Theorem elovmpowrd 11329

Description: Implications for the value of an operation defined by the maps-to notation with a class abstraction of words as a result having an element. Note that ph may depend on z as well as on v and y. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
elovmpowrd.o	|- O = ( v e. _V , y e. _V |-> { z e. Word v | ph } )

Assertion

Ref	Expression
elovmpowrd	|- ( Z e. ( V O Y ) -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) )

Distinct variable groups:   v, V, y, z   v, Y, y, z   z, Z

Allowed substitution hints:   ph( y, z, v)   O( y, z, v)   Z( y, v)

Proof of Theorem elovmpowrd

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elovmpowrd.o	. . . 4 |- O = ( v e. _V , y e. _V |-> { z e. Word v | ph } )
2		csbwrdg 11317	. . . . . . . 8 |- ( v e. _V -> [_ v / x ]_Word x = Word v )
3	2	eqcomd 2244	. . . . . . 7 |- ( v e. _V -> Word v = [_ v / x ]_Word x )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( v e. _V /\ y e. _V ) -> Word v = [_ v / x ]_Word x )
5	4	rabeqdv 2815	. . . . 5 |- ( ( v e. _V /\ y e. _V ) -> { z e. Word v | ph } = { z e. [_ v / x ]_Word x | ph } )
6	5	mpoeq3ia 6147	. . . 4 |- ( v e. _V , y e. _V |-> { z e. Word v | ph } ) = ( v e. _V , y e. _V |-> { z e. [_ v / x ]_Word x | ph } )
7	1, 6	eqtri 2259	. . 3 |- O = ( v e. _V , y e. _V |-> { z e. [_ v / x ]_Word x | ph } )
8		csbwrdg 11317	. . . . 5 |- ( V e. _V -> [_ V / x ]_Word x = Word V )
9		wrdexg 11298	. . . . 5 |- ( V e. _V -> Word V e. _V )
10	8, 9	eqeltrd 2315	. . . 4 |- ( V e. _V -> [_ V / x ]_Word x e. _V )
11	10	adantr 276	. . 3 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V ) -> [_ V / x ]_Word x e. _V )
12	7, 11	elovmporab1w 6284	. 2 |- ( Z e. ( V O Y ) -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. [_ V / x ]_Word x ) )
13	8	eleq2d 2308	. . . . 5 |- ( V e. _V -> ( Z e. [_ V / x ]_Word x <-> Z e. Word V ) )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V ) -> ( Z e. [_ V / x ]_Word x <-> Z e. Word V ) )
15		id 19	. . . . 5 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) )
16	15	3expia 1236	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V ) -> ( Z e. Word V -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) ) )
17	14, 16	sylbid 150	. . 3 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V ) -> ( Z e. [_ V / x ]_Word x -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) ) )
18	17	3impia 1231	. 2 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. [_ V / x ]_Word x ) -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) )
19	12, 18	syl 14	1 |- ( Z e. ( V O Y ) -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   [_csb 3147  (class class class)co 6079   e. cmpo 6081  Word cword 11287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-er 6801  df-map 6918  df-en 7017  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-word 11288

This theorem is referenced by: (None)