Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  exmidsbthrlem Unicode version

Theorem exmidsbthrlem 13303
Description: Lemma for exmidsbthr 13304. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
exmidsbthrlem.s  |-  S  =  ( p  e. 
|->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
exmidsbthrlem  |-  ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  -> EXMID )
Distinct variable groups:    S, i    i, p    x, y
Allowed substitution hints:    S( x, y, p)

Proof of Theorem exmidsbthrlem
Dummy variables  a  b  k  z  f  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x A. y
( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y
)  /\  z  C_  {
(/) } )  ->  A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y ) )
2 nninfex 13291 . . . . . . . . . 10  |-  e.  _V
3 fconstmpt 4586 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( om 
X.  { (/) } )  =  ( i  e. 
om  |->  (/) )
4 0nninf 13283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( om 
X.  { (/) } )  e.
53, 4eqeltrri 2213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  om  |->  (/) )  e.
65fconst6 5322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } ) : z -->
76a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } ) : z --> )
8 ssel 3091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( u  e.  z  ->  u  e.  { (/) } ) )
9 elsni 3545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  { (/) }  ->  u  =  (/) )
108, 9syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( u  e.  z  ->  u  =  (/) ) )
11 ssel 3091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( v  e.  z  -> 
v  e.  { (/) } ) )
12 elsni 3545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  { (/) }  ->  v  =  (/) )
1311, 12syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( v  e.  z  -> 
v  =  (/) ) )
1410, 13anim12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( ( u  e.  z  /\  v  e.  z )  ->  ( u  =  (/)  /\  v  =  (/) ) ) )
15 eqtr3 2159 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  =  (/)  /\  v  =  (/) )  ->  u  =  v )
1614, 15syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( ( u  e.  z  /\  v  e.  z )  ->  u  =  v ) )
1716imp 123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  C_  { (/) }  /\  ( u  e.  z  /\  v  e.  z
) )  ->  u  =  v )
1817a1d 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  C_  { (/) }  /\  ( u  e.  z  /\  v  e.  z
) )  ->  (
( ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } ) `
 u )  =  ( ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } ) `
 v )  ->  u  =  v )
)
1918ralrimivva 2514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  A. u  e.  z  A. v  e.  z  (
( ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } ) `
 u )  =  ( ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } ) `
 v )  ->  u  =  v )
)
20 dff13 5669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } ) : z
-1-1->  <->  ( (
z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } ) : z -->  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  z  (
( ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } ) `
 u )  =  ( ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } ) `
 v )  ->  u  =  v )
) )
217, 19, 20sylanbrc 413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } ) : z
-1-1-> )
22 exmidsbthrlem.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( p  e. 
|->  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  ( p `
 U. i ) ) ) )
2322peano4nninf 13286 . . . . . . . . . . . 12  |-  S : -1-1->
2423a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  S : -1-1-> )
25 disj 3411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ran  ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } )  i^i  ran  S )  =  (/)  <->  A. a  e.  ran  ( z  X.  {
( i  e.  om  |->  (/) ) } )  -.  a  e.  ran  S
)
2622peano3nninf 13287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  e.  ->  ( S `  b
)  =/=  ( k  e.  om  |->  (/) ) )
27 eqidd 2140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  i  ->  (/)  =  (/) )
2827cbvmptv 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  om  |->  (/) )  =  ( i  e.  om  |->  (/) )
2928neeq2i 2324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S `  b )  =/=  ( k  e. 
om  |->  (/) )  <->  ( S `  b )  =/=  (
i  e.  om  |->  (/) ) )
3026, 29sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  e.  ->  ( S `  b
)  =/=  ( i  e.  om  |->  (/) ) )
3130neneqd 2329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ->  -.  ( S `  b )  =  ( i  e.  om  |->  (/) ) )
3231nrex 2524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  E. b  e.  ( S `  b
)  =  ( i  e.  om  |->  (/) )
33 f1dm 5333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S : -1-1->  ->  dom 
S  = )
3423, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  S  =
35 eqcom 2141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  om  |->  (/) )  =  ( S `  b )  <->  ( S `  b )  =  ( i  e.  om  |->  (/) ) )
3634, 35rexeqbii 2448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. b  e.  dom  S
( i  e.  om  |->  (/) )  =  ( S `
 b )  <->  E. b  e.  ( S `  b )  =  ( i  e. 
