Theorem exmidsbthrlem 16349

Description: Lemma for exmidsbthr 16350. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
exmidsbthrlem.s	|- S = ( p e. ℕ∞ |-> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
exmidsbthrlem	|- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> EXMID )

Distinct variable groups:   S, i   i, p   x, y

Allowed substitution hints:   S( x, y, p)

Proof of Theorem exmidsbthrlem

Dummy variables a b k z f u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) -> A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) )
2		nninfex 7284	. . . . . . . . . 10 |- ℕ∞ e. _V
3		fconstmpt 4765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( om X. { (/) } ) = ( i e. om |-> (/) )
4		0nninf 16329	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( om X. { (/) } ) e. ℕ∞
5	3, 4	eqeltrri 2303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. om |-> (/) ) e. ℕ∞
6	5	fconst6 5524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) : z -->ℕ∞
7	6	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ { (/) } -> ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) : z -->ℕ∞ )
8		ssel 3218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z C_ { (/) } -> ( u e. z -> u e. { (/) } ) )
9		elsni 3684	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. { (/) } -> u = (/) )
10	8, 9	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z C_ { (/) } -> ( u e. z -> u = (/) ) )
11		ssel 3218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z C_ { (/) } -> ( v e. z -> v e. { (/) } ) )
12		elsni 3684	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. { (/) } -> v = (/) )
13	11, 12	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z C_ { (/) } -> ( v e. z -> v = (/) ) )
14	10, 13	anim12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z C_ { (/) } -> ( ( u e. z /\ v e. z ) -> ( u = (/) /\ v = (/) ) ) )
15		eqtr3 2249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u = (/) /\ v = (/) ) -> u = v )
16	14, 15	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z C_ { (/) } -> ( ( u e. z /\ v e. z ) -> u = v ) )
17	16	imp 124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z C_ { (/) } /\ ( u e. z /\ v e. z ) ) -> u = v )
18	17	a1d 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z C_ { (/) } /\ ( u e. z /\ v e. z ) ) -> ( ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) ` u ) = ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) ` v ) -> u = v ) )
19	18	ralrimivva 2612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ { (/) } -> A. u e. z A. v e. z ( ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) ` u ) = ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) ` v ) -> u = v ) )
20		dff13 5891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) : z -1-1->ℕ∞ <-> ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) : z -->ℕ∞ /\ A. u e. z A. v e. z ( ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) ` u ) = ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) ` v ) -> u = v ) ) )
21	7, 19, 20	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ { (/) } -> ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) : z -1-1->ℕ∞ )
22		exmidsbthrlem.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- S = ( p e. ℕ∞ |-> ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , ( p ` U. i ) ) ) )
23	22	peano4nninf 16331	. . . . . . . . . . . 12 |- S :ℕ∞ -1-1->ℕ∞
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ { (/) } -> S :ℕ∞ -1-1->ℕ∞ )
25		disj 3540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) i^i ran S ) = (/) <-> A. a e. ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) -. a e. ran S )
26	22	peano3nninf 16332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b e. ℕ∞ -> ( S ` b ) =/= ( k e. om |-> (/) ) )
27		eqidd 2230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = i -> (/) = (/) )
28	27	cbvmptv 4179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. om |-> (/) ) = ( i e. om |-> (/) )
29	28	neeq2i 2416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S ` b ) =/= ( k e. om |-> (/) ) <-> ( S ` b ) =/= ( i e. om |-> (/) ) )
30	26, 29	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b e. ℕ∞ -> ( S ` b ) =/= ( i e. om |-> (/) ) )
