Theorem casef1 7151

Description: The "case" construction of two injective functions with disjoint ranges is an injective function. (Contributed by BJ, 10-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
casef1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→𝑋)
casef1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵–1-1→𝑋)
casef1.disj	⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∩ ran 𝐺) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
casef1	⊢ (𝜑 → case(𝐹, 𝐺):(𝐴 ⊔ 𝐵)–1-1→𝑋)

Proof of Theorem casef1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		casef1.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→𝑋)
2		f1f 5460	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝑋 → 𝐹:𝐴⟶𝑋)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑋)
4		casef1.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵–1-1→𝑋)
5		f1f 5460	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐵–1-1→𝑋 → 𝐺:𝐵⟶𝑋)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝑋)
7	3, 6	casef 7149	. 2 ⊢ (𝜑 → case(𝐹, 𝐺):(𝐴 ⊔ 𝐵)⟶𝑋)
8		df-f1 5260	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝑋 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝑋 ∧ Fun ◡𝐹))
9	8	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝑋 → Fun ◡𝐹)
10	1, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐹)
11		df-f1 5260	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐵–1-1→𝑋 ↔ (𝐺:𝐵⟶𝑋 ∧ Fun ◡𝐺))
12	11	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐵–1-1→𝑋 → Fun ◡𝐺)
13	4, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐺)
14		casef1.disj	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∩ ran 𝐺) = ∅)
15	10, 13, 14	caseinj 7150	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡case(𝐹, 𝐺))
16		df-f1 5260	. 2 ⊢ (case(𝐹, 𝐺):(𝐴 ⊔ 𝐵)–1-1→𝑋 ↔ (case(𝐹, 𝐺):(𝐴 ⊔ 𝐵)⟶𝑋 ∧ Fun ◡case(𝐹, 𝐺)))
17	7, 15, 16	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → case(𝐹, 𝐺):(𝐴 ⊔ 𝐵)–1-1→𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∩ cin 3153  ∅c0 3447  ^◡ccnv 4659  ran crn 4661  Fun wfun 5249  ⟶wf 5251  –1-1→wf1 5252   ⊔ cdju 7098  casecdjucase 7144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-1o 6471  df-dju 7099  df-inl 7108  df-inr 7109  df-case 7145

This theorem is referenced by:  djudom  7154  exmidsbthrlem  15582