Theorem casef1 7381

Description: The "case" construction of two injective functions with disjoint ranges is an injective function. (Contributed by BJ, 10-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
casef1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→𝑋)
casef1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵–1-1→𝑋)
casef1.disj	⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∩ ran 𝐺) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
casef1	⊢ (𝜑 → case(𝐹, 𝐺):(𝐴 ⊔ 𝐵)–1-1→𝑋)

Proof of Theorem casef1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		casef1.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→𝑋)
2		f1f 5573	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝑋 → 𝐹:𝐴⟶𝑋)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑋)
4		casef1.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵–1-1→𝑋)
5		f1f 5573	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐵–1-1→𝑋 → 𝐺:𝐵⟶𝑋)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝑋)
7	3, 6	casef 7379	. 2 ⊢ (𝜑 → case(𝐹, 𝐺):(𝐴 ⊔ 𝐵)⟶𝑋)
8		df-f1 5357	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝑋 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝑋 ∧ Fun ◡𝐹))
9	8	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝑋 → Fun ◡𝐹)
10	1, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐹)
11		df-f1 5357	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐵–1-1→𝑋 ↔ (𝐺:𝐵⟶𝑋 ∧ Fun ◡𝐺))
12	11	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐵–1-1→𝑋 → Fun ◡𝐺)
13	4, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐺)
14		casef1.disj	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∩ ran 𝐺) = ∅)
15	10, 13, 14	caseinj 7380	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡case(𝐹, 𝐺))
16		df-f1 5357	. 2 ⊢ (case(𝐹, 𝐺):(𝐴 ⊔ 𝐵)–1-1→𝑋 ↔ (case(𝐹, 𝐺):(𝐴 ⊔ 𝐵)⟶𝑋 ∧ Fun ◡case(𝐹, 𝐺)))
17	7, 15, 16	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → case(𝐹, 𝐺):(𝐴 ⊔ 𝐵)–1-1→𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∩ cin 3210  ∅c0 3508  ^◡ccnv 4748  ran crn 4750  Fun wfun 5346  ⟶wf 5348  –1-1→wf1 5349   ⊔ cdju 7328  casecdjucase 7374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-1o 6647  df-dju 7329  df-inl 7338  df-inr 7339  df-case 7375

This theorem is referenced by:  djudom  7384  exmidsbthrlem  16802