Theorem wrdnval 11191

Description: Words of a fixed length are mappings from a fixed half-open integer interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 13-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
wrdnval	|- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> { w e. Word V | (♯ ` w ) = N } = ( V ^m ( 0..^ N ) ) )

Distinct variable groups:   w, N   w, V   w, X

Proof of Theorem wrdnval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2520	. 2 |- { w e. Word V | (♯ ` w ) = N } = { w | ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) }
2		0z 9533	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
3		nn0z 9542	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
4	3	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
5		fzofig 10738	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
6	2, 4, 5	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
7		elmapg 6873	. . . . 5 |- ( ( V e. X /\ ( 0..^ N ) e. Fin ) -> ( w e. ( V ^m ( 0..^ N ) ) <-> w : ( 0..^ N ) --> V ) )
8	6, 7	syldan 282	. . . 4 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( w e. ( V ^m ( 0..^ N ) ) <-> w : ( 0..^ N ) --> V ) )
9		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> w : ( 0..^ N ) --> V )
10		simplr 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> N e. NN0 )
11		iswrdinn0 11165	. . . . . . . 8 |- ( ( w : ( 0..^ N ) --> V /\ N e. NN0 ) -> w e. Word V )
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> w e. Word V )
13		fnfzo0hash 11143	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> (♯ ` w ) = N )
14	13	adantll 476	. . . . . . 7 |- ( ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> (♯ ` w ) = N )
15	12, 14	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) /\ w : ( 0..^ N ) --> V ) -> ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) )
16	15	ex 115	. . . . 5 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( w : ( 0..^ N ) --> V -> ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) ) )
17		wrdf 11166	. . . . . . 7 |- ( w e. Word V -> w : ( 0..^ (♯ ` w ) ) --> V )
18		oveq2 6036	. . . . . . . 8 |- ( (♯ ` w ) = N -> ( 0..^ (♯ ` w ) ) = ( 0..^ N ) )
19	18	feq2d 5477	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` w ) = N -> ( w : ( 0..^ (♯ ` w ) ) --> V <-> w : ( 0..^ N ) --> V ) )
20	17, 19	syl5ibcom 155	. . . . . 6 |- ( w e. Word V -> ( (♯ ` w ) = N -> w : ( 0..^ N ) --> V ) )
21	20	imp 124	. . . . 5 |- ( ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) -> w : ( 0..^ N ) --> V )
22	16, 21	impbid1 142	. . . 4 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( w : ( 0..^ N ) --> V <-> ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) ) )
23	8, 22	bitrd 188	. . 3 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( w e. ( V ^m ( 0..^ N ) ) <-> ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) ) )
24	23	eqabdv 2361	. 2 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> ( V ^m ( 0..^ N ) ) = { w | ( w e. Word V /\ (♯ ` w ) = N ) } )
25	1, 24	eqtr4id 2283	1 |- ( ( V e. X /\ N e. NN0 ) -> { w e. Word V | (♯ ` w ) = N } = ( V ^m ( 0..^ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   {cab 2217   {crab 2515   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   ^m cmap 6860   Fincfn 6952   0cc0 8075   NN0cn0 9445   ZZcz 9522  ..^cfzo 10420  ♯chash 11081  Word cword 11160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-ihash 11082  df-word 11161

This theorem is referenced by:  wrdmap  11192