Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  casef1 GIF version

Theorem casef1 7028
 Description: The "case" construction of two injective functions with disjoint ranges is an injective function. (Contributed by BJ, 10-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
casef1.f (𝜑𝐹:𝐴1-1𝑋)
casef1.g (𝜑𝐺:𝐵1-1𝑋)
casef1.disj (𝜑 → (ran 𝐹 ∩ ran 𝐺) = ∅)
Assertion
Ref Expression
casef1 (𝜑 → case(𝐹, 𝐺):(𝐴𝐵)–1-1𝑋)

Proof of Theorem casef1
StepHypRef Expression
1 casef1.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴1-1𝑋)
2 f1f 5374 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝑋𝐹:𝐴𝑋)
31, 2syl 14 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝑋)
4 casef1.g . . . 4 (𝜑𝐺:𝐵1-1𝑋)
5 f1f 5374 . . . 4 (𝐺:𝐵1-1𝑋𝐺:𝐵𝑋)
64, 5syl 14 . . 3 (𝜑𝐺:𝐵𝑋)
73, 6casef 7026 . 2 (𝜑 → case(𝐹, 𝐺):(𝐴𝐵)⟶𝑋)
8 df-f1 5174 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝑋 ↔ (𝐹:𝐴𝑋 ∧ Fun 𝐹))
98simprbi 273 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝑋 → Fun 𝐹)
101, 9syl 14 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐹)
11 df-f1 5174 . . . . 5 (𝐺:𝐵1-1𝑋 ↔ (𝐺:𝐵𝑋 ∧ Fun 𝐺))
1211simprbi 273 . . . 4 (𝐺:𝐵1-1𝑋 → Fun 𝐺)
134, 12syl 14 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐺)
14 casef1.disj . . 3 (𝜑 → (ran 𝐹 ∩ ran 𝐺) = ∅)
1510, 13, 14caseinj 7027 . 2 (𝜑 → Fun case(𝐹, 𝐺))
16 df-f1 5174 . 2 (case(𝐹, 𝐺):(𝐴𝐵)–1-1𝑋 ↔ (case(𝐹, 𝐺):(𝐴𝐵)⟶𝑋 ∧ Fun case(𝐹, 𝐺)))
177, 15, 16sylanbrc 414 1 (𝜑 → case(𝐹, 𝐺):(𝐴𝐵)–1-1𝑋)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1335   ∩ cin 3101  ∅c0 3394  ◡ccnv 4584  ran crn 4586  Fun wfun 5163  ⟶wf 5165  –1-1→wf1 5166   ⊔ cdju 6975  casecdjucase 7021 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-1o 6360  df-dju 6976  df-inl 6985  df-inr 6986  df-case 7022 This theorem is referenced by:  djudom  7031  exmidsbthrlem  13564
 Copyright terms: Public domain W3C validator