Theorem dfxp3 6280

Description: Define the cross product of three classes. Compare df-xp 4681. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfxp3	|- ( ( A X. B ) X. C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) }

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z

Proof of Theorem dfxp3

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biidd 172	. . 3 |- ( u = <. x , y >. -> ( z e. C <-> z e. C ) )
2	1	dfoprab4 6278	. 2 |- { <. u , z >. | ( u e. ( A X. B ) /\ z e. C ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z e. C ) }
3		df-xp 4681	. 2 |- ( ( A X. B ) X. C ) = { <. u , z >. | ( u e. ( A X. B ) /\ z e. C ) }
4		df-3an 983	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z e. C ) )
5	4	oprabbii 6000	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z e. C ) }
6	2, 3, 5	3eqtr4i 2236	1 |- ( ( A X. B ) X. C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) }

Syntax hints:   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   <.cop 3636   {copab 4104   X. cxp 4673   {coprab 5945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fo 5277  df-fv 5279  df-oprab 5948  df-1st 6226  df-2nd 6227

This theorem is referenced by:  mpomulf  8062