Theorem decbin2 9329

Description: Decompose base 4 into base 2. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
decbin.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decbin2	⊢ ((4 · 𝐴) + 2) = (2 · ((2 · 𝐴) + 1))

Proof of Theorem decbin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t1e2 8880	. . 3 ⊢ (2 · 1) = 2
2	1	oveq2i 5785	. 2 ⊢ ((2 · (2 · 𝐴)) + (2 · 1)) = ((2 · (2 · 𝐴)) + 2)
3		2cn 8798	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		decbin.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
5	4	nn0cni 8996	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
6	3, 5	mulcli 7778	. . 3 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℂ
7		ax-1cn 7720	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	3, 6, 7	adddii 7783	. 2 ⊢ (2 · ((2 · 𝐴) + 1)) = ((2 · (2 · 𝐴)) + (2 · 1))
9	4	decbin0 9328	. . 3 ⊢ (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))
10	9	oveq1i 5784	. 2 ⊢ ((4 · 𝐴) + 2) = ((2 · (2 · 𝐴)) + 2)
11	2, 8, 10	3eqtr4ri 2171	1 ⊢ ((4 · 𝐴) + 2) = (2 · ((2 · 𝐴) + 1))

Syntax hints:   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  (class class class)co 5774  1c1 7628   + caddc 7630   · cmul 7632  2c2 8778  4c4 8780  ℕ₀cn0 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-1rid 7734  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985

This theorem is referenced by:  decbin3  9330