Theorem casef1 6983

Description: The "case" construction of two injective functions with disjoint ranges is an injective function. (Contributed by BJ, 10-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
casef1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→𝑋)
casef1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵–1-1→𝑋)
casef1.disj	⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∩ ran 𝐺) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
casef1	⊢ (𝜑 → case(𝐹, 𝐺):(𝐴 ⊔ 𝐵)–1-1→𝑋)

Proof of Theorem casef1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		casef1.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→𝑋)
2		f1f 5336	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝑋 → 𝐹:𝐴⟶𝑋)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑋)
4		casef1.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵–1-1→𝑋)
5		f1f 5336	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐵–1-1→𝑋 → 𝐺:𝐵⟶𝑋)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝑋)
7	3, 6	casef 6981	. 2 ⊢ (𝜑 → case(𝐹, 𝐺):(𝐴 ⊔ 𝐵)⟶𝑋)
8		df-f1 5136	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝑋 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝑋 ∧ Fun ◡𝐹))
9	8	simprbi 273	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝑋 → Fun ◡𝐹)
10	1, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐹)
11		df-f1 5136	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐵–1-1→𝑋 ↔ (𝐺:𝐵⟶𝑋 ∧ Fun ◡𝐺))
12	11	simprbi 273	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐵–1-1→𝑋 → Fun ◡𝐺)
13	4, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐺)
14		casef1.disj	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∩ ran 𝐺) = ∅)
15	10, 13, 14	caseinj 6982	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡case(𝐹, 𝐺))
16		df-f1 5136	. 2 ⊢ (case(𝐹, 𝐺):(𝐴 ⊔ 𝐵)–1-1→𝑋 ↔ (case(𝐹, 𝐺):(𝐴 ⊔ 𝐵)⟶𝑋 ∧ Fun ◡case(𝐹, 𝐺)))
17	7, 15, 16	sylanbrc 414	1 ⊢ (𝜑 → case(𝐹, 𝐺):(𝐴 ⊔ 𝐵)–1-1→𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1332   ∩ cin 3075  ∅c0 3368  ^◡ccnv 4546  ran crn 4548  Fun wfun 5125  ⟶wf 5127  –1-1→wf1 5128   ⊔ cdju 6930  casecdjucase 6976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-1o 6321  df-dju 6931  df-inl 6940  df-inr 6941  df-case 6977

This theorem is referenced by:  djudom  6986  exmidsbthrlem  13392