Theorem decbin2 9651

Description: Decompose base 4 into base 2. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
decbin.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decbin2	⊢ ((4 · 𝐴) + 2) = (2 · ((2 · 𝐴) + 1))

Proof of Theorem decbin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t1e2 9197	. . 3 ⊢ (2 · 1) = 2
2	1	oveq2i 5962	. 2 ⊢ ((2 · (2 · 𝐴)) + (2 · 1)) = ((2 · (2 · 𝐴)) + 2)
3		2cn 9114	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		decbin.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
5	4	nn0cni 9314	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
6	3, 5	mulcli 8084	. . 3 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℂ
7		ax-1cn 8025	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	3, 6, 7	adddii 8089	. 2 ⊢ (2 · ((2 · 𝐴) + 1)) = ((2 · (2 · 𝐴)) + (2 · 1))
9	4	decbin0 9650	. . 3 ⊢ (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))
10	9	oveq1i 5961	. 2 ⊢ ((4 · 𝐴) + 2) = ((2 · (2 · 𝐴)) + 2)
11	2, 8, 10	3eqtr4ri 2238	1 ⊢ ((4 · 𝐴) + 2) = (2 · ((2 · 𝐴) + 1))

Syntax hints:   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5951  1c1 7933   + caddc 7935   · cmul 7937  2c2 9094  4c4 9096  ℕ₀cn0 9302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-1rid 8039  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-iota 5237  df-fv 5284  df-ov 5954  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-n0 9303

This theorem is referenced by:  decbin3  9652