Theorem elovmpowrd 11262

Description: Implications for the value of an operation defined by the maps-to notation with a class abstraction of words as a result having an element. Note that ph may depend on z as well as on v and y. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
elovmpowrd.o	|- O = ( v e. _V , y e. _V |-> { z e. Word v | ph } )

Assertion

Ref	Expression
elovmpowrd	|- ( Z e. ( V O Y ) -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) )

Distinct variable groups:   v, V, y, z   v, Y, y, z   z, Z

Allowed substitution hints:   ph( y, z, v)   O( y, z, v)   Z( y, v)

Proof of Theorem elovmpowrd

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elovmpowrd.o	. . . 4 |- O = ( v e. _V , y e. _V |-> { z e. Word v | ph } )
2		csbwrdg 11250	. . . . . . . 8 |- ( v e. _V -> [_ v / x ]_Word x = Word v )
3	2	eqcomd 2238	. . . . . . 7 |- ( v e. _V -> Word v = [_ v / x ]_Word x )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( v e. _V /\ y e. _V ) -> Word v = [_ v / x ]_Word x )
5	4	rabeqdv 2806	. . . . 5 |- ( ( v e. _V /\ y e. _V ) -> { z e. Word v | ph } = { z e. [_ v / x ]_Word x | ph } )
6	5	mpoeq3ia 6117	. . . 4 |- ( v e. _V , y e. _V |-> { z e. Word v | ph } ) = ( v e. _V , y e. _V |-> { z e. [_ v / x ]_Word x | ph } )
7	1, 6	eqtri 2253	. . 3 |- O = ( v e. _V , y e. _V |-> { z e. [_ v / x ]_Word x | ph } )
8		csbwrdg 11250	. . . . 5 |- ( V e. _V -> [_ V / x ]_Word x = Word V )
9		wrdexg 11231	. . . . 5 |- ( V e. _V -> Word V e. _V )
10	8, 9	eqeltrd 2309	. . . 4 |- ( V e. _V -> [_ V / x ]_Word x e. _V )
11	10	adantr 276	. . 3 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V ) -> [_ V / x ]_Word x e. _V )
12	7, 11	elovmporab1w 6254	. 2 |- ( Z e. ( V O Y ) -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. [_ V / x ]_Word x ) )
13	8	eleq2d 2302	. . . . 5 |- ( V e. _V -> ( Z e. [_ V / x ]_Word x <-> Z e. Word V ) )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V ) -> ( Z e. [_ V / x ]_Word x <-> Z e. Word V ) )
15		id 19	. . . . 5 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) )
16	15	3expia 1232	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V ) -> ( Z e. Word V -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) ) )
17	14, 16	sylbid 150	. . 3 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V ) -> ( Z e. [_ V / x ]_Word x -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) ) )
18	17	3impia 1227	. 2 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. [_ V / x ]_Word x ) -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) )
19	12, 18	syl 14	1 |- ( Z e. ( V O Y ) -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   {crab 2524   _Vcvv 2812   [_csb 3137  (class class class)co 6049   e. cmpo 6051  Word cword 11220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-er 6766  df-map 6883  df-en 6975  df-fin 6977  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-word 11221

This theorem is referenced by: (None)