Theorem decbin2 9845

Description: Decompose base 4 into base 2. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
decbin.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decbin2	⊢ ((4 · 𝐴) + 2) = (2 · ((2 · 𝐴) + 1))

Proof of Theorem decbin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t1e2 9387	. . 3 ⊢ (2 · 1) = 2
2	1	oveq2i 6060	. 2 ⊢ ((2 · (2 · 𝐴)) + (2 · 1)) = ((2 · (2 · 𝐴)) + 2)
3		2cn 9304	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		decbin.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
5	4	nn0cni 9504	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
6	3, 5	mulcli 8275	. . 3 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℂ
7		ax-1cn 8216	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	3, 6, 7	adddii 8280	. 2 ⊢ (2 · ((2 · 𝐴) + 1)) = ((2 · (2 · 𝐴)) + (2 · 1))
9	4	decbin0 9844	. . 3 ⊢ (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))
10	9	oveq1i 6059	. 2 ⊢ ((4 · 𝐴) + 2) = ((2 · (2 · 𝐴)) + 2)
11	2, 8, 10	3eqtr4ri 2264	1 ⊢ ((4 · 𝐴) + 2) = (2 · ((2 · 𝐴) + 1))

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6049  1c1 8124   + caddc 8126   · cmul 8128  2c2 9284  4c4 9286  ℕ₀cn0 9492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-1rid 8230  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-iota 5311  df-fv 5359  df-ov 6052  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-n0 9493

This theorem is referenced by:  decbin3  9846