31	30	neneqd 2421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b e. ℕ∞ -> -. ( S ` b ) = ( i e. om |-> (/) ) )
32	31	nrex 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. E. b e. ℕ∞ ( S ` b ) = ( i e. om |-> (/) )
33		f1dm 5535	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S :ℕ∞ -1-1->ℕ∞ -> dom S = ℕ∞ )
34	23, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- dom S = ℕ∞
35		eqcom 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. om |-> (/) ) = ( S ` b ) <-> ( S ` b ) = ( i e. om |-> (/) ) )
36	34, 35	rexeqbii 2543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. b e. dom S ( i e. om |-> (/) ) = ( S ` b ) <-> E. b e. ℕ∞ ( S ` b ) = ( i e. om |-> (/) ) )
37	32, 36	mtbir 675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. E. b e. dom S ( i e. om |-> (/) ) = ( S ` b )
38	22	funmpt2 5356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- Fun S
39		elrnrexdm 5773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Fun S -> ( ( i e. om |-> (/) ) e. ran S -> E. b e. dom S ( i e. om |-> (/) ) = ( S ` b ) ) )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. om |-> (/) ) e. ran S -> E. b e. dom S ( i e. om |-> (/) ) = ( S ` b ) )
41	37, 40	mto 666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. ( i e. om |-> (/) ) e. ran S
42		rnxpss 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) C_ { ( i e. om |-> (/) ) }
43	42	sseli 3220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) -> a e. { ( i e. om |-> (/) ) } )
44		elsni 3684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. { ( i e. om |-> (/) ) } -> a = ( i e. om |-> (/) ) )
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) -> a = ( i e. om |-> (/) ) )
46	45	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) -> ( a e. ran S <-> ( i e. om |-> (/) ) e. ran S ) )
47	41, 46	mtbiri 679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) -> -. a e. ran S )
48	25, 47	mprgbir 2588	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) i^i ran S ) = (/)
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ { (/) } -> ( ran ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) i^i ran S ) = (/) )
50	21, 24, 49	casef1 7253	. . . . . . . . . 10 |- ( z C_ { (/) } -> case ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) , S ) : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1->ℕ∞ )
51		f1domg 6907	. . . . . . . . . 10 |- (ℕ∞ e. _V -> (case ( ( z X. { ( i e. om |-> (/) ) } ) , S ) : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1->ℕ∞ -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ ) )
52	2, 50, 51	mpsyl 65	. . . . . . . . 9 |- ( z C_ { (/) } -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ )
53	52	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ )
54		inrresf1 7225	. . . . . . . . 9 |- (inr |` ℕ∞ ) :ℕ∞ -1-1-> ( z ⊔ ℕ∞ )
55		vex 2802	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
56		djuex 7206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. _V /\ ℕ∞ e. _V ) -> ( z ⊔ ℕ∞ ) e. _V )
57	55, 2, 56	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 |- ( z ⊔ ℕ∞ ) e. _V
58	57	f1dom 6909	. . . . . . . . 9 |- ( (inr |` ℕ∞ ) :ℕ∞ -1-1-> ( z ⊔ ℕ∞ ) -> ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) )
59	54, 58	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ )
60	53, 59	jctir 313	. . . . . . 7 |- ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) -> ( ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ /\ ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) )
61		breq12 4087	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( z ⊔ ℕ∞ ) /\ y = ℕ∞ ) -> ( x ~<_ y <-> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ ) )
62		breq12 4087	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y = ℕ∞ /\ x = ( z ⊔ ℕ∞ ) ) -> ( y ~<_ x <-> ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) )
63	62	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( z ⊔ ℕ∞ ) /\ y = ℕ∞ ) -> ( y ~<_ x <-> ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) )
64	61, 63	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( z ⊔ ℕ∞ ) /\ y = ℕ∞ ) -> ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) <-> ( ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ /\ ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) ) )
