 56mp1i 10 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  G )  ~~>  ( exp `  1 ) )
58 df-e 11002 . . . . . 6  |-  _e  =  ( exp `  1 )
5957, 58syl6breqr 3893 . . . . 5  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  G )  ~~>  _e )
6013adantl 272 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
617adantl 272 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
6261nnrecred 8532 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  e.  RR )
6360, 62eqeltrd 2165 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
6461nnred 8498 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  RR )
6561nngt0d 8529 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <  ( ! `  k
) )
66 1re 7550 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
67 0le1 8022 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
68 divge0 8397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( ( ! `
 k )  e.  RR  /\  0  < 
( ! `  k
) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ! `  k ) ) )
6966, 67, 68mpanl12 428 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  RR  /\  0  <  ( ! `  k ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ! `  k ) ) )
7064, 65, 69syl2anc 404 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <_  ( 1  /  ( ! `  k )
) )
7170, 60breqtrrd 3879 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <_  ( G `  k
) )
722, 49, 59, 63, 71climserle 10797 . . . 4  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  1 )  <_  _e )
7348, 72eqbrtrrd 3875 . . 3  |-  ( T. 
->  2  <_  _e )
7473mptru 1299 . 2  |-  2  <_  _e
75 nnuz 9117 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
76 1zzd 8840 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
771a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  0  e.  NN0 )
7863recnd 7579 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
792, 77, 78, 59clim2ser 10788 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  seq ( 0  +  1 ) (  +  ,  G )  ~~>  ( _e 
-  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  0 )
) )
80 0p1e1 8599 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
81 seqeq1 9924 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  seq ( 0  +  1 ) (  +  ,  G )  =  seq 1 (  +  ,  G ) )
8280, 81ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  seq (
0  +  1 ) (  +  ,  G
)  =  seq 1
(  +  ,  G
)
8332mptru 1299 . . . . . . . 8  |-  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  0
)  =  1
8483oveq2i 5679 . . . . . . 7  |-  ( _e 
-  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  0 )
)  =  ( _e 
-  1 )
8579, 82, 843brtr3g 3884 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  G )  ~~>  ( _e 
-  1 ) )
86 2cnd 8558 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  2  e.  CC )
87 halfre 8692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
8887a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
89 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e. 
NN0 )
9088, 89reexpcld 10166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  e.  RR )
91 oveq2 5676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  2
) ^ n )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )
92 eqid 2089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) )
9391, 92fvmptg 5395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
9490, 93mpdan 413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
9594adantl 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  =  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )
96 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
97 reexpcl 10035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR )
9887, 96, 97sylancr 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR )
9998recnd 7579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  CC )
10095, 99eqeltrd 2165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  e.  CC )
101 1lt2 8648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <  2
102 2re 8555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
103 0le2 8575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  2
104 absid 10567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( abs `  2
)  =  2 )
105102, 103, 104mp2an 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  2 )  =  2
106101, 105breqtrri 3878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <  ( abs `  2
)
107106a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  1  <  ( abs `  2 ) )
10886, 107, 95georeclim 10970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  ( 2  /  (
2  -  1 ) ) )
109 2m1e1 8603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  -  1 )  =  1
110109oveq2i 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  ( 2  -  1 ) )  =  ( 2  /  1
)
111 2cn 8556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
112111div1i 8270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  1 )  =  2
113110, 112eqtri 2109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  /  ( 2  -  1 ) )  =  2
114108, 113syl6breq 3892 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  2 )
1152, 77, 100, 114clim2ser 10788 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  seq ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  ( 2  -  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) ) ` 
0 ) ) )
116 seqeq1 9924 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  seq ( 0  +  1 ) (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ) )
11780, 116ax-mp 7 . . . . . . . . 9  |-  seq (
0  +  1 ) (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) )  =  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) )
1186adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  k  e.  NN0 )
11994, 90eqeltrd 2165 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k )  e.  RR )
120118, 119syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k )  e.  RR )
12120, 120, 18seq3-1 9940 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 ) )
122 halfcn 8693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
123 exp0 10022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
) ^ 0 )  =  1 )
124122, 123ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 0 )  =  1
125124, 35eqeltri 2161 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 0 )  e. 
