Theorem csbwrdg 11190

Description: Class substitution for the symbols of a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
csbwrdg	|- ( S e. V -> [_ S / x ]_Word x = Word S )

Distinct variable groups:   x, S   x, V

Proof of Theorem csbwrdg

Dummy variables l w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-word 11161	. . 3 |- Word x = { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x }
2	1	csbeq2i 3155	. 2 |- [_ S / x ]_Word x = [_ S / x ]_ { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x }
3		sbcrex 3112	. . . . 5 |- ( [. S / x ]. E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x <-> E. l e. NN0 [. S / x ]. w : ( 0..^ l ) --> x )
4		sbcfg 5488	. . . . . . 7 |- ( S e. V -> ( [. S / x ]. w : ( 0..^ l ) --> x <-> [_ S / x ]_ w : [_ S / x ]_ ( 0..^ l ) --> [_ S / x ]_ x ) )
5		csbconstg 3142	. . . . . . . 8 |- ( S e. V -> [_ S / x ]_ w = w )
6		csbconstg 3142	. . . . . . . 8 |- ( S e. V -> [_ S / x ]_ ( 0..^ l ) = ( 0..^ l ) )
7		csbvarg 3156	. . . . . . . 8 |- ( S e. V -> [_ S / x ]_ x = S )
8	5, 6, 7	feq123d 5480	. . . . . . 7 |- ( S e. V -> ( [_ S / x ]_ w : [_ S / x ]_ ( 0..^ l ) --> [_ S / x ]_ x <-> w : ( 0..^ l ) --> S ) )
9	4, 8	bitrd 188	. . . . . 6 |- ( S e. V -> ( [. S / x ]. w : ( 0..^ l ) --> x <-> w : ( 0..^ l ) --> S ) )
10	9	rexbidv 2534	. . . . 5 |- ( S e. V -> ( E. l e. NN0 [. S / x ]. w : ( 0..^ l ) --> x <-> E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S ) )
11	3, 10	bitrid 192	. . . 4 |- ( S e. V -> ( [. S / x ]. E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x <-> E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S ) )
12	11	abbidv 2350	. . 3 |- ( S e. V -> { w | [. S / x ]. E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x } = { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S } )
13		csbabg 3190	. . 3 |- ( S e. V -> [_ S / x ]_ { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x } = { w | [. S / x ]. E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x } )
14		df-word 11161	. . . 4 |- Word S = { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S }
15	14	a1i 9	. . 3 |- ( S e. V -> Word S = { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S } )
16	12, 13, 15	3eqtr4d 2274	. 2 |- ( S e. V -> [_ S / x ]_ { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x } = Word S )
17	2, 16	eqtrid 2276	1 |- ( S e. V -> [_ S / x ]_Word x = Word S )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   {cab 2217   E.wrex 2512   [.wsbc 3032   [_csb 3128   -->wf 5329  (class class class)co 6028   0cc0 8075   NN0cn0 9445  ..^cfzo 10420  Word cword 11160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-word 11161

This theorem is referenced by:  elovmpowrd  11202