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Theorem exmidsbthrlem 14773
Description: Lemma for exmidsbthr 14774. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
exmidsbthrlem.s  |-  S  =  ( p  e. 
|->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
exmidsbthrlem  |-  ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  -> EXMID )
Distinct variable groups:    S, i    i, p    x, y
Allowed substitution hints:    S( x, y, p)

Proof of Theorem exmidsbthrlem
Dummy variables  a  b  k  z  f  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x A. y
( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y
)  /\  z  C_  {
(/) } )  ->  A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y ) )
2 nninfex 7120 . . . . . . . . . 10  |-  e.  _V
3 fconstmpt 4674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( om 
X.  { (/) } )  =  ( i  e. 
om  |->  (/) )
4 0nninf 14756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( om 
X.  { (/) } )  e.
53, 4eqeltrri 2251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  om  |->  (/) )  e.
65fconst6 5416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } ) : z -->
76a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } ) : z --> )
8 ssel 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( u  e.  z  ->  u  e.  { (/) } ) )
9 elsni 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  { (/) }  ->  u  =  (/) )
108, 9syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( u  e.  z  ->  u  =  (/) ) )
11 ssel 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( v  e.  z  -> 
v  e.  { (/) } ) )
12 elsni 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  { (/) }  ->  v  =  (/) )
1311, 12syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( v  e.  z  -> 
v  =  (/) ) )
1410, 13anim12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( ( u  e.  z  /\  v  e.  z )  ->  ( u  =  (/)  /\  v  =  (/) ) ) )
15 eqtr3 2197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  =  (/)  /\  v  =  (/) )  ->  u  =  v )
1614, 15syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( ( u  e.  z  /\  v  e.  z )  ->  u  =  v ) )
1716imp 124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  C_  { (/) }  /\  ( u  e.  z  /\  v  e.  z
) )  ->  u  =  v )
1817a1d 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  C_  { (/) }  /\  ( u  e.  z  /\  v  e.  z
) )  ->  (
( ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } ) `
 u )  =  ( ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } ) `
 v )  ->  u  =  v )
)
1918ralrimivva 2559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  A. u  e.  z  A. v  e.  z  (
( ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } ) `
 u )  =  ( ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } ) `
 v )  ->  u  =  v )
)
20 dff13 5769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } ) : z
-1-1->  <->  ( (
z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } ) : z -->  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  z  (
( ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } ) `
 u )  =  ( ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } ) `
 v )  ->  u  =  v )
) )
217, 19, 20sylanbrc 417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } ) : z
-1-1-> )
22 exmidsbthrlem.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( p  e. 
|->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) )
2322peano4nninf 14758 . . . . . . . . . . . 12  |-  S : -1-1->
2423a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  S : -1-1-> )
25 disj 3472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ran  ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } )  i^i  ran  S )  =  (/)  <->  A. a  e.  ran  ( z  X.  {
( i  e.  om  |->  (/) ) } )  -.  a  e.  ran  S
)
2622peano3nninf 14759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  e.  ->  ( S `  b
)  =/=  ( k  e.  om  |->  (/) ) )
27 eqidd 2178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  i  ->  (/)  =  (/) )
2827cbvmptv 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  om  |->  (/) )  =  ( i  e.  om  |->  (/) )
2928neeq2i 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S `  b )  =/=  ( k  e. 
om  |->  (/) )  <->  ( S `  b )  =/=  (
i  e.  om  |->  (/) ) )
3026, 29sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  e.  ->  ( S `  b
)  =/=  ( i  e.  om  |->  (/) ) )
3130neneqd 2368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ->  -.  ( S `  b )  =  ( i  e.  om  |->  (/) ) )
3231nrex 2569 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  E. b  e.  ( S `  b
)  =  ( i  e.  om  |->  (/) )
33 f1dm 5427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S : -1-1->  ->  dom 
S  = )
3423, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  S  =
35 eqcom 2179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  om  |->  (/) )  =  ( S `  b )  <->  ( S `  b )  =  ( i  e.  om  |->  (/) ) )
3634, 35rexeqbii 2490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. b  e.  dom  S
( i  e.  om  |->  (/) )  =  ( S `
 b )  <->  E. b  e.  ( S `  b )  =  ( i  e. 
