Theorem exmidsbthrlem 13206

Description: Lemma for exmidsbthr 13207. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
exmidsbthrlem.s	|- S = ( p e. ℕ∞ |-> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
exmidsbthrlem	|- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> EXMID )

Distinct variable groups:   S, i   i, p   x, y

Allowed substitution hints:   S( x, y, p)

Proof of Theorem exmidsbthrlem

Dummy variables a b k z f u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) -> A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) )
2		nninfex 13194	. . . . . . . . . 10 |- ℕ∞ e. _V
3		fconstmpt 4581	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( om X. { (/) } ) = ( i e. om |-> (/) )
4		0nninf 13186	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( om X. { (/) } ) e. ℕ∞
5	3, 4	eqeltrri 2211	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. om |-> (/) ) e. ℕ∞
6	5	fconst6 5317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) : z -->ℕ∞
7	6	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ { (/) } -> ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) : z -->ℕ∞ )
8		ssel 3086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z C_ { (/) } -> ( u e. z -> u e. { (/) } ) )
9		elsni 3540	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. { (/) } -> u = (/) )
10	8, 9	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z C_ { (/) } -> ( u e. z -> u = (/) ) )
11		ssel 3086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z C_ { (/) } -> ( v e. z -> v e. { (/) } ) )
12		elsni 3540	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. { (/) } -> v = (/) )
13	11, 12	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z C_ { (/) } -> ( v e. z -> v = (/) ) )
14	10, 13	anim12d 333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z C_ { (/) } -> ( ( u e. z /\ v e. z ) -> ( u = (/) /\ v = (/) ) ) )
15		eqtr3 2157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u = (/) /\ v = (/) ) -> u = v )
16	14, 15	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z C_ { (/) } -> ( ( u e. z /\ v e. z ) -> u = v ) )
17	16	imp 123	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z C_ { (/) } /\ ( u e. z /\ v e. z ) ) -> u = v )
18	17	a1d 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z C_ { (/) } /\ ( u e. z /\ v e. z ) ) -> ( ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) ` u ) = ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) ` v ) -> u = v ) )
19	18	ralrimivva 2512	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ { (/) } -> A. u e. z A. v e. z ( ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) ` u ) = ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) ` v ) -> u = v ) )
20		dff13 5662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) : z -1-1->ℕ∞ <-> ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) : z -->ℕ∞ /\ A. u e. z A. v e. z ( ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) ` u ) = ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) ` v ) -> u = v ) ) )
21	7, 19, 20	sylanbrc 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ { (/) } -> ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) : z -1-1->ℕ∞ )
22		exmidsbthrlem.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- S = ( p e. ℕ∞ |-> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) )
23	22	peano4nninf 13189	. . . . . . . . . . . 12 |- S :ℕ∞ -1-1->ℕ∞
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ { (/) } -> S :ℕ∞ -1-1->ℕ∞ )
25		disj 3406	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) i^i ran S ) = (/) <-> A. a e. ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) -. a e. ran S )
26	22	peano3nninf 13190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b e. ℕ∞ -> ( S ` b ) =/= ( k e. om |-> (/) ) )
27		eqidd 2138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = i -> (/) = (/) )
28	27	cbvmptv 4019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. om |-> (/) ) = ( i e. om |-> (/) )
29	28	neeq2i 2322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S ` b ) =/= ( k e. om |-> (/) ) <-> ( S ` b ) =/= ( i e. om |-> (/) ) )
30	26, 29	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b e. ℕ∞ -> ( S ` b ) =/= ( i e. om |-> (/) ) )
31	30	neneqd 2327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b e. ℕ∞ -> -. ( S ` b ) = ( i e. om |-> (/) ) )
32	31	nrex 2522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. E. b e. ℕ∞ ( S ` b ) = ( i e. om |-> (/) )
33		f1dm 5328	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S :ℕ∞ -1-1->ℕ∞ -> dom S = ℕ∞ )
34	23, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- dom S = ℕ∞
35		eqcom 2139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. om |-> (/) ) = ( S ` b ) <-> ( S ` b ) = ( i e. om |-> (/) ) )
36	34, 35	rexeqbii 2446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. b e. dom S ( i e. om |-> (/) ) = ( S ` b ) <-> E. b e. ℕ∞ ( S ` b ) = ( i e. om |-> (/) ) )
37	32, 36	mtbir 660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. E. b e. dom S ( i e. om |-> (/) ) = ( S ` b )
38	22	funmpt2 5157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- Fun S
39		elrnrexdm 5552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Fun S -> ( ( i e. om |-> (/) ) e. ran S -> E. b e. dom S ( i e. om |-> (/) ) = ( S ` b ) ) )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. om |-> (/) ) e. ran S -> E. b e. dom S ( i e. om |-> (/) ) = ( S ` b ) )
41	37, 40	mto 651	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. ( i e. om |-> (/) ) e. ran S
42		rnxpss 4965	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) C_ { ( i e. om |-> (/) ) }
43	42	sseli 3088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) -> a e. { ( i e. om |-> (/) ) } )
44		elsni 3540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. { ( i e. om |-> (/) ) } -> a = ( i e. om |-> (/) ) )
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) -> a = ( i e. om |-> (/) ) )
46	45	eleq1d 2206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) -> ( a e. ran S <-> ( i e. om |-> (/) ) e. ran S ) )
47	41, 46	mtbiri 664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) -> -. a e. ran S )
48	25, 47	mprgbir 2488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) i^i ran S ) = (/)
