Theorem casef1 7156

Description: The "case" construction of two injective functions with disjoint ranges is an injective function. (Contributed by BJ, 10-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
casef1.f	|- ( ph -> F : A -1-1-> X )
casef1.g	|- ( ph -> G : B -1-1-> X )
casef1.disj	|- ( ph -> ( ran F i^i ran G ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
casef1	|- ( ph -> case ( F , G ) : ( A ⊔ B ) -1-1-> X )

Proof of Theorem casef1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		casef1.f	. . . 4 |- ( ph -> F : A -1-1-> X )
2		f1f 5463	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> X -> F : A --> X )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> F : A --> X )
4		casef1.g	. . . 4 |- ( ph -> G : B -1-1-> X )
5		f1f 5463	. . . 4 |- ( G : B -1-1-> X -> G : B --> X )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G : B --> X )
7	3, 6	casef 7154	. 2 |- ( ph -> case ( F , G ) : ( A ⊔ B ) --> X )
8		df-f1 5263	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-> X <-> ( F : A --> X /\ Fun `' F ) )
9	8	simprbi 275	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> X -> Fun `' F )
10	1, 9	syl 14	. . 3 |- ( ph -> Fun `' F )
11		df-f1 5263	. . . . 5 |- ( G : B -1-1-> X <-> ( G : B --> X /\ Fun `' G ) )
12	11	simprbi 275	. . . 4 |- ( G : B -1-1-> X -> Fun `' G )
13	4, 12	syl 14	. . 3 |- ( ph -> Fun `' G )
14		casef1.disj	. . 3 |- ( ph -> ( ran F i^i ran G ) = (/) )
15	10, 13, 14	caseinj 7155	. 2 |- ( ph -> Fun `'case ( F , G ) )
16		df-f1 5263	. 2 |- (case ( F , G ) : ( A ⊔ B ) -1-1-> X <-> (case ( F , G ) : ( A ⊔ B ) --> X /\ Fun `'case ( F , G ) ) )
17	7, 15, 16	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> case ( F , G ) : ( A ⊔ B ) -1-1-> X )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   i^i cin 3156   (/)c0 3450   `'ccnv 4662   ran crn 4664   Fun wfun 5252   -->wf 5254   -1-1->wf1 5255   ⊔ cdju 7103  casecdjucase 7149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-1o 6474  df-dju 7104  df-inl 7113  df-inr 7114  df-case 7150

This theorem is referenced by:  djudom  7159  exmidsbthrlem  15666