Theorem elovmpowrd 11099

Description: Implications for the value of an operation defined by the maps-to notation with a class abstraction of words as a result having an element. Note that ph may depend on z as well as on v and y. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
elovmpowrd.o	|- O = ( v e. _V , y e. _V |-> { z e. Word v | ph } )

Assertion

Ref	Expression
elovmpowrd	|- ( Z e. ( V O Y ) -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) )

Distinct variable groups:   v, V, y, z   v, Y, y, z   z, Z

Allowed substitution hints:   ph( y, z, v)   O( y, z, v)   Z( y, v)

Proof of Theorem elovmpowrd

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elovmpowrd.o	. . . 4 |- O = ( v e. _V , y e. _V |-> { z e. Word v | ph } )
2		csbwrdg 11087	. . . . . . . 8 |- ( v e. _V -> [_ v / x ]_Word x = Word v )
3	2	eqcomd 2235	. . . . . . 7 |- ( v e. _V -> Word v = [_ v / x ]_Word x )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( v e. _V /\ y e. _V ) -> Word v = [_ v / x ]_Word x )
5	4	rabeqdv 2793	. . . . 5 |- ( ( v e. _V /\ y e. _V ) -> { z e. Word v | ph } = { z e. [_ v / x ]_Word x | ph } )
6	5	mpoeq3ia 6060	. . . 4 |- ( v e. _V , y e. _V |-> { z e. Word v | ph } ) = ( v e. _V , y e. _V |-> { z e. [_ v / x ]_Word x | ph } )
7	1, 6	eqtri 2250	. . 3 |- O = ( v e. _V , y e. _V |-> { z e. [_ v / x ]_Word x | ph } )
8		csbwrdg 11087	. . . . 5 |- ( V e. _V -> [_ V / x ]_Word x = Word V )
9		wrdexg 11069	. . . . 5 |- ( V e. _V -> Word V e. _V )
10	8, 9	eqeltrd 2306	. . . 4 |- ( V e. _V -> [_ V / x ]_Word x e. _V )
11	10	adantr 276	. . 3 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V ) -> [_ V / x ]_Word x e. _V )
12	7, 11	elovmporab1w 6197	. 2 |- ( Z e. ( V O Y ) -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. [_ V / x ]_Word x ) )
13	8	eleq2d 2299	. . . . 5 |- ( V e. _V -> ( Z e. [_ V / x ]_Word x <-> Z e. Word V ) )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V ) -> ( Z e. [_ V / x ]_Word x <-> Z e. Word V ) )
15		id 19	. . . . 5 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) )
16	15	3expia 1229	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V ) -> ( Z e. Word V -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) ) )
17	14, 16	sylbid 150	. . 3 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V ) -> ( Z e. [_ V / x ]_Word x -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) ) )
18	17	3impia 1224	. 2 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. [_ V / x ]_Word x ) -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) )
19	12, 18	syl 14	1 |- ( Z e. ( V O Y ) -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   _Vcvv 2799   [_csb 3124  (class class class)co 5994   e. cmpo 5996  Word cword 11058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-1o 6552  df-er 6670  df-map 6787  df-en 6878  df-fin 6880  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-inn 9099  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-word 11059

This theorem is referenced by: (None)