Theorem dfxp3 6303

Description: Define the cross product of three classes. Compare df-xp 4699. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfxp3	|- ( ( A X. B ) X. C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) }

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z

Proof of Theorem dfxp3

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biidd 172	. . 3 |- ( u = <. x , y >. -> ( z e. C <-> z e. C ) )
2	1	dfoprab4 6301	. 2 |- { <. u , z >. | ( u e. ( A X. B ) /\ z e. C ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z e. C ) }
3		df-xp 4699	. 2 |- ( ( A X. B ) X. C ) = { <. u , z >. | ( u e. ( A X. B ) /\ z e. C ) }
4		df-3an 983	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z e. C ) )
5	4	oprabbii 6023	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z e. C ) }
6	2, 3, 5	3eqtr4i 2238	1 |- ( ( A X. B ) X. C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) }

Syntax hints:   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   <.cop 3646   {copab 4120   X. cxp 4691   {coprab 5968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fo 5296  df-fv 5298  df-oprab 5971  df-1st 6249  df-2nd 6250

This theorem is referenced by:  mpomulf  8097