Proof of Theorem caseinl
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | df-case 6977 |
. . . 4
case![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![G G](_cg.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) inl
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2 | 1 | fveq1i 5430 |
. . 3
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3 | | caseinl.f |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) |
4 | | fnfun 5228 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![) )](rp.gif) |
5 | 3, 4 | syl 14 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![) )](rp.gif) |
6 | | djulf1o 6951 |
. . . . . . . 8
inl![: :](colon.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![) )](rp.gif) |
7 | | f1ocnv 5388 |
. . . . . . . 8
inl![: :](colon.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![-1-1-onto->
-1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![_V _V](rmcv.gif) inl![: :](colon.gif) ![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![) )](rp.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![) )](rp.gif) |
8 | 6, 7 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
inl![: :](colon.gif) ![(
(](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![) )](rp.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![_V _V](rmcv.gif) |
9 | | f1ofun 5377 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) inl![:
:](colon.gif) ![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![) )](rp.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) inl![) )](rp.gif) |
10 | 8, 9 | ax-mp 5 |
. . . . . 6
inl |
11 | | funco 5171 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) inl
![( (](lp.gif) inl![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
12 | 5, 10, 11 | sylancl 410 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) inl![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
13 | | dmco 5055 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif)
inl ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) inl![" "](backquote.gif) ![F F](_cf.gif) ![) )](rp.gif) |
14 | | df-inl 6940 |
. . . . . . . . . . 11
inl ![( (](lp.gif) ![<. <.](langle.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![x x](_x.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![) )](rp.gif) |
15 | 14 | funmpt2 5170 |
. . . . . . . . . 10
inl |
16 | | funrel 5148 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) inl inl![) )](rp.gif) |
17 | 15, 16 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
inl |
18 | | dfrel2 4997 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) inl ![`' `'](_cnv.gif) inl inl![) )](rp.gif) |
19 | 17, 18 | mpbi 144 |
. . . . . . . 8
![`' `'](_cnv.gif) inl inl |
20 | 19 | a1i 9 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) inl inl![) )](rp.gif) |
21 | | fndm 5230 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) |
22 | 3, 21 | syl 14 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) |
23 | 20, 22 | imaeq12d 4890 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) inl![" "](backquote.gif) ![F F](_cf.gif) inl![" "](backquote.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
24 | 13, 23 | syl5eq 2185 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) inl
inl![" "](backquote.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
25 | | df-fn 5134 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) inl inl![" "](backquote.gif) ![B B](_cb.gif) ![(
(](lp.gif)
![( (](lp.gif) inl
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26 | 12, 24, 25 | sylanbrc 414 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) inl
inl![" "](backquote.gif) ![B B](_cb.gif) ![)
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27 | | caseinl.g |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![) )](rp.gif) |
28 | | djurf1o 6952 |
. . . . . . . 8
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29 | | f1ocnv 5388 |
. . . . . . . 8
inr![: :](colon.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![-1-1-onto->
-1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![_V _V](rmcv.gif)
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30 | 28, 29 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
inr![: :](colon.gif) ![(
(](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![) )](rp.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![_V _V](rmcv.gif) |
31 | | f1ofun 5377 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) inr![:
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32 | 30, 31 | ax-mp 5 |
. . . . . 6
inr |
33 | | funco 5171 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) inr
![( (](lp.gif) inr![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
34 | 27, 32, 33 | sylancl 410 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) inr![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
35 | | dmco 5055 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif)
inr ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) inr![" "](backquote.gif) ![G G](_cg.gif) ![) )](rp.gif) |
36 | | imacnvcnv 5011 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) inr![" "](backquote.gif) ![G G](_cg.gif) inr![" "](backquote.gif) ![G G](_cg.gif) ![) )](rp.gif) |
37 | 35, 36 | eqtri 2161 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif)
inr inr![" "](backquote.gif) ![G G](_cg.gif) ![)
)](rp.gif) |
38 | 37 | a1i 9 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) inr
inr![" "](backquote.gif) ![G G](_cg.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
39 | | df-fn 5134 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) inr inr![" "](backquote.gif) ![G G](_cg.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
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40 | 34, 38, 39 | sylanbrc 414 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) inr
inr![" "](backquote.gif) ![G G](_cg.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
41 | | djuin 6957 |
. . . . 5
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42 | 41 | a1i 9 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) inl![" "](backquote.gif) ![B B](_cb.gif)
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43 | | caseinl.a |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) |
44 | 43 | elexd 2702 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![) )](rp.gif) |
45 | | f1odm 5379 |
. . . . . . . 8
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-1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![_V _V](rmcv.gif)
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46 | 6, 45 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
inl ![_V _V](rmcv.gif) |
47 | 44, 46 | eleqtrrdi 2234 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) inl![) )](rp.gif) |
48 | 47, 15 | jctil 310 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) inl
inl![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
49 | | funfvima 5657 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) inl
inl
![( (](lp.gif)
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50 | 48, 43, 49 | sylc 62 |
. . . 4
![( (](lp.gif) inl![`
`](backtick.gif) ![A A](_ca.gif) inl![" "](backquote.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
51 | | fvun1 5495 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) inl
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52 | 26, 40, 42, 50, 51 | syl112anc 1221 |
. . 3
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) inl ![( (](lp.gif) inr![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![` `](backtick.gif) inl![` `](backtick.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) inl![) )](rp.gif) ![` `](backtick.gif) inl![` `](backtick.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
53 | 2, 52 | syl5eq 2185 |
. 2
![( (](lp.gif) case![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![G G](_cg.gif) ![) )](rp.gif) ![` `](backtick.gif) inl![` `](backtick.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) inl![) )](rp.gif) ![` `](backtick.gif) inl![` `](backtick.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
54 | | f1ofn 5376 |
. . . 4
![( (](lp.gif) inl![:
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55 | 8, 54 | ax-mp 5 |
. . 3
inl ![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![) )](rp.gif) |
56 | | f1of 5375 |
. . . . . 6
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-1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![_V _V](rmcv.gif) inl![: :](colon.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![(/)
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57 | 6, 56 | ax-mp 5 |
. . . . 5
inl![: :](colon.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![) )](rp.gif) |
58 | 57 | a1i 9 |
. . . 4
![( (](lp.gif) inl![: :](colon.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![(/)
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59 | 58, 44 | ffvelrnd 5564 |
. . 3
![( (](lp.gif) inl![`
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60 | | fvco2 5498 |
. . 3
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) inl ![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![_V _V](rmcv.gif) inl![` `](backtick.gif) ![A A](_ca.gif) ![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
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61 | 55, 59, 60 | sylancr 411 |
. 2
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) inl![) )](rp.gif) ![` `](backtick.gif) inl![` `](backtick.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) inl![` `](backtick.gif) inl![` `](backtick.gif) ![A A](_ca.gif) ![)
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62 | | f1ocnvfv1 5686 |
. . . 4
![( (](lp.gif) inl![: :](colon.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![_V _V](rmcv.gif)
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63 | 6, 44, 62 | sylancr 411 |
. . 3
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) inl![` `](backtick.gif) inl![` `](backtick.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) |
64 | 63 | fveq2d 5433 |
. 2
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) inl![` `](backtick.gif) inl![` `](backtick.gif) ![A A](_ca.gif) ![)
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)](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
65 | 53, 61, 64 | 3eqtrd 2177 |
1
![( (](lp.gif) case![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![G G](_cg.gif) ![) )](rp.gif) ![` `](backtick.gif) inl![` `](backtick.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![A A](_ca.gif) ![)
)](rp.gif) ![) )](rp.gif) |