Theorem dfxp3 6100

Description: Define the cross product of three classes. Compare df-xp 4553. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfxp3	|- ( ( A X. B ) X. C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) }

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z

Proof of Theorem dfxp3

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biidd 171	. . 3 |- ( u = <. x , y >. -> ( z e. C <-> z e. C ) )
2	1	dfoprab4 6098	. 2 |- { <. u , z >. | ( u e. ( A X. B ) /\ z e. C ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z e. C ) }
3		df-xp 4553	. 2 |- ( ( A X. B ) X. C ) = { <. u , z >. | ( u e. ( A X. B ) /\ z e. C ) }
4		df-3an 965	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z e. C ) )
5	4	oprabbii 5834	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z e. C ) }
6	2, 3, 5	3eqtr4i 2171	1 |- ( ( A X. B ) X. C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) }

Syntax hints:   /\ wa 103   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   <.cop 3535   {copab 3996   X. cxp 4545   {coprab 5783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fo 5137  df-fv 5139  df-oprab 5786  df-1st 6046  df-2nd 6047

This theorem is referenced by: (None)