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Theorem exmidsbthrlem 11569
Description: Lemma for exmidsbthr 11570. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
exmidsbthrlem.s  |-  S  =  ( p  e. 
|->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
exmidsbthrlem  |-  ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  -> EXMID )
Distinct variable groups:    S, i    i, p    x, y
Allowed substitution hints:    S( x, y, p)

Proof of Theorem exmidsbthrlem
Dummy variables  a  b  k  z  f  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 107 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x A. y
( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y
)  /\  z  C_  {
(/) } )  ->  A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y ) )
2 nninfex 11558 . . . . . . . . . 10  |-  e.  _V
3 fconstmpt 4473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( om 
X.  { (/) } )  =  ( i  e. 
om  |->  (/) )
4 0nninf 11550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( om 
X.  { (/) } )  e.
53, 4eqeltrri 2161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  om  |->  (/) )  e.
65fconst6 5194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } ) : z -->
76a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } ) : z --> )
8 ssel 3017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( u  e.  z  ->  u  e.  { (/) } ) )
9 elsni 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  { (/) }  ->  u  =  (/) )
108, 9syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( u  e.  z  ->  u  =  (/) ) )
11 ssel 3017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( v  e.  z  -> 
v  e.  { (/) } ) )
12 elsni 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  { (/) }  ->  v  =  (/) )
1311, 12syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( v  e.  z  -> 
v  =  (/) ) )
1410, 13anim12d 328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( ( u  e.  z  /\  v  e.  z )  ->  ( u  =  (/)  /\  v  =  (/) ) ) )
15 eqtr3 2107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  =  (/)  /\  v  =  (/) )  ->  u  =  v )
1614, 15syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( ( u  e.  z  /\  v  e.  z )  ->  u  =  v ) )
1716imp 122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  C_  { (/) }  /\  ( u  e.  z  /\  v  e.  z
) )  ->  u  =  v )
1817a1d 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  C_  { (/) }  /\  ( u  e.  z  /\  v  e.  z
) )  ->  (
( ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } ) `
 u )  =  ( ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } ) `
 v )  ->  u  =  v )
)
1918ralrimivva 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  A. u  e.  z  A. v  e.  z  (
( ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } ) `
 u )  =  ( ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } ) `
 v )  ->  u  =  v )
)
20 dff13 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } ) : z
-1-1->  <->  ( (
z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } ) : z -->  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  z  (
( ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } ) `
 u )  =  ( ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } ) `
 v )  ->  u  =  v )
) )
217, 19, 20sylanbrc 408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } ) : z
-1-1-> )
22 exmidsbthrlem.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( p  e. 
|->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) )
2322peano4nninf 11553 . . . . . . . . . . . 12  |-  S : -1-1->
2423a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  S : -1-1-> )
25 disj 3328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ran  ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } )  i^i  ran  S )  =  (/)  <->  A. a  e.  ran  ( z  X.  {
( i  e.  om  |->  (/) ) } )  -.  a  e.  ran  S
)
2622peano3nninf 11554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  e.  ->  ( S `  b
)  =/=  ( k  e.  om  |->  (/) ) )
27 eqidd 2089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  i  ->  (/)  =  (/) )
2827cbvmptv 3926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  om  |->  (/) )  =  ( i  e.  om  |->  (/) )
2928neeq2i 2271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S `  b )  =/=  ( k  e. 
om  |->  (/) )  <->  ( S `  b )  =/=  (
i  e.  om  |->  (/) ) )
3026, 29sylib 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  e.  ->  ( S `  b
)  =/=  ( i  e.  om  |->  (/) ) )
3130neneqd 2276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ->  -.  ( S `  b )  =  ( i  e.  om  |->  (/) ) )
3231nrex 2465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  E. b  e.  ( S `  b
)  =  ( i  e.  om  |->  (/) )
33 f1dm 5205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S : -1-1->  ->  dom 
S  = )
3423, 33ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  S  =
35 eqcom 2090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  om  |->  (/) )  =  ( S `  b )  <->  ( S `  b )  =  ( i  e.  om  |->  (/) ) )
3634, 35rexeqbii 2391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. b  e.  dom  S
( i  e.  om  |->  (/) )  =  ( S `
 b )  <->  E. b  e.  ( S `  b )  =  ( i  e. 
