Theorem dmmpoga 6266

Description: Domain of an operation given by the maps-to notation, closed form of dmmpo 6262. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Feb-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmmpog.f	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
dmmpoga	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> dom F = ( A X. B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, V, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem dmmpoga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmpog.f	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	fnmpo 6260	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> F Fn ( A X. B ) )
3		fndm 5357	. 2 |- ( F Fn ( A X. B ) -> dom F = ( A X. B ) )
4	2, 3	syl 14	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> dom F = ( A X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   X. cxp 4661   dom cdm 4663   Fn wfn 5253   e. cmpo 5924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199

This theorem is referenced by:  dmmpog  6267  mpoexw  6271