Theorem ovmpoelrn 6172

Description: An operation's value belongs to its range. (Contributed by AV, 27-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovmpoelrn.o	|- O = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
ovmpoelrn	|- ( ( A. x e. A A. y e. B C e. M /\ X e. A /\ Y e. B ) -> ( X O Y ) e. M )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, M, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   O( x, y)   X( x, y)   Y( x, y)

Proof of Theorem ovmpoelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpoelrn.o	. . 3 |- O = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	fmpo 6166	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. M <-> O : ( A X. B ) --> M )
3		fovrn 5980	. 2 |- ( ( O : ( A X. B ) --> M /\ X e. A /\ Y e. B ) -> ( X O Y ) e. M )
4	2, 3	syl3an1b 1264	1 |- ( ( A. x e. A A. y e. B C e. M /\ X e. A /\ Y e. B ) -> ( X O Y ) e. M )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2443   X. cxp 4601   -->wf 5183  (class class class)co 5841   e. cmpo 5843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ral 2448  df-rex 2449  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-fv 5195  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106

This theorem is referenced by: (None)