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ { (/) } -> ( ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) i^i ran S ) = (/) )
50	21, 24, 49	casef1 6968	. . . . . . . . . 10 |- ( z C_ { (/) } -> case ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) , S ) : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1->ℕ∞ )
51		f1domg 6645	. . . . . . . . . 10 |- (ℕ∞ e. _V -> (case ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) , S ) : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1->ℕ∞ -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ ) )
52	2, 50, 51	mpsyl 65	. . . . . . . . 9 |- ( z C_ { (/) } -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ )
53	52	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ )
54		inrresf1 6940	. . . . . . . . 9 |- (inr |` ℕ∞ ) :ℕ∞ -1-1-> ( z ⊔ ℕ∞ )
55		vex 2684	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
56		djuex 6921	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. _V /\ ℕ∞ e. _V ) -> ( z ⊔ ℕ∞ ) e. _V )
57	55, 2, 56	mp2an 422	. . . . . . . . . 10 |- ( z ⊔ ℕ∞ ) e. _V
58	57	f1dom 6647	. . . . . . . . 9 |- ( (inr |` ℕ∞ ) :ℕ∞ -1-1-> ( z ⊔ ℕ∞ ) -> ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) )
59	54, 58	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ )
60	53, 59	jctir 311	. . . . . . 7 |- ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) -> ( ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ /\ ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) )
61		breq12 3929	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( z ⊔ ℕ∞ ) /\ y = ℕ∞ ) -> ( x ~<_ y <-> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ ) )
62		breq12 3929	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y = ℕ∞ /\ x = ( z ⊔ ℕ∞ ) ) -> ( y ~<_ x <-> ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) )
63	62	ancoms 266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( z ⊔ ℕ∞ ) /\ y = ℕ∞ ) -> ( y ~<_ x <-> ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) )
64	61, 63	anbi12d 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( z ⊔ ℕ∞ ) /\ y = ℕ∞ ) -> ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) <-> ( ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ /\ ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) ) )
65		breq12 3929	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( z ⊔ ℕ∞ ) /\ y = ℕ∞ ) -> ( x ~~ y <-> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~~ ℕ∞ ) )
66	64, 65	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( z ⊔ ℕ∞ ) /\ y = ℕ∞ ) -> ( ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) <-> ( ( ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ /\ ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~~ ℕ∞ ) ) )
67	66	spc2gv 2771	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z ⊔ ℕ∞ ) e. _V /\ ℕ∞ e. _V ) -> ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> ( ( ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ /\ ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~~ ℕ∞ ) ) )
68	57, 2, 67	mp2an 422	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> ( ( ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ /\ ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~~ ℕ∞ ) )
69	1, 60, 68	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~~ ℕ∞ )
70		bren 6634	. . . . . 6 |- ( ( z ⊔ ℕ∞ ) ~~ ℕ∞ <-> E. f f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ )
71	69, 70	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) -> E. f f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ )
72		nninfomni 13204	. . . . . . . . 9 |- ℕ∞ e. Omni
73	72	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> ℕ∞ e. Omni )
74		f1ocnv 5373	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ -> `' f :ℕ∞ -1-1-onto-> ( z ⊔ ℕ∞ ) )
75		f1ofo 5367	. . . . . . . . . 10 |- ( `' f :ℕ∞ -1-1-onto-> ( z ⊔ ℕ∞ ) -> `' f :ℕ∞ -onto-> ( z ⊔ ℕ∞ ) )
76	74, 75	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ -> `' f :ℕ∞ -onto-> ( z ⊔ ℕ∞ ) )
77	76	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> `' f :ℕ∞ -onto-> ( z ⊔ ℕ∞ ) )
78	73, 77	fodjuomni 7014	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> ( E. w w e. z \/ z = (/) ) )
79		sssnm 3676	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w w e. z -> ( z C_ { (/) } <-> z = { (/) } ) )
80	79	biimpcd 158	. . . . . . . . 9 |- ( z C_ { (/) } -> ( E. w w e. z -> z = { (/) } ) )
81	80	ad2antlr 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> ( E. w w e. z -> z = { (/) } ) )
82	81	orim1d 776	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> ( ( E. w w e. z \/ z = (/) ) -> ( z = { (/) } \/ z = (/) ) ) )
83	78, 82	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> ( z = { (/) } \/ z = (/) ) )
84	83	orcomd 718	. . . . 5 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) )
85	71, 84	exlimddv 1870	. . . 4 |- ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) )
86	85	ex 114	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> ( z C_ { (/) } -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) ) )
87	86	alrimiv 1846	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> A. z ( z C_ { (/) } -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) ) )
88		exmid01 4116	. 2 |- (EXMID <-> A. z ( z C_ { (/) } -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) ) )
89	87, 88	sylibr 133	1 |- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> EXMID )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   A.wal 1329   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   =/= wne 2306   A.wral 2414   E.wrex 2415   _Vcvv 2681   i^i cin 3065   C_ wss 3066   (/)c0 3358   ifcif 3469   {csn 3522   U.cuni 3731   class class class wbr 3924   |-> cmpt 3984  EXMIDwem 4113   omcom 4499   X. cxp 4532   `'ccnv 4533   dom cdm 4534   ran crn 4535   |` cres 4536   Fun wfun 5112   -->wf 5114   -1-1->wf1 5115   -onto->wfo 5116   -1-1-onto->wf1o 5117   ` cfv 5118   1oc1o 6299   ~~ cen 6625   ~<_ cdom 6626   ⊔ cdju 6915  inrcinr 6924  casecdjucase 6961  Omnicomni 6997  ℕ_∞xnninf 6998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-exmid 4114  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-1o 6306  df-2o 6307  df-map 6537  df-en 6628  df-dom 6629  df-dju 6916  df-inl 6925  df-inr 6926  df-case 6962  df-omni 6999  df-nninf 7000

This theorem is referenced by:  exmidsbthr  13207