Theorem elovmpowrd 10955

Description: Implications for the value of an operation defined by the maps-to notation with a class abstraction of words as a result having an element. Note that ph may depend on z as well as on v and y. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
elovmpowrd.o	|- O = ( v e. _V , y e. _V |-> { z e. Word v | ph } )

Assertion

Ref	Expression
elovmpowrd	|- ( Z e. ( V O Y ) -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) )

Distinct variable groups:   v, V, y, z   v, Y, y, z   z, Z

Allowed substitution hints:   ph( y, z, v)   O( y, z, v)   Z( y, v)

Proof of Theorem elovmpowrd

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elovmpowrd.o	. . . 4 |- O = ( v e. _V , y e. _V |-> { z e. Word v | ph } )
2		csbwrdg 10943	. . . . . . . 8 |- ( v e. _V -> [_ v / x ]_Word x = Word v )
3	2	eqcomd 2199	. . . . . . 7 |- ( v e. _V -> Word v = [_ v / x ]_Word x )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( v e. _V /\ y e. _V ) -> Word v = [_ v / x ]_Word x )
5	4	rabeqdv 2754	. . . . 5 |- ( ( v e. _V /\ y e. _V ) -> { z e. Word v | ph } = { z e. [_ v / x ]_Word x | ph } )
6	5	mpoeq3ia 5983	. . . 4 |- ( v e. _V , y e. _V |-> { z e. Word v | ph } ) = ( v e. _V , y e. _V |-> { z e. [_ v / x ]_Word x | ph } )
7	1, 6	eqtri 2214	. . 3 |- O = ( v e. _V , y e. _V |-> { z e. [_ v / x ]_Word x | ph } )
8		csbwrdg 10943	. . . . 5 |- ( V e. _V -> [_ V / x ]_Word x = Word V )
9		wrdexg 10925	. . . . 5 |- ( V e. _V -> Word V e. _V )
10	8, 9	eqeltrd 2270	. . . 4 |- ( V e. _V -> [_ V / x ]_Word x e. _V )
11	10	adantr 276	. . 3 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V ) -> [_ V / x ]_Word x e. _V )
12	7, 11	elovmporab1w 6119	. 2 |- ( Z e. ( V O Y ) -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. [_ V / x ]_Word x ) )
13	8	eleq2d 2263	. . . . 5 |- ( V e. _V -> ( Z e. [_ V / x ]_Word x <-> Z e. Word V ) )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V ) -> ( Z e. [_ V / x ]_Word x <-> Z e. Word V ) )
15		id 19	. . . . 5 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) )
16	15	3expia 1207	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V ) -> ( Z e. Word V -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) ) )
17	14, 16	sylbid 150	. . 3 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V ) -> ( Z e. [_ V / x ]_Word x -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) ) )
18	17	3impia 1202	. 2 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. [_ V / x ]_Word x ) -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) )
19	12, 18	syl 14	1 |- ( Z e. ( V O Y ) -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   {crab 2476   _Vcvv 2760   [_csb 3080  (class class class)co 5918   e. cmpo 5920  Word cword 10914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-er 6587  df-map 6704  df-en 6795  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-word 10915

This theorem is referenced by: (None)