Theorem decbin2 9414

Description: Decompose base 4 into base 2. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
decbin.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decbin2	⊢ ((4 · 𝐴) + 2) = (2 · ((2 · 𝐴) + 1))

Proof of Theorem decbin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t1e2 8965	. . 3 ⊢ (2 · 1) = 2
2	1	oveq2i 5825	. 2 ⊢ ((2 · (2 · 𝐴)) + (2 · 1)) = ((2 · (2 · 𝐴)) + 2)
3		2cn 8883	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		decbin.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
5	4	nn0cni 9081	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
6	3, 5	mulcli 7862	. . 3 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℂ
7		ax-1cn 7804	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	3, 6, 7	adddii 7867	. 2 ⊢ (2 · ((2 · 𝐴) + 1)) = ((2 · (2 · 𝐴)) + (2 · 1))
9	4	decbin0 9413	. . 3 ⊢ (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))
10	9	oveq1i 5824	. 2 ⊢ ((4 · 𝐴) + 2) = ((2 · (2 · 𝐴)) + 2)
11	2, 8, 10	3eqtr4ri 2186	1 ⊢ ((4 · 𝐴) + 2) = (2 · ((2 · 𝐴) + 1))

Syntax hints:   = wceq 1332   ∈ wcel 2125  (class class class)co 5814  1c1 7712   + caddc 7714   · cmul 7716  2c2 8863  4c4 8865  ℕ₀cn0 9069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-1rid 7818  ax-rnegex 7820  ax-cnre 7822

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-v 2711  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-br 3962  df-iota 5128  df-fv 5171  df-ov 5817  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070

This theorem is referenced by:  decbin3  9415