Theorem ovmpoelrn 6251

Description: An operation's value belongs to its range. (Contributed by AV, 27-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovmpoelrn.o	|- O = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
ovmpoelrn	|- ( ( A. x e. A A. y e. B C e. M /\ X e. A /\ Y e. B ) -> ( X O Y ) e. M )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, M, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   O( x, y)   X( x, y)   Y( x, y)

Proof of Theorem ovmpoelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpoelrn.o	. . 3 |- O = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	fmpo 6245	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. M <-> O : ( A X. B ) --> M )
3		fovcdm 6053	. 2 |- ( ( O : ( A X. B ) --> M /\ X e. A /\ Y e. B ) -> ( X O Y ) e. M )
4	2, 3	syl3an1b 1285	1 |- ( ( A. x e. A A. y e. B C e. M /\ X e. A /\ Y e. B ) -> ( X O Y ) e. M )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   X. cxp 4653   -->wf 5242  (class class class)co 5910   e. cmpo 5912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-fv 5254  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185

This theorem is referenced by:  opifismgmdc  12944