Theorem ovmpoelrn 6113

Description: An operation's value belongs to its range. (Contributed by AV, 27-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovmpoelrn.o	|- O = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
ovmpoelrn	|- ( ( A. x e. A A. y e. B C e. M /\ X e. A /\ Y e. B ) -> ( X O Y ) e. M )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, M, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   O( x, y)   X( x, y)   Y( x, y)

Proof of Theorem ovmpoelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpoelrn.o	. . 3 |- O = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	fmpo 6107	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. M <-> O : ( A X. B ) --> M )
3		fovrn 5921	. 2 |- ( ( O : ( A X. B ) --> M /\ X e. A /\ Y e. B ) -> ( X O Y ) e. M )
4	2, 3	syl3an1b 1253	1 |- ( ( A. x e. A A. y e. B C e. M /\ X e. A /\ Y e. B ) -> ( X O Y ) e. M )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   X. cxp 4545   -->wf 5127  (class class class)co 5782   e. cmpo 5784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047

This theorem is referenced by: (None)