Theorem csbwrdg 10966

Description: Class substitution for the symbols of a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
csbwrdg	|- ( S e. V -> [_ S / x ]_Word x = Word S )

Distinct variable groups:   x, S   x, V

Proof of Theorem csbwrdg

Dummy variables l w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-word 10938	. . 3 |- Word x = { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x }
2	1	csbeq2i 3111	. 2 |- [_ S / x ]_Word x = [_ S / x ]_ { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x }
3		sbcrex 3069	. . . . 5 |- ( [. S / x ]. E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x <-> E. l e. NN0 [. S / x ]. w : ( 0..^ l ) --> x )
4		sbcfg 5407	. . . . . . 7 |- ( S e. V -> ( [. S / x ]. w : ( 0..^ l ) --> x <-> [_ S / x ]_ w : [_ S / x ]_ ( 0..^ l ) --> [_ S / x ]_ x ) )
5		csbconstg 3098	. . . . . . . 8 |- ( S e. V -> [_ S / x ]_ w = w )
6		csbconstg 3098	. . . . . . . 8 |- ( S e. V -> [_ S / x ]_ ( 0..^ l ) = ( 0..^ l ) )
7		csbvarg 3112	. . . . . . . 8 |- ( S e. V -> [_ S / x ]_ x = S )
8	5, 6, 7	feq123d 5399	. . . . . . 7 |- ( S e. V -> ( [_ S / x ]_ w : [_ S / x ]_ ( 0..^ l ) --> [_ S / x ]_ x <-> w : ( 0..^ l ) --> S ) )
9	4, 8	bitrd 188	. . . . . 6 |- ( S e. V -> ( [. S / x ]. w : ( 0..^ l ) --> x <-> w : ( 0..^ l ) --> S ) )
10	9	rexbidv 2498	. . . . 5 |- ( S e. V -> ( E. l e. NN0 [. S / x ]. w : ( 0..^ l ) --> x <-> E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S ) )
11	3, 10	bitrid 192	. . . 4 |- ( S e. V -> ( [. S / x ]. E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x <-> E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S ) )
12	11	abbidv 2314	. . 3 |- ( S e. V -> { w | [. S / x ]. E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x } = { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S } )
13		csbabg 3146	. . 3 |- ( S e. V -> [_ S / x ]_ { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x } = { w | [. S / x ]. E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x } )
14		df-word 10938	. . . 4 |- Word S = { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S }
15	14	a1i 9	. . 3 |- ( S e. V -> Word S = { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> S } )
16	12, 13, 15	3eqtr4d 2239	. 2 |- ( S e. V -> [_ S / x ]_ { w | E. l e. NN0 w : ( 0..^ l ) --> x } = Word S )
17	2, 16	eqtrid 2241	1 |- ( S e. V -> [_ S / x ]_Word x = Word S )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cab 2182   E.wrex 2476   [.wsbc 2989   [_csb 3084   -->wf 5255  (class class class)co 5923   0cc0 7881   NN0cn0 9251  ..^cfzo 10219  Word cword 10937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-word 10938

This theorem is referenced by:  elovmpowrd  10978