Theorem ovmpoelrn 6295

Description: An operation's value belongs to its range. (Contributed by AV, 27-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovmpoelrn.o	|- O = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
ovmpoelrn	|- ( ( A. x e. A A. y e. B C e. M /\ X e. A /\ Y e. B ) -> ( X O Y ) e. M )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, M, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   O( x, y)   X( x, y)   Y( x, y)

Proof of Theorem ovmpoelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpoelrn.o	. . 3 |- O = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	fmpo 6289	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. M <-> O : ( A X. B ) --> M )
3		fovcdm 6091	. 2 |- ( ( O : ( A X. B ) --> M /\ X e. A /\ Y e. B ) -> ( X O Y ) e. M )
4	2, 3	syl3an1b 1286	1 |- ( ( A. x e. A A. y e. B C e. M /\ X e. A /\ Y e. B ) -> ( X O Y ) e. M )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   X. cxp 4674   -->wf 5268  (class class class)co 5946   e. cmpo 5948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229

This theorem is referenced by:  opifismgmdc  13236