Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  exmidsbthrlem Unicode version

Theorem exmidsbthrlem 14311
Description: Lemma for exmidsbthr 14312. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
exmidsbthrlem.s  |-  S  =  ( p  e. 
|->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
exmidsbthrlem  |-  ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  -> EXMID )
Distinct variable groups:    S, i    i, p    x, y
Allowed substitution hints:    S( x, y, p)

Proof of Theorem exmidsbthrlem
Dummy variables  a  b  k  z  f  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x A. y
( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y
)  /\  z  C_  {
(/) } )  ->  A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y ) )
2 nninfex 7110 . . . . . . . . . 10  |-  e.  _V
3 fconstmpt 4667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( om 
X.  { (/) } )  =  ( i  e. 
om  |->  (/) )
4 0nninf 14294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( om 
X.  { (/) } )  e.
53, 4eqeltrri 2249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  om  |->  (/) )  e.
65fconst6 5407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } ) : z -->
76a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } ) : z --> )
8 ssel 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( u  e.  z  ->  u  e.  { (/) } ) )
9 elsni 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  { (/) }  ->  u  =  (/) )
108, 9syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( u  e.  z  ->  u  =  (/) ) )
11 ssel 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( v  e.  z  -> 
v  e.  { (/) } ) )
12 elsni 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  { (/) }  ->  v  =  (/) )
1311, 12syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( v  e.  z  -> 
v  =  (/) ) )
1410, 13anim12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( ( u  e.  z  /\  v  e.  z )  ->  ( u  =  (/)  /\  v  =  (/) ) ) )
15 eqtr3 2195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  =  (/)  /\  v  =  (/) )  ->  u  =  v )
1614, 15syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( ( u  e.  z  /\  v  e.  z )  ->  u  =  v ) )
1716imp 124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  C_  { (/) }  /\  ( u  e.  z  /\  v  e.  z
) )  ->  u  =  v )
1817a1d 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  C_  { (/) }  /\  ( u  e.  z  /\  v  e.  z
) )  ->  (
( ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } ) `
 u )  =  ( ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } ) `
 v )  ->  u  =  v )
)
1918ralrimivva 2557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  A. u  e.  z  A. v  e.  z  (
( ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } ) `
 u )  =  ( ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } ) `
 v )  ->  u  =  v )
)
20 dff13 5759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } ) : z
-1-1->  <->  ( (
z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } ) : z -->  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  z  (
( ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } ) `
 u )  =  ( ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } ) `
 v )  ->  u  =  v )
) )
217, 19, 20sylanbrc 417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } ) : z
-1-1-> )
22 exmidsbthrlem.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( p  e. 
|->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) )
2322peano4nninf 14296 . . . . . . . . . . . 12  |-  S : -1-1->
2423a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  S : -1-1-> )
25 disj 3469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ran  ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } )  i^i  ran  S )  =  (/)  <->  A. a  e.  ran  ( z  X.  {
( i  e.  om  |->  (/) ) } )  -.  a  e.  ran  S
)
2622peano3nninf 14297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  e.  ->  ( S `  b
)  =/=  ( k  e.  om  |->  (/) ) )
27 eqidd 2176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  i  ->  (/)  =  (/) )
2827cbvmptv 4094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  om  |->  (/) )  =  ( i  e.  om  |->  (/) )
2928neeq2i 2361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S `  b )  =/=  ( k  e. 
om  |->  (/) )  <->  ( S `  b )  =/=  (
i  e.  om  |->  (/) ) )
3026, 29sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  e.  ->  ( S `  b
)  =/=  ( i  e.  om  |->  (/) ) )
3130neneqd 2366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ->  -.  ( S `  b )  =  ( i  e.  om  |->  (/) ) )
3231nrex 2567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  E. b  e.  ( S `  b
)  =  ( i  e.  om  |->  (/) )
33 f1dm 5418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S : -1-1->  ->  dom 
S  = )
3423, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  S  =
35 eqcom 2177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  om  |->  (/) )  =  ( S `  b )  <->  ( S `  b )  =  ( i  e.  om  |->  (/) ) )
3634, 35rexeqbii 2488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. b  e.  dom  S
( i  e.  om  |->  (/) )  =  ( S `
 b )  <->  E. b  e.  ( S `  b )  =  ( i  e. 