om  |->  (/) ) )
3732, 36mtbir 631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  E. b  e.  dom  S ( i  e.  om  |->  (/) )  =  ( S `  b )
3822funmpt2 5039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Fun  S
39 elrnrexdm 5422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fun 
S  ->  ( (
i  e.  om  |->  (/) )  e.  ran  S  ->  E. b  e.  dom  S ( i  e.  om  |->  (/) )  =  ( S `
 b ) ) )
4038, 39ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  om  |->  (/) )  e.  ran  S  ->  E. b  e.  dom  S ( i  e.  om  |->  (/) )  =  ( S `
 b ) )
4137, 40mto 623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (
i  e.  om  |->  (/) )  e.  ran  S
42 rnxpss 4849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  (
z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } )  C_  { ( i  e.  om  |->  (/) ) }
4342sseli 3019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  ran  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } )  ->  a  e.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } )
44 elsni 3459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) }  ->  a  =  ( i  e.  om  |->  (/) ) )
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ran  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } )  ->  a  =  ( i  e.  om  |->  (/) ) )
4645eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ran  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } )  ->  ( a  e.  ran  S  <->  ( i  e.  om  |->  (/) )  e.  ran  S ) )
4741, 46mtbiri 635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ran  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } )  ->  -.  a  e.  ran  S )
4825, 47mprgbir 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  ( z  X.  {
( i  e.  om  |->  (/) ) } )  i^i 
ran  S )  =  (/)
4948a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( ran  ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } )  i^i  ran  S )  =  (/) )
5021, 24, 49casef1 6760 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
C_  { (/) }  -> case ( ( z  X.  {
( i  e.  om  |->  (/) ) } ) ,  S ) : ( z ⊔ ℕ )
-1-1-> )
51 f1domg 6455 . . . . . . . . . 10  |-  (  e.  _V  ->  (case ( ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } ) ,  S ) : ( z ⊔ ℕ ) -1-1->  -> 
( z ⊔ ℕ )  ~<_ ) )
522, 50, 51mpsyl 64 . . . . . . . . 9  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( z ⊔ ℕ )  ~<_ )
5352adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x A. y
( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y
)  /\  z  C_  {
(/) } )  ->  (
z ⊔ ℕ )  ~<_ )
54 inrresf1 6733 . . . . . . . . 9  |-  (inr  |` ) : -1-1-> ( z ⊔ ℕ )
55 vex 2622 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
56 djuex 6715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  _V  /\  e.  _V )  ->  ( z ⊔ ℕ )  e.  _V )
5755, 2, 56mp2an 417 . . . . . . . . . 10  |-  ( z ⊔ ℕ )  e. 
_V
5857f1dom 6457 . . . . . . . . 9  |-  ( (inr  |` ) : -1-1-> ( z ⊔ ℕ )  -> 
~<_  ( z ⊔ ℕ ) )
5954, 58ax-mp 7 . . . . . . . 8  |- 
~<_  ( z ⊔ ℕ )
6053, 59jctir 306 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x A. y
( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y
)  /\  z  C_  {
(/) } )  ->  (
( z ⊔ ℕ )  ~<_  /\  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) ) )
61 breq12 3842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( z ⊔ ℕ )  /\  y  = )  ->  ( x  ~<_  y 
<->  ( z ⊔ ℕ )  ~<_ ) )
62 breq12 3842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  =  /\  x  =  ( z ⊔ ℕ ) )  ->  ( y  ~<_  x 
<->  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) ) )
6362ancoms 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( z ⊔ ℕ )  /\  y  = )  ->  ( y  ~<_  x 
<->  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) ) )
6461, 63anbi12d 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( z ⊔ ℕ )  /\  y  = )  ->  ( (
x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  <->  ( (
z ⊔ ℕ )  ~<_  /\  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) ) ) )
65 breq12 3842 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( z ⊔ ℕ )  /\  y  = )  ->  ( x  ~~  y  <->  ( z ⊔ ℕ )  ~~ ) )
6664, 65imbi12d 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( z ⊔ ℕ )  /\  y  = )  ->  ( (
( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  <->  ( (
( z ⊔ ℕ )  ~<_  /\  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) )  ->  ( z ⊔ ℕ )  ~~ ) ) )
6766spc2gv 2709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z ⊔ ℕ )  e.  _V  /\  e.  _V )  ->  ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  ->  (
( ( z ⊔ ℕ )  ~<_  /\  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) )  ->  ( z ⊔ ℕ )  ~~ ) ) )
6857, 2, 67mp2an 417 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  ->  (
( ( z ⊔ ℕ )  ~<_  /\  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) )  ->  ( z ⊔ ℕ )  ~~ ) )
691, 60, 68sylc 61 . . . . . 6  |-  ( ( A. x A. y
( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y
)  /\  z  C_  {
(/) } )  ->  (
z ⊔ ℕ ) 
~~ )
70 bren 6444 . . . . . 6  |-  ( ( z ⊔ ℕ ) 
~~  <->  E. f  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )
7169, 70sylib 120 . . . . 5  |-  ( ( A. x A. y
( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y
)  /\  z  C_  {
(/) } )  ->  E. f 
f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )
72 nninfomni 11568 . . . . . . . . 9  |-  e. Omni
7372a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  e. Omni )
74 f1ocnv 5250 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto->  ->  `' f : -1-1-onto-> (
z ⊔ ℕ ) )
75 f1ofo 5244 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' f : -1-1-onto-> (
z ⊔ ℕ )  ->  `' f : -onto-> (
z ⊔ ℕ ) )
7674, 75syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto->  ->  `' f : -onto->
( z ⊔ ℕ ) )
7776adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  `' f : -onto-> (
z ⊔ ℕ ) )
7873, 77fodjuomni 6783 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  ( E. w  w  e.  z  \/  z  =  (/) ) )
79 sssnm 3593 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  w  e.  z  ->  ( z  C_  {
(/) }  <->  z  =  { (/)
} ) )
8079biimpcd 157 . . . . . . . . 9  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( E. w  w  e.  z  ->  z  =  { (/) } ) )
8180ad2antlr 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  ( E. w  w  e.  z  ->  z  =  { (/) } ) )
8281orim1d 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  ( ( E. w  w  e.  z  \/  z  =  (/) )  ->  ( z  =  { (/) }  \/  z  =  (/) ) ) )
8378, 82mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  ( z  =  { (/) }  \/  z  =  (/) ) )
8483orcomd 683 . . . . 5  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  ( z  =  (/)  \/  z  =  { (/)
} ) )
8571, 84exlimddv 1826 . . . 4  |-  ( ( A. x A. y
( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y
)  /\  z  C_  {
(/) } )  ->  (
z  =  (/)  \/  z  =  { (/) } ) )
8685ex 113 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  ->  (
z  C_  { (/) }  ->  ( z  =  (/)  \/  z  =  { (/) } ) ) )
8786alrimiv 1802 . 2  |-  ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  ->  A. z
( z  C_  { (/) }  ->  ( z  =  (/)  \/  z  =  { (/)
} ) ) )
88 exmid01 4023 . 2  |-  (EXMID  <->  A. z
( z  C_  { (/) }  ->  ( z  =  (/)  \/  z  =  { (/)
} ) ) )
8987, 88sylibr 132 1  |-  ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  -> EXMID )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664   A.wal 1287    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438    =/= wne 2255   A.wral 2359   E.wrex 2360   _Vcvv 2619    i^i cin 2996    C_ wss 2997   (/)c0 3284   ifcif 3389   {csn 3441   U.cuni 3648   class class class wbr 3837    |-> cmpt 3891  EXMIDwem 4020   omcom 4395    X. cxp 4426   `'ccnv 4427   dom cdm 4428   ran crn 4429    |` cres 4430   Fun wfun 4996   -->wf 4998   -1-1->wf1 4999   -onto->wfo 5000   -1-1-onto->wf1o 5001   ` cfv 5002   1oc1o 6156    ~~ cen 6435    ~<_ cdom 6436   ⊔ cdju 6709  inrcinr 6717  casecdjucase 6753  Omnicomni 6767  ℕxnninf 6768
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-exmid 4021  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-1o 6163  df-2o 6164  df-map 6387  df-en 6438  df-dom 6439  df-dju 6710  df-inl 6718  df-inr 6719  df-case 6754  df-omni 6769  df-nninf 6770
This theorem is referenced by:  exmidsbthr  11570
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