Theorem wrdnval 10950

Description: Words of a fixed length are mappings from a fixed half-open integer interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 13-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
wrdnval	|- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> { w e. Word V | (♯ ` w ) = N } = ( V ^m ( 0..^ N ) ) )

Distinct variable groups:   w, N   w, V   w, X

Proof of Theorem wrdnval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2484	. 2 |- { w e. Word V | (♯ ` w ) = N } = { w | ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) }
2		0z 9334	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
3		nn0z 9343	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
4	3	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
5		fzofig 10509	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
6	2, 4, 5	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
7		elmapg 6720	. . . . 5 |- ( ( V e. X /\ ( 0..^ N ) e. Fin ) -> ( w e. ( V ^m ( 0..^ N ) ) <-> w : ( 0..^ N ) --> V ) )
8	6, 7	syldan 282	. . . 4 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( w e. ( V ^m ( 0..^ N ) ) <-> w : ( 0..^ N ) --> V ) )
9		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> w : ( 0..^ N ) --> V )
10		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> N e. NN0 )
11		iswrdinn0 10925	. . . . . . . 8 |- ( ( w : ( 0..^ N ) --> V /\ N e. NN0 ) -> w e. Word V )
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> w e. Word V )
13		fnfzo0hash 10912	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> (♯ ` w ) = N )
14	13	adantll 476	. . . . . . 7 |- ( ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> (♯ ` w ) = N )
15	12, 14	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) )
16	15	ex 115	. . . . 5 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( w : ( 0..^ N ) --> V -> ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) ) )
17		wrdf 10926	. . . . . . 7 |- ( w e. Word V -> w : ( 0..^ (♯ ` w ) ) --> V )
18		oveq2 5930	. . . . . . . 8 |- ( (♯ ` w ) = N -> ( 0..^ (♯ ` w ) ) = ( 0..^ N ) )
19	18	feq2d 5395	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` w ) = N -> ( w : ( 0..^ (♯ ` w ) ) --> V <-> w : ( 0..^ N ) --> V ) )
20	17, 19	syl5ibcom 155	. . . . . 6 |- ( w e. Word V -> ( (♯ ` w ) = N -> w : ( 0..^ N ) --> V ) )
21	20	imp 124	. . . . 5 |- ( ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) -> w : ( 0..^ N ) --> V )
22	16, 21	impbid1 142	. . . 4 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( w : ( 0..^ N ) --> V <-> ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) ) )
23	8, 22	bitrd 188	. . 3 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( w e. ( V ^m ( 0..^ N ) ) <-> ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) ) )
24	23	eqabdv 2325	. 2 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( V ^m ( 0..^ N ) ) = { w | ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) } )
25	1, 24	eqtr4id 2248	1 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> { w e. Word V | (♯ ` w ) = N } = ( V ^m ( 0..^ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cab 2182   {crab 2479   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   ^m cmap 6707   Fincfn 6799   0cc0 7877   NN0cn0 9246   ZZcz 9323  ..^cfzo 10214  ♯chash 10852  Word cword 10920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-addcom 7977  ax-addass 7979  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-er 6592  df-map 6709  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-inn 8988  df-n0 9247  df-z 9324  df-uz 9599  df-fz 10081  df-fzo 10215  df-ihash 10853  df-word 10921

This theorem is referenced by:  wrdmap  10951