om  |->  (/) ) )
3732, 36mtbir 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  E. b  e.  dom  S ( i  e.  om  |->  (/) )  =  ( S `  b )
3822funmpt2 5247 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Fun  S
39 elrnrexdm 5647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fun 
S  ->  ( (
i  e.  om  |->  (/) )  e.  ran  S  ->  E. b  e.  dom  S ( i  e.  om  |->  (/) )  =  ( S `
 b ) ) )
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  om  |->  (/) )  e.  ran  S  ->  E. b  e.  dom  S ( i  e.  om  |->  (/) )  =  ( S `
 b ) )
4137, 40mto 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (
i  e.  om  |->  (/) )  e.  ran  S
42 rnxpss 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  (
z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } )  C_  { ( i  e.  om  |->  (/) ) }
4342sseli 3149 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  ran  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } )  ->  a  e.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } )
44 elsni 3607 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) }  ->  a  =  ( i  e.  om  |->  (/) ) )
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ran  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } )  ->  a  =  ( i  e.  om  |->  (/) ) )
4645eleq1d 2244 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ran  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } )  ->  ( a  e.  ran  S  <->  ( i  e.  om  |->  (/) )  e.  ran  S ) )
4741, 46mtbiri 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ran  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } )  ->  -.  a  e.  ran  S )
4825, 47mprgbir 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  ( z  X.  {
( i  e.  om  |->  (/) ) } )  i^i 
ran  S )  =  (/)
4948a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( ran  ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } )  i^i  ran  S )  =  (/) )
5021, 24, 49casef1 7079 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
C_  { (/) }  -> case ( ( z  X.  {
( i  e.  om  |->  (/) ) } ) ,  S ) : ( z ⊔ ℕ )
-1-1-> )
51 f1domg 6748 . . . . . . . . . 10  |-  (  e.  _V  ->  (case ( ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } ) ,  S ) : ( z ⊔ ℕ ) -1-1->  -> 
( z ⊔ ℕ )  ~<_ ) )
522, 50, 51mpsyl 65 . . . . . . . . 9  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( z ⊔ ℕ )  ~<_ )
5352adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x A. y
( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y
)  /\  z  C_  {
(/) } )  ->  (
z ⊔ ℕ )  ~<_ )
54 inrresf1 7051 . . . . . . . . 9  |-  (inr  |` ) : -1-1-> ( z ⊔ ℕ )
55 vex 2738 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
56 djuex 7032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  _V  /\  e.  _V )  ->  ( z ⊔ ℕ )  e.  _V )
5755, 2, 56mp2an 426 . . . . . . . . . 10  |-  ( z ⊔ ℕ )  e. 
_V
5857f1dom 6750 . . . . . . . . 9  |-  ( (inr  |` ) : -1-1-> ( z ⊔ ℕ )  -> 
~<_  ( z ⊔ ℕ ) )
5954, 58ax-mp 5 . . . . . . . 8  |- 
~<_  ( z ⊔ ℕ )
6053, 59jctir 313 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x A. y
( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y
)  /\  z  C_  {
(/) } )  ->  (
( z ⊔ ℕ )  ~<_  /\  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) ) )
61 breq12 4003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( z ⊔ ℕ )  /\  y  = )  ->  ( x  ~<_  y 
<->  ( z ⊔ ℕ )  ~<_ ) )
62 breq12 4003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  =  /\  x  =  ( z ⊔ ℕ ) )  ->  ( y  ~<_  x 
<->  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) ) )
6362ancoms 268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( z ⊔ ℕ )  /\  y  = )  ->  ( y  ~<_  x 
<->  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) ) )
6461, 63anbi12d 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( z ⊔ ℕ )  /\  y  = )  ->  ( (
x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  <->  ( (
z ⊔ ℕ )  ~<_  /\  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) ) ) )
65 breq12 4003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( z ⊔ ℕ )  /\  y  = )  ->  ( x  ~~  y  <->  ( z ⊔ ℕ )  ~~ ) )
6664, 65imbi12d 234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( z ⊔ ℕ )  /\  y  = )  ->  ( (
( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  <->  ( (
( z ⊔ ℕ )  ~<_  /\  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) )  ->  ( z ⊔ ℕ )  ~~ ) ) )
6766spc2gv 2826 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z ⊔ ℕ )  e.  _V  /\  e.  _V )  ->  ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  ->  (
( ( z ⊔ ℕ )  ~<_  /\  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) )  ->  ( z ⊔ ℕ )  ~~ ) ) )
6857, 2, 67mp2an 426 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  ->  (
( ( z ⊔ ℕ )  ~<_  /\  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) )  ->  ( z ⊔ ℕ )  ~~ ) )
691, 60, 68sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( A. x A. y
( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y
)  /\  z  C_  {
(/) } )  ->  (
z ⊔ ℕ ) 
~~ )
70 bren 6737 . . . . . 6  |-  ( ( z ⊔ ℕ ) 
~~  <->  E. f  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )
7169, 70sylib 122 . . . . 5  |-  ( ( A. x A. y
( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y
)  /\  z  C_  {
(/) } )  ->  E. f 
f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )
72 nninfomni 14309 . . . . . . . . 9  |-  e. Omni
7372a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  e. Omni )
74 f1ocnv 5466 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto->  ->  `' f : -1-1-onto-> (
z ⊔ ℕ ) )
75 f1ofo 5460 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' f : -1-1-onto-> (
z ⊔ ℕ )  ->  `' f : -onto-> (
z ⊔ ℕ ) )
7674, 75syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto->  ->  `' f : -onto->
( z ⊔ ℕ ) )
7776adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  `' f : -onto-> (
z ⊔ ℕ ) )
7873, 77fodjuomni 7137 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  ( E. w  w  e.  z  \/  z  =  (/) ) )
79 sssnm 3750 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  w  e.  z  ->  ( z  C_  {
(/) }  <->  z  =  { (/)
} ) )
8079biimpcd 159 . . . . . . . . 9  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( E. w  w  e.  z  ->  z  =  { (/) } ) )
8180ad2antlr 489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  ( E. w  w  e.  z  ->  z  =  { (/) } ) )
8281orim1d 787 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  ( ( E. w  w  e.  z  \/  z  =  (/) )  ->  ( z  =  { (/) }  \/  z  =  (/) ) ) )
8378, 82mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  ( z  =  { (/) }  \/  z  =  (/) ) )
8483orcomd 729 . . . . 5  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  ( z  =  (/)  \/  z  =  { (/)
} ) )
8571, 84exlimddv 1896 . . . 4  |-  ( ( A. x A. y
( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y
)  /\  z  C_  {
(/) } )  ->  (
z  =  (/)  \/  z  =  { (/) } ) )
8685ex 115 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  ->  (
z  C_  { (/) }  ->  ( z  =  (/)  \/  z  =  { (/) } ) ) )
8786alrimiv 1872 . 2  |-  ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  ->  A. z
( z  C_  { (/) }  ->  ( z  =  (/)  \/  z  =  { (/)
} ) ) )
88 exmid01 4193 . 2  |-  (EXMID  <->  A. z
( z  C_  { (/) }  ->  ( z  =  (/)  \/  z  =  { (/)
} ) ) )
8987, 88sylibr 134 1  |-  ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  -> EXMID )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708   A.wal 1351    = wceq 1353   E.wex 1490    e. wcel 2146    =/= wne 2345   A.wral 2453   E.wrex 2454   _Vcvv 2735    i^i cin 3126    C_ wss 3127   (/)c0 3420   ifcif 3532   {csn 3589   U.cuni 3805   class class class wbr 3998    |-> cmpt 4059  EXMIDwem 4189   omcom 4583    X. cxp 4618   `'ccnv 4619   dom cdm 4620   ran crn 4621    |` cres 4622   Fun wfun 5202   -->wf 5204   -1-1->wf1 5205   -onto->wfo 5206   -1-1-onto->wf1o 5207   ` cfv 5208   1oc1o 6400    ~~ cen 6728    ~<_ cdom 6729   ⊔ cdju 7026  inrcinr 7035  casecdjucase 7072  ℕxnninf 7108  Omnicomni 7122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-exmid 4190  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-1o 6407  df-2o 6408  df-map 6640  df-en 6731  df-dom 6732  df-dju 7027  df-inl 7036  df-inr 7037  df-case 7073  df-nninf 7109  df-omni 7123
This theorem is referenced by:  exmidsbthr  14312
  Copyright terms: Public domain W3C validator