Theorem casef1 7091

Description: The "case" construction of two injective functions with disjoint ranges is an injective function. (Contributed by BJ, 10-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
casef1.f	|- ( ph -> F : A -1-1-> X )
casef1.g	|- ( ph -> G : B -1-1-> X )
casef1.disj	|- ( ph -> ( ran F i^i ran G ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
casef1	|- ( ph -> case ( F , G ) : ( A ⊔ B ) -1-1-> X )

Proof of Theorem casef1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		casef1.f	. . . 4 |- ( ph -> F : A -1-1-> X )
2		f1f 5423	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> X -> F : A --> X )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> F : A --> X )
4		casef1.g	. . . 4 |- ( ph -> G : B -1-1-> X )
5		f1f 5423	. . . 4 |- ( G : B -1-1-> X -> G : B --> X )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G : B --> X )
7	3, 6	casef 7089	. 2 |- ( ph -> case ( F , G ) : ( A ⊔ B ) --> X )
8		df-f1 5223	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-> X <-> ( F : A --> X /\ Fun `' F ) )
9	8	simprbi 275	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> X -> Fun `' F )
10	1, 9	syl 14	. . 3 |- ( ph -> Fun `' F )
11		df-f1 5223	. . . . 5 |- ( G : B -1-1-> X <-> ( G : B --> X /\ Fun `' G ) )
12	11	simprbi 275	. . . 4 |- ( G : B -1-1-> X -> Fun `' G )
13	4, 12	syl 14	. . 3 |- ( ph -> Fun `' G )
14		casef1.disj	. . 3 |- ( ph -> ( ran F i^i ran G ) = (/) )
15	10, 13, 14	caseinj 7090	. 2 |- ( ph -> Fun `'case ( F , G ) )
16		df-f1 5223	. 2 |- (case ( F , G ) : ( A ⊔ B ) -1-1-> X <-> (case ( F , G ) : ( A ⊔ B ) --> X /\ Fun `'case ( F , G ) ) )
17	7, 15, 16	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> case ( F , G ) : ( A ⊔ B ) -1-1-> X )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   i^i cin 3130   (/)c0 3424   `'ccnv 4627   ran crn 4629   Fun wfun 5212   -->wf 5214   -1-1->wf1 5215   ⊔ cdju 7038  casecdjucase 7084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-1o 6419  df-dju 7039  df-inl 7048  df-inr 7049  df-case 7085

This theorem is referenced by:  djudom  7094  exmidsbthrlem  14809