Theorem wrdnval 11251

Description: Words of a fixed length are mappings from a fixed half-open integer interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 13-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
wrdnval	|- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> { w e. Word V | (♯ ` w ) = N } = ( V ^m ( 0..^ N ) ) )

Distinct variable groups:   w, N   w, V   w, X

Proof of Theorem wrdnval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2529	. 2 |- { w e. Word V | (♯ ` w ) = N } = { w | ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) }
2		0z 9587	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
3		nn0z 9596	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
4	3	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
5		fzofig 10793	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
6	2, 4, 5	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
7		elmapg 6894	. . . . 5 |- ( ( V e. X /\ ( 0..^ N ) e. Fin ) -> ( w e. ( V ^m ( 0..^ N ) ) <-> w : ( 0..^ N ) --> V ) )
8	6, 7	syldan 282	. . . 4 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( w e. ( V ^m ( 0..^ N ) ) <-> w : ( 0..^ N ) --> V ) )
9		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> w : ( 0..^ N ) --> V )
10		simplr 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> N e. NN0 )
11		iswrdinn0 11225	. . . . . . . 8 |- ( ( w : ( 0..^ N ) --> V /\ N e. NN0 ) -> w e. Word V )
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> w e. Word V )
13		fnfzo0hash 11198	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> (♯ ` w ) = N )
14	13	adantll 476	. . . . . . 7 |- ( ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> (♯ ` w ) = N )
15	12, 14	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) )
16	15	ex 115	. . . . 5 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( w : ( 0..^ N ) --> V -> ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) ) )
17		wrdf 11226	. . . . . . 7 |- ( w e. Word V -> w : ( 0..^ (♯ ` w ) ) --> V )
18		oveq2 6057	. . . . . . . 8 |- ( (♯ ` w ) = N -> ( 0..^ (♯ ` w ) ) = ( 0..^ N ) )
19	18	feq2d 5495	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` w ) = N -> ( w : ( 0..^ (♯ ` w ) ) --> V <-> w : ( 0..^ N ) --> V ) )
20	17, 19	syl5ibcom 155	. . . . . 6 |- ( w e. Word V -> ( (♯ ` w ) = N -> w : ( 0..^ N ) --> V ) )
21	20	imp 124	. . . . 5 |- ( ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) -> w : ( 0..^ N ) --> V )
22	16, 21	impbid1 142	. . . 4 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( w : ( 0..^ N ) --> V <-> ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) ) )
23	8, 22	bitrd 188	. . 3 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( w e. ( V ^m ( 0..^ N ) ) <-> ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) ) )
24	23	eqabdv 2363	. 2 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( V ^m ( 0..^ N ) ) = { w | ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) } )
25	1, 24	eqtr4id 2284	1 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> { w e. Word V | (♯ ` w ) = N } = ( V ^m ( 0..^ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   {cab 2218   {crab 2524   -->wf 5347   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   ^m cmap 6881   Fincfn 6974   0cc0 8126   NN0cn0 9495   ZZcz 9576  ..^cfzo 10475  ♯chash 11136  Word cword 11220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-er 6766  df-map 6883  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-ihash 11137  df-word 11221

This theorem is referenced by:  wrdmap  11252