om  |->  (/) ) )
3732, 36mtbir 660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  E. b  e.  dom  S ( i  e.  om  |->  (/) )  =  ( S `  b )
3822funmpt2 5162 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Fun  S
39 elrnrexdm 5559 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fun 
S  ->  ( (
i  e.  om  |->  (/) )  e.  ran  S  ->  E. b  e.  dom  S ( i  e.  om  |->  (/) )  =  ( S `
 b ) ) )
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  om  |->  (/) )  e.  ran  S  ->  E. b  e.  dom  S ( i  e.  om  |->  (/) )  =  ( S `
 b ) )
4137, 40mto 651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (
i  e.  om  |->  (/) )  e.  ran  S
42 rnxpss 4970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  (
z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } )  C_  { ( i  e.  om  |->  (/) ) }
4342sseli 3093 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  ran  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } )  ->  a  e.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } )
44 elsni 3545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) }  ->  a  =  ( i  e.  om  |->  (/) ) )
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ran  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } )  ->  a  =  ( i  e.  om  |->  (/) ) )
4645eleq1d 2208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ran  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } )  ->  ( a  e.  ran  S  <->  ( i  e.  om  |->  (/) )  e.  ran  S ) )
4741, 46mtbiri 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ran  ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } )  ->  -.  a  e.  ran  S )
4825, 47mprgbir 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  ( z  X.  {
( i  e.  om  |->  (/) ) } )  i^i 
ran  S )  =  (/)
4948a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( ran  ( z  X. 
{ ( i  e. 
om  |->  (/) ) } )  i^i  ran  S )  =  (/) )
5021, 24, 49casef1 6975 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
C_  { (/) }  -> case ( ( z  X.  {
( i  e.  om  |->  (/) ) } ) ,  S ) : ( z ⊔ ℕ )
-1-1-> )
51 f1domg 6652 . . . . . . . . . 10  |-  (  e.  _V  ->  (case ( ( z  X.  { ( i  e.  om  |->  (/) ) } ) ,  S ) : ( z ⊔ ℕ ) -1-1->  -> 
( z ⊔ ℕ )  ~<_ ) )
522, 50, 51mpsyl 65 . . . . . . . . 9  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( z ⊔ ℕ )  ~<_ )
5352adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x A. y
( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y
)  /\  z  C_  {
(/) } )  ->  (
z ⊔ ℕ )  ~<_ )
54 inrresf1 6947 . . . . . . . . 9  |-  (inr  |` ) : -1-1-> ( z ⊔ ℕ )
55 vex 2689 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
56 djuex 6928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  _V  /\  e.  _V )  ->  ( z ⊔ ℕ )  e.  _V )
5755, 2, 56mp2an 422 . . . . . . . . . 10  |-  ( z ⊔ ℕ )  e. 
_V
5857f1dom 6654 . . . . . . . . 9  |-  ( (inr  |` ) : -1-1-> ( z ⊔ ℕ )  -> 
~<_  ( z ⊔ ℕ ) )
5954, 58ax-mp 5 . . . . . . . 8  |- 
~<_  ( z ⊔ ℕ )
6053, 59jctir 311 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x A. y
( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y
)  /\  z  C_  {
(/) } )  ->  (
( z ⊔ ℕ )  ~<_  /\  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) ) )
61 breq12 3934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( z ⊔ ℕ )  /\  y  = )  ->  ( x  ~<_  y 
<->  ( z ⊔ ℕ )  ~<_ ) )
62 breq12 3934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  =  /\  x  =  ( z ⊔ ℕ ) )  ->  ( y  ~<_  x 
<->  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) ) )
6362ancoms 266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( z ⊔ ℕ )  /\  y  = )  ->  ( y  ~<_  x 
<->  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) ) )
6461, 63anbi12d 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( z ⊔ ℕ )  /\  y  = )  ->  ( (
x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  <->  ( (
z ⊔ ℕ )  ~<_  /\  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) ) ) )
65 breq12 3934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( z ⊔ ℕ )  /\  y  = )  ->  ( x  ~~  y  <->  ( z ⊔ ℕ )  ~~ ) )
6664, 65imbi12d 233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( z ⊔ ℕ )  /\  y  = )  ->  ( (
( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  <->  ( (
