Theorem casef1 7149

Description: The "case" construction of two injective functions with disjoint ranges is an injective function. (Contributed by BJ, 10-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
casef1.f	|- ( ph -> F : A -1-1-> X )
casef1.g	|- ( ph -> G : B -1-1-> X )
casef1.disj	|- ( ph -> ( ran F i^i ran G ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
casef1	|- ( ph -> case ( F , G ) : ( A ⊔ B ) -1-1-> X )

Proof of Theorem casef1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		casef1.f	. . . 4 |- ( ph -> F : A -1-1-> X )
2		f1f 5459	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> X -> F : A --> X )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> F : A --> X )
4		casef1.g	. . . 4 |- ( ph -> G : B -1-1-> X )
5		f1f 5459	. . . 4 |- ( G : B -1-1-> X -> G : B --> X )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G : B --> X )
7	3, 6	casef 7147	. 2 |- ( ph -> case ( F , G ) : ( A ⊔ B ) --> X )
8		df-f1 5259	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-> X <-> ( F : A --> X /\ Fun `' F ) )
9	8	simprbi 275	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> X -> Fun `' F )
10	1, 9	syl 14	. . 3 |- ( ph -> Fun `' F )
11		df-f1 5259	. . . . 5 |- ( G : B -1-1-> X <-> ( G : B --> X /\ Fun `' G ) )
12	11	simprbi 275	. . . 4 |- ( G : B -1-1-> X -> Fun `' G )
13	4, 12	syl 14	. . 3 |- ( ph -> Fun `' G )
14		casef1.disj	. . 3 |- ( ph -> ( ran F i^i ran G ) = (/) )
15	10, 13, 14	caseinj 7148	. 2 |- ( ph -> Fun `'case ( F , G ) )
16		df-f1 5259	. 2 |- (case ( F , G ) : ( A ⊔ B ) -1-1-> X <-> (case ( F , G ) : ( A ⊔ B ) --> X /\ Fun `'case ( F , G ) ) )
17	7, 15, 16	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> case ( F , G ) : ( A ⊔ B ) -1-1-> X )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   i^i cin 3152   (/)c0 3446   `'ccnv 4658   ran crn 4660   Fun wfun 5248   -->wf 5250   -1-1->wf1 5251   ⊔ cdju 7096  casecdjucase 7142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-1o 6469  df-dju 7097  df-inl 7106  df-inr 7107  df-case 7143

This theorem is referenced by:  djudom  7152  exmidsbthrlem  15512