Theorem csbwrdg 11317

Description: Class substitution for the symbols of a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
csbwrdg	|- ( S e. V -> [_ S / x ]_Word x = Word S )

Distinct variable groups:   x, S   x, V

Proof of Theorem csbwrdg

Dummy variables l w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-word 11288	. . 3 |- Word x = { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x }
2	1	csbeq2i 3174	. 2 |- [_ S / x ]_Word x = [_ S / x ]_ { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x }
3		sbcrex 3131	. . . . 5 |- ( [. S / x ]. E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x <-> E. l e. NN0 [. S / x ]. w : ( 0..^ l ) --> x )
4		sbcfg 5530	. . . . . . 7 |- ( S e. V -> ( [. S / x ]. w : ( 0..^ l ) --> x <-> [_ S / x ]_ w : [_ S / x ]_ ( 0..^ l ) --> [_ S / x ]_ x ) )
5		csbconstg 3161	. . . . . . . 8 |- ( S e. V -> [_ S / x ]_ w = w )
6		csbconstg 3161	. . . . . . . 8 |- ( S e. V -> [_ S / x ]_ ( 0..^ l ) = ( 0..^ l ) )
7		csbvarg 3175	. . . . . . . 8 |- ( S e. V -> [_ S / x ]_ x = S )
8	5, 6, 7	feq123d 5522	. . . . . . 7 |- ( S e. V -> ( [_ S / x ]_ w : [_ S / x ]_ ( 0..^ l ) --> [_ S / x ]_ x <-> w : ( 0..^ l ) --> S ) )
9	4, 8	bitrd 188	. . . . . 6 |- ( S e. V -> ( [. S / x ]. w : ( 0..^ l ) --> x <-> w : ( 0..^ l ) --> S ) )
10	9	rexbidv 2551	. . . . 5 |- ( S e. V -> ( E. l e. NN0 [. S / x ]. w : ( 0..^ l ) --> x <-> E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S ) )
11	3, 10	bitrid 192	. . . 4 |- ( S e. V -> ( [. S / x ]. E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x <-> E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S ) )
12	11	abbidv 2358	. . 3 |- ( S e. V -> { w | [. S / x ]. E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x } = { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S } )
13		csbabg 3209	. . 3 |- ( S e. V -> [_ S / x ]_ { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x } = { w | [. S / x ]. E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x } )
14		df-word 11288	. . . 4 |- Word S = { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S }
15	14	a1i 9	. . 3 |- ( S e. V -> Word S = { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S } )
16	12, 13, 15	3eqtr4d 2281	. 2 |- ( S e. V -> [_ S / x ]_ { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x } = Word S )
17	2, 16	eqtrid 2283	1 |- ( S e. V -> [_ S / x ]_Word x = Word S )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   E.wrex 2529   [.wsbc 3051   [_csb 3147   -->wf 5371  (class class class)co 6079   0cc0 8173   NN0cn0 9546  ..^cfzo 10532  Word cword 11287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-word 11288

This theorem is referenced by:  elovmpowrd  11329