om  |->  (/) ) )
3732, 36mtbir 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  E. b  e.  dom  S ( i  e.  om  |->  (/) )  =  ( S `  b )
3822funmpt2 5256 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Fun  S
39 elrnrexdm 5656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fun 
S  ->  ( (
i  e.  om  |->  (/) )  e.  ran  S  ->  E. b  e.  dom  S ( i  e.  om  |->  (/) )  =  ( S `
 b ) ) )
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  om  |->  (/) )  e.  ran  S  ->  E. b  e.  dom  S ( i  e.  om  |->  (/) )  =  ( S `
 b ) )
4137, 40mto 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (
i  e.  om  |->  (/) )  e.  ran  S
42 rnxpss 5061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  (
z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } )  C_  { ( i  e.  om  |->  (/) ) }
4342sseli 3152 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  ran  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } )  ->  a  e.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } )
44 elsni 3611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) }  ->  a  =  ( i  e.  om  |->  (/) ) )
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ran  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } )  ->  a  =  ( i  e.  om  |->  (/) ) )
4645eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ran  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } )  ->  ( a  e.  ran  S  <->  ( i  e.  om  |->  (/) )  e.  ran  S ) )
4741, 46mtbiri 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ran  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } )  ->  -.  a  e.  ran  S )
4825, 47mprgbir 2535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  ( z  X.  {
( i  e.  om  |->  (/) ) } )  i^i 
ran  S )  =  (/)
4948a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( ran  ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } )  i^i  ran  S )  =  (/) )
5021, 24, 49casef1 7089 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
C_  { (/) }  -> case ( ( z  X.  {
( i  e.  om  |->  (/) ) } ) ,  S ) : ( z ⊔ ℕ )
-1-1-> )
51 f1domg 6758 . . . . . . . . . 10  |-  (  e.  _V  ->  (case ( ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } ) ,  S ) : ( z ⊔ ℕ ) -1-1->  -> 
( z ⊔ ℕ )  ~<_ ) )
522, 50, 51mpsyl 65 . . . . . . . . 9  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( z ⊔ ℕ )  ~<_ )
5352adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x A. y
( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y
)  /\  z  C_  {
(/) } )  ->  (
z ⊔ ℕ )  ~<_ )
54 inrresf1 7061 . . . . . . . . 9  |-  (inr  |` ) : -1-1-> ( z ⊔ ℕ )
55 vex 2741 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
56 djuex 7042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  _V  /\  e.  _V )  ->  ( z ⊔ ℕ )  e.  _V )
5755, 2, 56mp2an 426 . . . . . . . . . 10  |-  ( z ⊔ ℕ )  e. 
_V
5857f1dom 6760 . . . . . . . . 9  |-  ( (inr  |` ) : -1-1-> ( z ⊔ ℕ )  -> 
~<_  ( z ⊔ ℕ ) )
5954, 58ax-mp 5 . . . . . . . 8  |- 
~<_  ( z ⊔ ℕ )
6053, 59jctir 313 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x A. y
( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y
)  /\  z  C_  {
(/) } )  ->  (
( z ⊔ ℕ )  ~<_  /\  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) ) )
61 breq12 4009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( z ⊔ ℕ )  /\  y  = )  ->  ( x  ~<_  y 
<->  ( z ⊔ ℕ )  ~<_ ) )
62 breq12 4009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  =  /\  x  =  ( z ⊔ ℕ ) )  ->  ( y  ~<_  x 
<->  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) ) )
6362ancoms 268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( z ⊔ ℕ )  /\  y  = )  ->  ( y  ~<_  x 
<->  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) ) )
6461, 63anbi12d 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( z ⊔ ℕ )  /\  y  = )  ->  ( (
x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  <->  ( (
z ⊔ ℕ )  ~<_  /\  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) ) ) )
65 breq12 4009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( z ⊔ ℕ )  /\  y  = )  ->  ( x  ~~  y  <->  ( z ⊔ ℕ )  ~~ ) )
6664, 65imbi12d 234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( z ⊔ ℕ )  /\  y  = )  ->  ( (
( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  <->  ( (
( z ⊔ ℕ )  ~<_  /\  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) )  ->  ( z ⊔ ℕ )  ~~ ) ) )
6766spc2gv 2829 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z ⊔ ℕ )  e.  _V  /\  e.  _V )  ->  ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  ->  (
( ( z ⊔ ℕ )  ~<_  /\  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) )  ->  ( z ⊔ ℕ )  ~~ ) ) )
6857, 2, 67mp2an 426 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  ->  (
( ( z ⊔ ℕ )  ~<_  /\  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) )  ->  ( z ⊔ ℕ )  ~~ ) )
691, 60, 68sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( A. x A. y
( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y
)  /\  z  C_  {
(/) } )  ->  (
z ⊔ ℕ ) 
~~ )
70 bren 6747 . . . . . 6  |-  ( ( z ⊔ ℕ ) 
~~  <->  E. f  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )
7169, 70sylib 122 . . . . 5  |-  ( ( A. x A. y
( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y
)  /\  z  C_  {
(/) } )  ->  E. f 
f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )
72 nninfomni 14771 . . . . . . . . 9  |-  e. Omni
7372a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  e. Omni )
74 f1ocnv 5475 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto->  ->  `' f : -1-1-onto-> (
z ⊔ ℕ ) )
75 f1ofo 5469 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' f : -1-1-onto-> (
z ⊔ ℕ )  ->  `' f : -onto-> (
z ⊔ ℕ ) )
7674, 75syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto->  ->  `' f : -onto->
( z ⊔ ℕ ) )
7776adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  `' f : -onto-> (
z ⊔ ℕ ) )
7873, 77fodjuomni 7147 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  ( E. w  w  e.  z  \/  z  =  (/) ) )
79 sssnm 3755 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  w  e.  z  ->  ( z  C_  {
(/) }  <->  z  =  { (/)
} ) )
8079biimpcd 159 . . . . . . . . 9  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( E. w  w  e.  z  ->  z  =  { (/) } ) )
8180ad2antlr 489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  ( E. w  w  e.  z  ->  z  =  { (/) } ) )
8281orim1d 787 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  ( ( E. w  w  e.  z  \/  z  =  (/) )  ->  ( z  =  { (/) }  \/  z  =  (/) ) ) )
8378, 82mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  ( z  =  { (/) }  \/  z  =  (/) ) )
8483orcomd 729 . . . . 5  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  ( z  =  (/)  \/  z  =  { (/)
} ) )
8571, 84exlimddv 1898 . . . 4  |-  ( ( A. x A. y
( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y
)  /\  z  C_  {
(/) } )  ->  (
z  =  (/)  \/  z  =  { (/) } ) )
8685ex 115 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  ->  (
z  C_  { (/) }  ->  ( z  =  (/)  \/  z  =  { (/) } ) ) )
8786alrimiv 1874 . 2  |-  ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  ->  A. z
( z  C_  { (/) }  ->  ( z  =  (/)  \/  z  =  { (/)
} ) ) )
88 exmid01 4199 . 2  |-  (EXMID  <->  A. z
( z  C_  { (/) }  ->  ( z  =  (/)  \/  z  =  { (/)
} ) ) )
8987, 88sylibr 134 1  |-  ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  -> EXMID )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708   A.wal 1351    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148    =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2738    i^i cin 3129    C_ wss 3130   (/)c0 3423   ifcif 3535   {csn 3593   U.cuni 3810   class class class wbr 4004    |-> cmpt 4065  EXMIDwem 4195   omcom 4590    X. cxp 4625   `'ccnv 4626   dom cdm 4627   ran crn 4628    |` cres 4629   Fun wfun 5211   -->wf 5213   -1-1->wf1 5214   -onto->wfo 5215   -1-1-onto->wf1o 5216   ` cfv 5217   1oc1o 6410    ~~ cen 6738    ~<_ cdom 6739   ⊔ cdju 7036  inrcinr 7045  casecdjucase 7082  ℕxnninf 7118  Omnicomni 7132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-exmid 4196  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-1o 6417  df-2o 6418  df-map 6650  df-en 6741  df-dom 6742  df-dju 7037  df-inl 7046  df-inr 7047  df-case 7083  df-nninf 7119  df-omni 7133
This theorem is referenced by:  exmidsbthr  14774
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