( z ⊔ ℕ )  ~<_  /\  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) )  ->  ( z ⊔ ℕ )  ~~ ) ) )
6766spc2gv 2776 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z ⊔ ℕ )  e.  _V  /\  e.  _V )  ->  ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  ->  (
( ( z ⊔ ℕ )  ~<_  /\  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) )  ->  ( z ⊔ ℕ )  ~~ ) ) )
6857, 2, 67mp2an 422 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  ->  (
( ( z ⊔ ℕ )  ~<_  /\  ~<_  ( z ⊔ ℕ ) )  ->  ( z ⊔ ℕ )  ~~ ) )
691, 60, 68sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( A. x A. y
( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y
)  /\  z  C_  {
(/) } )  ->  (
z ⊔ ℕ ) 
~~ )
70 bren 6641 . . . . . 6  |-  ( ( z ⊔ ℕ ) 
~~  <->  E. f  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )
7169, 70sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( A. x A. y
( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y
)  /\  z  C_  {
(/) } )  ->  E. f 
f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )
72 nninfomni 13301 . . . . . . . . 9  |-  e. Omni
7372a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  e. Omni )
74 f1ocnv 5380 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto->  ->  `' f : -1-1-onto-> (
z ⊔ ℕ ) )
75 f1ofo 5374 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' f : -1-1-onto-> (
z ⊔ ℕ )  ->  `' f : -onto-> (
z ⊔ ℕ ) )
7674, 75syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto->  ->  `' f : -onto->
( z ⊔ ℕ ) )
7776adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  `' f : -onto-> (
z ⊔ ℕ ) )
7873, 77fodjuomni 7021 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  ( E. w  w  e.  z  \/  z  =  (/) ) )
79 sssnm 3681 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  w  e.  z  ->  ( z  C_  {
(/) }  <->  z  =  { (/)
} ) )
8079biimpcd 158 . . . . . . . . 9  |-  ( z 
C_  { (/) }  ->  ( E. w  w  e.  z  ->  z  =  { (/) } ) )
8180ad2antlr 480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  ( E. w  w  e.  z  ->  z  =  { (/) } ) )
8281orim1d 776 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  ( ( E. w  w  e.  z  \/  z  =  (/) )  ->  ( z  =  { (/) }  \/  z  =  (/) ) ) )
8378, 82mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  ( z  =  { (/) }  \/  z  =  (/) ) )
8483orcomd 718 . . . . 5  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  /\  z  C_ 
{ (/) } )  /\  f : ( z ⊔ ℕ ) -1-1-onto-> )  ->  ( z  =  (/)  \/  z  =  { (/)
} ) )
8571, 84exlimddv 1870 . . . 4  |-  ( ( A. x A. y
( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y
)  /\  z  C_  {
(/) } )  ->  (
z  =  (/)  \/  z  =  { (/) } ) )
8685ex 114 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  ->  (
z  C_  { (/) }  ->  ( z  =  (/)  \/  z  =  { (/) } ) ) )
8786alrimiv 1846 . 2  |-  ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  ->  A. z
( z  C_  { (/) }  ->  ( z  =  (/)  \/  z  =  { (/)
} ) ) )
88 exmid01 4121 . 2  |-  (EXMID  <->  A. z
( z  C_  { (/) }  ->  ( z  =  (/)  \/  z  =  { (/)
} ) ) )
8987, 88sylibr 133 1  |-  ( A. x A. y ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  x )  ->  x  ~~  y )  -> EXMID )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697   A.wal 1329    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480    =/= wne 2308   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686    i^i cin 3070    C_ wss 3071   (/)c0 3363   ifcif 3474   {csn 3527   U.cuni 3736   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989  EXMIDwem 4118   omcom 4504    X. cxp 4537   `'ccnv 4538   dom cdm 4539   ran crn 4540    |` cres 4541   Fun wfun 5117   -->wf 5119   -1-1->wf1 5120   -onto->wfo 5121   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123   1oc1o 6306    ~~ cen 6632    ~<_ cdom 6633   ⊔ cdju 6922  inrcinr 6931  casecdjucase 6968  Omnicomni 7004  ℕxnninf 7005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-exmid 4119  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-1o 6313  df-2o 6314  df-map 6544  df-en 6635  df-dom 6636  df-dju 6923  df-inl 6932  df-inr 6933  df-case 6969  df-omni 7006  df-nninf 7007
This theorem is referenced by:  exmidsbthr  13304
  Copyright terms: Public domain W3C validator