Theorem casef1 7253

Description: The "case" construction of two injective functions with disjoint ranges is an injective function. (Contributed by BJ, 10-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
casef1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→𝑋)
casef1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵–1-1→𝑋)
casef1.disj	⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∩ ran 𝐺) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
casef1	⊢ (𝜑 → case(𝐹, 𝐺):(𝐴 ⊔ 𝐵)–1-1→𝑋)

Proof of Theorem casef1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		casef1.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→𝑋)
2		f1f 5530	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝑋 → 𝐹:𝐴⟶𝑋)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑋)
4		casef1.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵–1-1→𝑋)
5		f1f 5530	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐵–1-1→𝑋 → 𝐺:𝐵⟶𝑋)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝑋)
7	3, 6	casef 7251	. 2 ⊢ (𝜑 → case(𝐹, 𝐺):(𝐴 ⊔ 𝐵)⟶𝑋)
8		df-f1 5322	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝑋 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝑋 ∧ Fun ◡𝐹))
9	8	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝑋 → Fun ◡𝐹)
10	1, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐹)
11		df-f1 5322	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐵–1-1→𝑋 ↔ (𝐺:𝐵⟶𝑋 ∧ Fun ◡𝐺))
12	11	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐵–1-1→𝑋 → Fun ◡𝐺)
13	4, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐺)
14		casef1.disj	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∩ ran 𝐺) = ∅)
15	10, 13, 14	caseinj 7252	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡case(𝐹, 𝐺))
16		df-f1 5322	. 2 ⊢ (case(𝐹, 𝐺):(𝐴 ⊔ 𝐵)–1-1→𝑋 ↔ (case(𝐹, 𝐺):(𝐴 ⊔ 𝐵)⟶𝑋 ∧ Fun ◡case(𝐹, 𝐺)))
17	7, 15, 16	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → case(𝐹, 𝐺):(𝐴 ⊔ 𝐵)–1-1→𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∩ cin 3196  ∅c0 3491  ^◡ccnv 4717  ran crn 4719  Fun wfun 5311  ⟶wf 5313  –1-1→wf1 5314   ⊔ cdju 7200  casecdjucase 7246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-1o 6560  df-dju 7201  df-inl 7210  df-inr 7211  df-case 7247

This theorem is referenced by:  djudom  7256  exmidsbthrlem  16349