Theorem ovmpoelrn 6381

Description: An operation's value belongs to its range. (Contributed by AV, 27-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovmpoelrn.o	|- O = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
ovmpoelrn	|- ( ( A. x e. A A. y e. B C e. M /\ X e. A /\ Y e. B ) -> ( X O Y ) e. M )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, M, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   O( x, y)   X( x, y)   Y( x, y)

Proof of Theorem ovmpoelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpoelrn.o	. . 3 |- O = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	fmpo 6375	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. M <-> O : ( A X. B ) --> M )
3		fovcdm 6175	. 2 |- ( ( O : ( A X. B ) --> M /\ X e. A /\ Y e. B ) -> ( X O Y ) e. M )
4	2, 3	syl3an1b 1310	1 |- ( ( A. x e. A A. y e. B C e. M /\ X e. A /\ Y e. B ) -> ( X O Y ) e. M )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   X. cxp 4729   -->wf 5329  (class class class)co 6028   e. cmpo 6030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313

This theorem is referenced by:  opifismgmdc  13515