Theorem dfxp3 6430

Description: Define the cross product of three classes. Compare df-xp 4780. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfxp3	|- ( ( A X. B ) X. C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) }

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z

Proof of Theorem dfxp3

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biidd 172	. . 3 |- ( u = <. x , y >. -> ( z e. C <-> z e. C ) )
2	1	dfoprab4 6426	. 2 |- { <. u , z >. | ( u e. ( A X. B ) /\ z e. C ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z e. C ) }
3		df-xp 4780	. 2 |- ( ( A X. B ) X. C ) = { <. u , z >. | ( u e. ( A X. B ) /\ z e. C ) }
4		df-3an 1011	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z e. C ) )
5	4	oprabbii 6143	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z e. C ) }
6	2, 3, 5	3eqtr4i 2269	1 |- ( ( A X. B ) X. C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) }

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3712   {copab 4191   X. cxp 4772   {coprab 6086

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fo 5383  df-fv 5385  df-oprab 6089  df-1st 6374  df-2nd 6375

This theorem is used by:  mpomulf  8316