65		breq12 4087	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( z ⊔ ℕ∞ ) /\ y = ℕ∞ ) -> ( x ~~ y <-> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~~ ℕ∞ ) )
66	64, 65	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( z ⊔ ℕ∞ ) /\ y = ℕ∞ ) -> ( ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) <-> ( ( ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ /\ ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~~ ℕ∞ ) ) )
67	66	spc2gv 2894	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z ⊔ ℕ∞ ) e. _V /\ ℕ∞ e. _V ) -> ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> ( ( ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ /\ ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~~ ℕ∞ ) ) )
68	57, 2, 67	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> ( ( ( z ⊔ ℕ∞ ) ~<_ ℕ∞ /\ ℕ∞ ~<_ ( z ⊔ ℕ∞ ) ) -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~~ ℕ∞ ) )
69	1, 60, 68	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) -> ( z ⊔ ℕ∞ ) ~~ ℕ∞ )
70		bren 6893	. . . . . 6 |- ( ( z ⊔ ℕ∞ ) ~~ ℕ∞ <-> E. f f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ )
71	69, 70	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) -> E. f f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ )
72		nninfomni 16344	. . . . . . . . 9 |- ℕ∞ e. Omni
73	72	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> ℕ∞ e. Omni )
74		f1ocnv 5584	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ -> `' f :ℕ∞ -1-1-onto-> ( z ⊔ ℕ∞ ) )
75		f1ofo 5578	. . . . . . . . . 10 |- ( `' f :ℕ∞ -1-1-onto-> ( z ⊔ ℕ∞ ) -> `' f :ℕ∞ -onto-> ( z ⊔ ℕ∞ ) )
76	74, 75	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ -> `' f :ℕ∞ -onto-> ( z ⊔ ℕ∞ ) )
77	76	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> `' f :ℕ∞ -onto-> ( z ⊔ ℕ∞ ) )
78	73, 77	fodjuomni 7312	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> ( E. w w e. z \/ z = (/) ) )
79		sssnm 3831	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w w e. z -> ( z C_ { (/) } <-> z = { (/) } ) )
80	79	biimpcd 159	. . . . . . . . 9 |- ( z C_ { (/) } -> ( E. w w e. z -> z = { (/) } ) )
81	80	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> ( E. w w e. z -> z = { (/) } ) )
82	81	orim1d 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> ( ( E. w w e. z \/ z = (/) ) -> ( z = { (/) } \/ z = (/) ) ) )
83	78, 82	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> ( z = { (/) } \/ z = (/) ) )
84	83	orcomd 734	. . . . 5 |- ( ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) /\ f : ( z ⊔ ℕ∞ ) -1-1-onto->ℕ∞ ) -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) )
85	71, 84	exlimddv 1945	. . . 4 |- ( ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) /\ z C_ { (/) } ) -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) )
86	85	ex 115	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> ( z C_ { (/) } -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) ) )
87	86	alrimiv 1920	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> A. z ( z C_ { (/) } -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) ) )
88		exmid01 4281	. 2 |- (EXMID <-> A. z ( z C_ { (/) } -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) ) )
89	87, 88	sylibr 134	1 |- ( A. x A. y ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ x ) -> x ~~ y ) -> EXMID )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   =/= wne 2400   A.wral 2508   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   i^i cin 3196   C_ wss 3197   (/)c0 3491   ifcif 3602   {csn 3666   U.cuni 3887   class class class wbr 4082   |-> cmpt 4144  EXMIDwem 4277   omcom 4681   X. cxp 4716   `'ccnv 4717   dom cdm 4718   ran crn 4719   |` cres 4720   Fun wfun 5311   -->wf 5313   -1-1->wf1 5314   -onto->wfo 5315   -1-1-onto->wf1o 5316   ` cfv 5317   1oc1o 6553   ~~ cen 6883   ~<_ cdom 6884   ⊔ cdju 7200  inrcinr 7209  casecdjucase 7246  ℕ_∞xnninf 7282  Omnicomni 7297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-exmid 4278  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-1o 6560  df-2o 6561  df-map 6795  df-en 6886  df-dom 6887  df-dju 7201  df-inl 7210  df-inr 7211  df-case 7247  df-nninf 7283  df-omni 7298

This theorem is referenced by:  exmidsbthr  16350