Theorem casef1 7028

Description: The "case" construction of two injective functions with disjoint ranges is an injective function. (Contributed by BJ, 10-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
casef1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→𝑋)
casef1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵–1-1→𝑋)
casef1.disj	⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∩ ran 𝐺) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
casef1	⊢ (𝜑 → case(𝐹, 𝐺):(𝐴 ⊔ 𝐵)–1-1→𝑋)

Proof of Theorem casef1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		casef1.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→𝑋)
2		f1f 5374	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝑋 → 𝐹:𝐴⟶𝑋)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑋)
4		casef1.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵–1-1→𝑋)
5		f1f 5374	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐵–1-1→𝑋 → 𝐺:𝐵⟶𝑋)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝑋)
7	3, 6	casef 7026	. 2 ⊢ (𝜑 → case(𝐹, 𝐺):(𝐴 ⊔ 𝐵)⟶𝑋)
8		df-f1 5174	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝑋 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝑋 ∧ Fun ◡𝐹))
9	8	simprbi 273	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝑋 → Fun ◡𝐹)
10	1, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐹)
11		df-f1 5174	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐵–1-1→𝑋 ↔ (𝐺:𝐵⟶𝑋 ∧ Fun ◡𝐺))
12	11	simprbi 273	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐵–1-1→𝑋 → Fun ◡𝐺)
13	4, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐺)
14		casef1.disj	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∩ ran 𝐺) = ∅)
15	10, 13, 14	caseinj 7027	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡case(𝐹, 𝐺))
16		df-f1 5174	. 2 ⊢ (case(𝐹, 𝐺):(𝐴 ⊔ 𝐵)–1-1→𝑋 ↔ (case(𝐹, 𝐺):(𝐴 ⊔ 𝐵)⟶𝑋 ∧ Fun ◡case(𝐹, 𝐺)))
17	7, 15, 16	sylanbrc 414	1 ⊢ (𝜑 → case(𝐹, 𝐺):(𝐴 ⊔ 𝐵)–1-1→𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1335   ∩ cin 3101  ∅c0 3394  ^◡ccnv 4584  ran crn 4586  Fun wfun 5163  ⟶wf 5165  –1-1→wf1 5166   ⊔ cdju 6975  casecdjucase 7021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-1o 6360  df-dju 6976  df-inl 6985  df-inr 6986  df-case 7022

This theorem is referenced by:  djudom  7031  exmidsbthrlem  13564