Theorem wrdnval 10967

Description: Words of a fixed length are mappings from a fixed half-open integer interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 13-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
wrdnval	|- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> { w e. Word V | (♯ ` w ) = N } = ( V ^m ( 0..^ N ) ) )

Distinct variable groups:   w, N   w, V   w, X

Proof of Theorem wrdnval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2484	. 2 |- { w e. Word V | (♯ ` w ) = N } = { w | ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) }
2		0z 9339	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
3		nn0z 9348	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
4	3	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
5		fzofig 10526	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
6	2, 4, 5	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
7		elmapg 6721	. . . . 5 |- ( ( V e. X /\ ( 0..^ N ) e. Fin ) -> ( w e. ( V ^m ( 0..^ N ) ) <-> w : ( 0..^ N ) --> V ) )
8	6, 7	syldan 282	. . . 4 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( w e. ( V ^m ( 0..^ N ) ) <-> w : ( 0..^ N ) --> V ) )
9		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> w : ( 0..^ N ) --> V )
10		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> N e. NN0 )
11		iswrdinn0 10942	. . . . . . . 8 |- ( ( w : ( 0..^ N ) --> V /\ N e. NN0 ) -> w e. Word V )
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> w e. Word V )
13		fnfzo0hash 10929	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> (♯ ` w ) = N )
14	13	adantll 476	. . . . . . 7 |- ( ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> (♯ ` w ) = N )
15	12, 14	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) )
16	15	ex 115	. . . . 5 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( w : ( 0..^ N ) --> V -> ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) ) )
17		wrdf 10943	. . . . . . 7 |- ( w e. Word V -> w : ( 0..^ (♯ ` w ) ) --> V )
18		oveq2 5931	. . . . . . . 8 |- ( (♯ ` w ) = N -> ( 0..^ (♯ ` w ) ) = ( 0..^ N ) )
19	18	feq2d 5396	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` w ) = N -> ( w : ( 0..^ (♯ ` w ) ) --> V <-> w : ( 0..^ N ) --> V ) )
20	17, 19	syl5ibcom 155	. . . . . 6 |- ( w e. Word V -> ( (♯ ` w ) = N -> w : ( 0..^ N ) --> V ) )
21	20	imp 124	. . . . 5 |- ( ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) -> w : ( 0..^ N ) --> V )
22	16, 21	impbid1 142	. . . 4 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( w : ( 0..^ N ) --> V <-> ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) ) )
23	8, 22	bitrd 188	. . 3 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( w e. ( V ^m ( 0..^ N ) ) <-> ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) ) )
24	23	eqabdv 2325	. 2 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( V ^m ( 0..^ N ) ) = { w | ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) } )
25	1, 24	eqtr4id 2248	1 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> { w e. Word V | (♯ ` w ) = N } = ( V ^m ( 0..^ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cab 2182   {crab 2479   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   ^m cmap 6708   Fincfn 6800   0cc0 7881   NN0cn0 9251   ZZcz 9328  ..^cfzo 10219  ♯chash 10869  Word cword 10937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-1o 6475  df-er 6593  df-map 6710  df-en 6801  df-dom 6802  df-fin 6803  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-inn 8993  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-ihash 10870  df-word 10938

This theorem is referenced by:  wrdmap  10968