Theorem exmidsbthrlem 14426

Description: Lemma for exmidsbthr 14427. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
exmidsbthrlem.s	|- S = ( p e. ℕ∞ |-> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
exmidsbthrlem	|- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> EXMID )

Distinct variable groups:   S, i   i, p   x, y

Allowed substitution hints:   S( x, y, p)

Proof of Theorem exmidsbthrlem

Dummy variables a b k z f u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) -> A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) )
2		nninfex 7114	. . . . . . . . . 10 |- ℕ∞ e. _V
3		fconstmpt 4670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( om X. { (/) } ) = ( i e. om |-> (/) )
4		0nninf 14409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( om X. { (/) } ) e. ℕ∞
5	3, 4	eqeltrri 2251	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. om |-> (/) ) e. ℕ∞
6	5	fconst6 5411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) : z -->ℕ∞
7	6	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ { (/) } -> ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) : z -->ℕ∞ )
8		ssel 3149	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z C_ { (/) } -> ( u e. z -> u e. { (/) } ) )
9		elsni 3609	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. { (/) } -> u = (/) )
10	8, 9	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z C_ { (/) } -> ( u e. z -> u = (/) ) )
11		ssel 3149	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z C_ { (/) } -> ( v e. z -> v e. { (/) } ) )
12		elsni 3609	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. { (/) } -> v = (/) )
13	11, 12	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z C_ { (/) } -> ( v e. z -> v = (/) ) )
14	10, 13	anim12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z C_ { (/) } -> ( ( u e. z /\ v e. z ) -> ( u = (/) /\ v = (/) ) ) )
15		eqtr3 2197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u = (/) /\ v = (/) ) -> u = v )
16	14, 15	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z C_ { (/) } -> ( ( u e. z /\ v e. z ) -> u = v ) )
17	16	imp 124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z C_ { (/) } /\ ( u e. z /\ v e. z ) ) -> u = v )
18	17	a1d 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z C_ { (/) } /\ ( u e. z /\ v e. z ) ) -> ( ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) ` u ) = ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) ` v ) -> u = v ) )
19	18	ralrimivva 2559	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ { (/) } -> A. u e. z A. v e. z ( ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) ` u ) = ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) ` v ) -> u = v ) )
20		dff13 5763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) : z -1-1->ℕ∞ <-> ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) : z -->ℕ∞ /\ A. u e. z A. v e. z ( ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) ` u ) = ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) ` v ) -> u = v ) ) )
21	7, 19, 20	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ { (/) } -> ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) : z -1-1->ℕ∞ )
22		exmidsbthrlem.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- S = ( p e. ℕ∞ |-> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) )
23	22	peano4nninf 14411	. . . . . . . . . . . 12 |- S :ℕ∞ -1-1->ℕ∞
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ { (/) } -> S :ℕ∞ -1-1->ℕ∞ )
25		disj 3471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) i^i ran S ) = (/) <-> A. a e. ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) -. a e. ran S )
26	22	peano3nninf 14412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b e. ℕ∞ -> ( S ` b ) =/= ( k e. om |-> (/) ) )
27		eqidd 2178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = i -> (/) = (/) )
28	27	cbvmptv 4096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. om |-> (/) ) = ( i e. om |-> (/) )
29	28	neeq2i 2363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S ` b ) =/= ( k e. om |-> (/) ) <-> ( S ` b ) =/= ( i e. om |-> (/) ) )
30	26, 29	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b e. ℕ∞ -> ( S ` b ) =/= ( i e. om |-> (/) ) )
31	30	neneqd 2368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b e. ℕ∞ -> -. ( S ` b ) = ( i e. om |-> (/) ) )
32	31	nrex 2569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. E. b e. ℕ∞ ( S ` b ) = ( i e. om |-> (/) )
33		f1dm 5422	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S :ℕ∞ -1-1->ℕ∞ -> dom S = ℕ∞ )
34	23, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- dom S = ℕ∞
35		eqcom 2179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. om |-> (/) ) = ( S ` b ) <-> ( S ` b ) = ( i e. om |-> (/) ) )
36	34, 35	rexeqbii 2490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. b e. dom S ( i e. om |-> (/) ) = ( S ` b ) <-> E. b e. ℕ∞ ( S ` b ) = ( i e. om |-> (/) ) )
37	32, 36	mtbir 671	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. E. b e. dom S ( i e. om |-> (/) ) = ( S ` b )
38	22	funmpt2 5251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- Fun S
39		elrnrexdm 5651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Fun S -> ( ( i e. om |-> (/) ) e. ran S -> E. b e. dom S ( i e. om |-> (/) ) = ( S ` b ) ) )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. om |-> (/) ) e. ran S -> E. b e. dom S ( i e. om |-> (/) ) = ( S ` b ) )
41	37, 40	mto 662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. ( i e. om |-> (/) ) e. ran S
42		rnxpss 5056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) C_ { ( i e. om |-> (/) ) }
43	42	sseli 3151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) -> a e. { ( i e. om |-> (/) ) } )
44		elsni 3609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. { ( i e. om |-> (/) ) } -> a = ( i e. om |-> (/) ) )
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) -> a = ( i e. om |-> (/) ) )
46	45	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) -> ( a e. ran S <-> ( i e. om |-> (/) ) e. ran S ) )
47	41, 46	mtbiri 675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) -> -. a e. ran S )
48	25, 47	mprgbir 2535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) i^i ran S ) = (/)
