ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  csbwrdg Unicode version

Theorem csbwrdg 10933
Description: Class substitution for the symbols of a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
csbwrdg  |-  ( S  e.  V  ->  [_ S  /  x ]_Word  x  = Word  S )
Distinct variable groups:    x, S    x, V

Proof of Theorem csbwrdg
Dummy variables  l  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-word 10905 . . 3  |- Word  x  =  { w  |  E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> x }
21csbeq2i 3107 . 2  |-  [_ S  /  x ]_Word  x  =  [_ S  /  x ]_ { w  |  E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> x }
3 sbcrex 3065 . . . . 5  |-  ( [. S  /  x ]. E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> x  <->  E. l  e.  NN0  [. S  /  x ]. w : ( 0..^ l ) --> x )
4 sbcfg 5394 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  V  ->  ( [. S  /  x ]. w : ( 0..^ l ) --> x  <->  [_ S  /  x ]_ w : [_ S  /  x ]_ (
0..^ l ) --> [_ S  /  x ]_ x ) )
5 csbconstg 3094 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  V  ->  [_ S  /  x ]_ w  =  w )
6 csbconstg 3094 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  V  ->  [_ S  /  x ]_ ( 0..^ l )  =  ( 0..^ l ) )
7 csbvarg 3108 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  V  ->  [_ S  /  x ]_ x  =  S )
85, 6, 7feq123d 5386 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  V  ->  ( [_ S  /  x ]_ w : [_ S  /  x ]_ ( 0..^ l ) --> [_ S  /  x ]_ x  <->  w :
( 0..^ l ) --> S ) )
94, 8bitrd 188 . . . . . 6  |-  ( S  e.  V  ->  ( [. S  /  x ]. w : ( 0..^ l ) --> x  <->  w :
( 0..^ l ) --> S ) )
109rexbidv 2495 . . . . 5  |-  ( S  e.  V  ->  ( E. l  e.  NN0  [. S  /  x ]. w : ( 0..^ l ) --> x  <->  E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> S ) )
113, 10bitrid 192 . . . 4  |-  ( S  e.  V  ->  ( [. S  /  x ]. E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> x  <->  E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> S ) )
1211abbidv 2311 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  { w  |  [. S  /  x ]. E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> x }  =  { w  |  E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> S } )
13 csbabg 3142 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  [_ S  /  x ]_ { w  |  E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> x }  =  { w  |  [. S  /  x ]. E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> x } )
14 df-word 10905 . . . 4  |- Word  S  =  { w  |  E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> S }
1514a1i 9 . . 3  |-  ( S  e.  V  -> Word  S  =  { w  |  E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> S } )
1612, 13, 153eqtr4d 2236 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  [_ S  /  x ]_ { w  |  E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> x }  = Word  S )
172, 16eqtrid 2238 1  |-  ( S  e.  V  ->  [_ S  /  x ]_Word  x  = Word  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 2164   {cab 2179   E.wrex 2473   [.wsbc 2985   [_csb 3080   -->wf 5242  (class class class)co 5910   0cc0 7862   NN0cn0 9230  ..^cfzo 10198  Word cword 10904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4322  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-word 10905
This theorem is referenced by:  elovmpowrd  10945
  Copyright terms: Public domain W3C validator