Theorem wrdnval 11148

Description: Words of a fixed length are mappings from a fixed half-open integer interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 13-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
wrdnval	|- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> { w e. Word V | (♯ ` w ) = N } = ( V ^m ( 0..^ N ) ) )

Distinct variable groups:   w, N   w, V   w, X

Proof of Theorem wrdnval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2519	. 2 |- { w e. Word V | (♯ ` w ) = N } = { w | ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) }
2		0z 9490	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
3		nn0z 9499	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
4	3	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
5		fzofig 10695	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
6	2, 4, 5	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
7		elmapg 6830	. . . . 5 |- ( ( V e. X /\ ( 0..^ N ) e. Fin ) -> ( w e. ( V ^m ( 0..^ N ) ) <-> w : ( 0..^ N ) --> V ) )
8	6, 7	syldan 282	. . . 4 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( w e. ( V ^m ( 0..^ N ) ) <-> w : ( 0..^ N ) --> V ) )
9		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> w : ( 0..^ N ) --> V )
10		simplr 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> N e. NN0 )
11		iswrdinn0 11122	. . . . . . . 8 |- ( ( w : ( 0..^ N ) --> V /\ N e. NN0 ) -> w e. Word V )
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> w e. Word V )
13		fnfzo0hash 11100	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> (♯ ` w ) = N )
14	13	adantll 476	. . . . . . 7 |- ( ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> (♯ ` w ) = N )
15	12, 14	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) )
16	15	ex 115	. . . . 5 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( w : ( 0..^ N ) --> V -> ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) ) )
17		wrdf 11123	. . . . . . 7 |- ( w e. Word V -> w : ( 0..^ (♯ ` w ) ) --> V )
18		oveq2 6026	. . . . . . . 8 |- ( (♯ ` w ) = N -> ( 0..^ (♯ ` w ) ) = ( 0..^ N ) )
19	18	feq2d 5470	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` w ) = N -> ( w : ( 0..^ (♯ ` w ) ) --> V <-> w : ( 0..^ N ) --> V ) )
20	17, 19	syl5ibcom 155	. . . . . 6 |- ( w e. Word V -> ( (♯ ` w ) = N -> w : ( 0..^ N ) --> V ) )
21	20	imp 124	. . . . 5 |- ( ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) -> w : ( 0..^ N ) --> V )
22	16, 21	impbid1 142	. . . 4 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( w : ( 0..^ N ) --> V <-> ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) ) )
23	8, 22	bitrd 188	. . 3 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( w e. ( V ^m ( 0..^ N ) ) <-> ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) ) )
24	23	eqabdv 2360	. 2 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( V ^m ( 0..^ N ) ) = { w | ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) } )
25	1, 24	eqtr4id 2283	1 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> { w e. Word V | (♯ ` w ) = N } = ( V ^m ( 0..^ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   {cab 2217   {crab 2514   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   ^m cmap 6817   Fincfn 6909   0cc0 8032   NN0cn0 9402   ZZcz 9479  ..^cfzo 10377  ♯chash 11038  Word cword 11117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-map 6819  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-ihash 11039  df-word 11118

This theorem is referenced by:  wrdmap  11149