Theorem elovmpowrd 11202

Description: Implications for the value of an operation defined by the maps-to notation with a class abstraction of words as a result having an element. Note that ph may depend on z as well as on v and y. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
elovmpowrd.o	|- O = ( v e. _V , y e. _V |-> { z e. Word v | ph } )

Assertion

Ref	Expression
elovmpowrd	|- ( Z e. ( V O Y ) -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) )

Distinct variable groups:   v, V, y, z   v, Y, y, z   z, Z

Allowed substitution hints:   ph( y, z, v)   O( y, z, v)   Z( y, v)

Proof of Theorem elovmpowrd

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elovmpowrd.o	. . . 4 |- O = ( v e. _V , y e. _V |-> { z e. Word v | ph } )
2		csbwrdg 11190	. . . . . . . 8 |- ( v e. _V -> [_ v / x ]_Word x = Word v )
3	2	eqcomd 2237	. . . . . . 7 |- ( v e. _V -> Word v = [_ v / x ]_Word x )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( v e. _V /\ y e. _V ) -> Word v = [_ v / x ]_Word x )
5	4	rabeqdv 2797	. . . . 5 |- ( ( v e. _V /\ y e. _V ) -> { z e. Word v | ph } = { z e. [_ v / x ]_Word x | ph } )
6	5	mpoeq3ia 6096	. . . 4 |- ( v e. _V , y e. _V |-> { z e. Word v | ph } ) = ( v e. _V , y e. _V |-> { z e. [_ v / x ]_Word x | ph } )
7	1, 6	eqtri 2252	. . 3 |- O = ( v e. _V , y e. _V |-> { z e. [_ v / x ]_Word x | ph } )
8		csbwrdg 11190	. . . . 5 |- ( V e. _V -> [_ V / x ]_Word x = Word V )
9		wrdexg 11171	. . . . 5 |- ( V e. _V -> Word V e. _V )
10	8, 9	eqeltrd 2308	. . . 4 |- ( V e. _V -> [_ V / x ]_Word x e. _V )
11	10	adantr 276	. . 3 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V ) -> [_ V / x ]_Word x e. _V )
12	7, 11	elovmporab1w 6233	. 2 |- ( Z e. ( V O Y ) -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. [_ V / x ]_Word x ) )
13	8	eleq2d 2301	. . . . 5 |- ( V e. _V -> ( Z e. [_ V / x ]_Word x <-> Z e. Word V ) )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V ) -> ( Z e. [_ V / x ]_Word x <-> Z e. Word V ) )
15		id 19	. . . . 5 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) )
16	15	3expia 1232	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V ) -> ( Z e. Word V -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) ) )
17	14, 16	sylbid 150	. . 3 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V ) -> ( Z e. [_ V / x ]_Word x -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) ) )
18	17	3impia 1227	. 2 |- ( ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. [_ V / x ]_Word x ) -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) )
19	12, 18	syl 14	1 |- ( Z e. ( V O Y ) -> ( V e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. Word V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   {crab 2515   _Vcvv 2803   [_csb 3128  (class class class)co 6028   e. cmpo 6030  Word cword 11160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-word 11161

This theorem is referenced by: (None)