Theorem decbin3 9539

Description: Decompose base 4 into base 2. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
decbin.1	|- A e. NN0

Assertion

Ref	Expression
decbin3	|- ( ( 4 x. A ) + 3 ) = ( ( 2 x. ( ( 2 x. A ) + 1 ) ) + 1 )

Proof of Theorem decbin3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 9209	. . 3 |- 4 e. NN0
2		decbin.1	. . 3 |- A e. NN0
3		2nn0 9207	. . 3 |- 2 e. NN0
4		2p1e3 9066	. . 3 |- ( 2 + 1 ) = 3
5	2	decbin2 9538	. . . 4 |- ( ( 4 x. A ) + 2 ) = ( 2 x. ( ( 2 x. A ) + 1 ) )
6	5	eqcomi 2191	. . 3 |- ( 2 x. ( ( 2 x. A ) + 1 ) ) = ( ( 4 x. A ) + 2 )
7	1, 2, 3, 4, 6	numsuc 9411	. 2 |- ( ( 2 x. ( ( 2 x. A ) + 1 ) ) + 1 ) = ( ( 4 x. A ) + 3 )
8	7	eqcomi 2191	1 |- ( ( 4 x. A ) + 3 ) = ( ( 2 x. ( ( 2 x. A ) + 1 ) ) + 1 )

Syntax hints:   = wceq 1363   e. wcel 2158  (class class class)co 5888   1c1 7826   + caddc 7828   x. cmul 7830   2c2 8984   3c3 8985   4c4 8986   NN0cn0 9190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-sub 8144  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191

This theorem is referenced by: (None)