NN0
126 oveq2 5676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  0  ->  (
( 1  /  2
) ^ n )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
0 ) )
127126, 92fvmptg 5395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( ( 1  / 
2 ) ^ 0 )  e.  NN0 )  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ` 
0 )  =  ( ( 1  /  2
) ^ 0 ) )
1281, 125, 127mp2an 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ 0 )
129128, 124eqtri 2109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 )  =  1
130121, 129syl6eq 2137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 )  =  1 )
131130mptru 1299 . . . . . . . . . . 11  |-  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) ) ` 
0 )  =  1
132131oveq2i 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  -  (  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 ) )  =  ( 2  -  1 )
133132, 109eqtri 2109 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  -  (  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 ) )  =  1
134115, 117, 1333brtr3g 3884 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  1 )
135 nnnn0 8743 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
136135, 100sylan2 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  e.  CC )
137102a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR )
138135, 90syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR )
139137, 138remulcld 7581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  e.  RR )
14091oveq2d 5684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
141 erelem1.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) )
142140, 141fvmptg 5395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
( 1  /  2
) ^ k ) )  e.  RR )  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) ) )
143139, 142mpdan 413 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
144143adantl 272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
145135, 95sylan2 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  =  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )
146145oveq2d 5684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
147144, 146eqtr4d 2124 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) `  k ) ) )
14875, 76, 86, 134, 136, 147isermulc2 10792 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  ( 2  x.  1 ) )
149 2t1e2 8632 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
150148, 149syl6breq 3892 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  2 )
151135, 63sylan2 281 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
152 remulcl 7533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )  e.  RR )
153102, 98, 152sylancr 406 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  e.  RR )
154135, 153sylan2 281 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  e.  RR )
155144, 154eqeltrd 2165 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
156 faclbnd2 10213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ k )  /  2 )  <_ 
( ! `  k
) )
157156adantl 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 2 ^ k
)  /  2 )  <_  ( ! `  k ) )
158 2nn 8640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
159 nnexpcl 10031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  NN )
160158, 96, 159sylancr 406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  NN )
161160nnrpd 9235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  RR+ )
162161rphalfcld 9249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 2 ^ k
)  /  2 )  e.  RR+ )
16361nnrpd 9235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  RR+ )
164162, 163lerecd 9256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( ( 2 ^ k )  /  2
)  <_  ( ! `  k )  <->  ( 1  /  ( ! `  k ) )  <_ 
( 1  /  (
( 2 ^ k
)  /  2 ) ) ) )
165157, 164mpbid 146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 1  / 
( ( 2 ^ k )  /  2
) ) )
166 2cnd 8558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  2  e.  CC )
167160nncnd 8499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  CC )
168160nnap0d 8531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k ) #  0 )
169166, 167, 168divrecapd 8323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  /  ( 2 ^ k ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2 ^ k ) ) ) )
170 2ap0 8578 . . . . . . . . . . . 12  |-  2 #  0
171170a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  2 #  0 )
172167, 166, 168, 171recdivapd 8337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ( 2 ^ k )  /  2 ) )  =  ( 2  / 
( 2 ^ k
) ) )
173 nn0z 8833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
174173adantl 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  k  e.  ZZ )
175166, 171, 174exprecapd 10157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  =  ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )
176175oveq2d 5684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2 ^ k ) ) ) )
177169, 172, 1763eqtr4rd 2132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  =  ( 1  / 
( ( 2 ^ k )  /  2
) ) )
178165, 177breqtrrd 3879 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
179135, 178sylan2 281 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
180135, 60sylan2 281 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
181179, 180, 1443brtr4d 3883 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k
) )
18275, 76, 85, 150, 151, 155, 181iserle 10794 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( _e  -  1 )  <_  2 )
183182mptru 1299 . . . 4  |-  ( _e 
-  1 )  <_ 
2
184 ere 11023 . . . . 5  |-  _e  e.  RR
185184, 66, 102lesubaddi 8047 . . . 4  |-  ( ( _e  -  1 )  <_  2  <->  _e  <_  ( 2  +  1 ) )
186183, 185mpbi 144 . . 3  |-  _e  <_  ( 2  +  1 )
187 df-3 8545 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
188186, 187breqtrri 3878 . 2  |-  _e  <_  3
18974, 188pm3.2i 267 1  |-  ( 2  <_  _e  /\  _e  <_  3 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1290   T. wtru 1291    e. wcel 1439   class class class wbr 3853    |-> cmpt 3907   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   CCcc 7411   RRcr 7412   0cc0 7413   1c1 7414    + caddc 7416    x. cmul 7418    < clt 7585    <_ cle 7586    - cmin 7716   # cap 8121    / cdiv 8202   NNcn 8485   2c2 8536   3c3 8537   NN0cn0 8736   ZZcz 8813   ZZ>=cuz 9082    seqcseq 9915   ^cexp 10017   !cfa 10196   abscabs 10493    ~~> cli 10729   expce 10995   _eceu 10996
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-ico 9375  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-fac 10197  df-ihash 10247  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806  df-ef 11001  df-e 11002
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