Theorem csbwrdg 11087

Description: Class substitution for the symbols of a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
csbwrdg	|- ( S e. V -> [_ S / x ]_Word x = Word S )

Distinct variable groups:   x, S   x, V

Proof of Theorem csbwrdg

Dummy variables l w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-word 11059	. . 3 |- Word x = { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x }
2	1	csbeq2i 3151	. 2 |- [_ S / x ]_Word x = [_ S / x ]_ { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x }
3		sbcrex 3108	. . . . 5 |- ( [. S / x ]. E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x <-> E. l e. NN0 [. S / x ]. w : ( 0..^ l ) --> x )
4		sbcfg 5468	. . . . . . 7 |- ( S e. V -> ( [. S / x ]. w : ( 0..^ l ) --> x <-> [_ S / x ]_ w : [_ S / x ]_ ( 0..^ l ) --> [_ S / x ]_ x ) )
5		csbconstg 3138	. . . . . . . 8 |- ( S e. V -> [_ S / x ]_ w = w )
6		csbconstg 3138	. . . . . . . 8 |- ( S e. V -> [_ S / x ]_ ( 0..^ l ) = ( 0..^ l ) )
7		csbvarg 3152	. . . . . . . 8 |- ( S e. V -> [_ S / x ]_ x = S )
8	5, 6, 7	feq123d 5460	. . . . . . 7 |- ( S e. V -> ( [_ S / x ]_ w : [_ S / x ]_ ( 0..^ l ) --> [_ S / x ]_ x <-> w : ( 0..^ l ) --> S ) )
9	4, 8	bitrd 188	. . . . . 6 |- ( S e. V -> ( [. S / x ]. w : ( 0..^ l ) --> x <-> w : ( 0..^ l ) --> S ) )
10	9	rexbidv 2531	. . . . 5 |- ( S e. V -> ( E. l e. NN0 [. S / x ]. w : ( 0..^ l ) --> x <-> E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S ) )
11	3, 10	bitrid 192	. . . 4 |- ( S e. V -> ( [. S / x ]. E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x <-> E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S ) )
12	11	abbidv 2347	. . 3 |- ( S e. V -> { w | [. S / x ]. E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x } = { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S } )
13		csbabg 3186	. . 3 |- ( S e. V -> [_ S / x ]_ { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x } = { w | [. S / x ]. E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x } )
14		df-word 11059	. . . 4 |- Word S = { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S }
15	14	a1i 9	. . 3 |- ( S e. V -> Word S = { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S } )
16	12, 13, 15	3eqtr4d 2272	. 2 |- ( S e. V -> [_ S / x ]_ { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x } = Word S )
17	2, 16	eqtrid 2274	1 |- ( S e. V -> [_ S / x ]_Word x = Word S )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   E.wrex 2509   [.wsbc 3028   [_csb 3124   -->wf 5310  (class class class)co 5994   0cc0 7987   NN0cn0 9357  ..^cfzo 10326  Word cword 11058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4381  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-word 11059

This theorem is referenced by:  elovmpowrd  11099