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ { (/) } -> ( ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) i^i ran S ) = (/) )
50	21, 24, 49	casef1 7083	. . . . . . . . . 10 |- ( z C_ { (/) } -> case ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) , S ) : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1->ℕ∞ )
51		f1domg 6752	. . . . . . . . . 10 |- (ℕ∞ e. _V -> (case ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) , S ) : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1->ℕ∞ -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ ) )
52	2, 50, 51	mpsyl 65	. . . . . . . . 9 |- ( z C_ { (/) } -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ )
53	52	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ )
54		inrresf1 7055	. . . . . . . . 9 |- (inr |` ℕ∞ ) :ℕ∞ -1-1-> ( z ⊔ ℕ∞ )
55		vex 2740	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
56		djuex 7036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. _V /\ ℕ∞ e. _V ) -> ( z ⊔ ℕ∞ ) e. _V )
57	55, 2, 56	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 |- ( z ⊔ ℕ∞ ) e. _V
58	57	f1dom 6754	. . . . . . . . 9 |- ( (inr |` ℕ∞ ) :ℕ∞ -1-1-> ( z ⊔ ℕ∞ ) -> ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) )
59	54, 58	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ )
60	53, 59	jctir 313	. . . . . . 7 |- ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) -> ( ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ /\ ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) )
61		breq12 4005	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( z ⊔ ℕ∞ ) /\ y = ℕ∞ ) -> ( x ~<_ y <-> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ ) )
62		breq12 4005	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y = ℕ∞ /\ x = ( z ⊔ ℕ∞ ) ) -> ( y ~<_ x <-> ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) )
63	62	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( z ⊔ ℕ∞ ) /\ y = ℕ∞ ) -> ( y ~<_ x <-> ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) )
64	61, 63	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( z ⊔ ℕ∞ ) /\ y = ℕ∞ ) -> ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) <-> ( ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ /\ ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) ) )
65		breq12 4005	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( z ⊔ ℕ∞ ) /\ y = ℕ∞ ) -> ( x ~~ y <-> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~~ ℕ∞ ) )
66	64, 65	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( z ⊔ ℕ∞ ) /\ y = ℕ∞ ) -> ( ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) <-> ( ( ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ /\ ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~~ ℕ∞ ) ) )
67	66	spc2gv 2828	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z ⊔ ℕ∞ ) e. _V /\ ℕ∞ e. _V ) -> ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> ( ( ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ /\ ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~~ ℕ∞ ) ) )
68	57, 2, 67	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> ( ( ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ /\ ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~~ ℕ∞ ) )
69	1, 60, 68	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~~ ℕ∞ )
70		bren 6741	. . . . . 6 |- ( ( z ⊔ ℕ∞ ) ~~ ℕ∞ <-> E. f f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ )
71	69, 70	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) -> E. f f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ )
72		nninfomni 14424	. . . . . . . . 9 |- ℕ∞ e. Omni
73	72	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> ℕ∞ e. Omni )
74		f1ocnv 5470	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ -> `' f :ℕ∞ -1-1-onto-> ( z ⊔ ℕ∞ ) )
75		f1ofo 5464	. . . . . . . . . 10 |- ( `' f :ℕ∞ -1-1-onto-> ( z ⊔ ℕ∞ ) -> `' f :ℕ∞ -onto-> ( z ⊔ ℕ∞ ) )
76	74, 75	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ -> `' f :ℕ∞ -onto-> ( z ⊔ ℕ∞ ) )
77	76	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> `' f :ℕ∞ -onto-> ( z ⊔ ℕ∞ ) )
78	73, 77	fodjuomni 7141	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> ( E. w w e. z \/ z = (/) ) )
79		sssnm 3752	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w w e. z -> ( z C_ { (/) } <-> z = { (/) } ) )
80	79	biimpcd 159	. . . . . . . . 9 |- ( z C_ { (/) } -> ( E. w w e. z -> z = { (/) } ) )
81	80	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> ( E. w w e. z -> z = { (/) } ) )
82	81	orim1d 787	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> ( ( E. w w e. z \/ z = (/) ) -> ( z = { (/) } \/ z = (/) ) ) )
83	78, 82	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> ( z = { (/) } \/ z = (/) ) )
84	83	orcomd 729	. . . . 5 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) )
85	71, 84	exlimddv 1898	. . . 4 |- ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) )
86	85	ex 115	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> ( z C_ { (/) } -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) ) )
87	86	alrimiv 1874	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> A. z ( z C_ { (/) } -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) ) )
88		exmid01 4195	. 2 |- (EXMID <-> A. z ( z C_ { (/) } -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) ) )
89	87, 88	sylibr 134	1 |- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> EXMID )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   A.wal 1351   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   i^i cin 3128   C_ wss 3129   (/)c0 3422   ifcif 3534   {csn 3591   U.cuni 3807   class class class wbr 4000   |-> cmpt 4061  EXMIDwem 4191   omcom 4586   X. cxp 4621   `'ccnv 4622   dom cdm 4623   ran crn 4624   |` cres 4625   Fun wfun 5206   -->wf 5208   -1-1->wf1 5209   -onto->wfo 5210   -1-1-onto->wf1o 5211   ` cfv 5212   1oc1o 6404   ~~ cen 6732   ~<_ cdom 6733   ⊔ cdju 7030  inrcinr 7039  casecdjucase 7076  ℕ_∞xnninf 7112  Omnicomni 7126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-exmid 4192  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-1o 6411  df-2o 6412  df-map 6644  df-en 6735  df-dom 6736  df-dju 7031  df-inl 7040  df-inr 7041  df-case 7077  df-nninf 7113  df-omni 7127

This theorem is referenced by:  exmidsbthr  14427