Theorem fnmpo 6205

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpo.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
fnmpo	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> F Fn ( A X. B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   F( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem fnmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2750	. . . 4 |- ( C e. V -> C e. _V )
2	1	ralimi 2540	. . 3 |- ( A. y e. B C e. V -> A. y e. B C e. _V )
3	2	ralimi 2540	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> A. x e. A A. y e. B C e. _V )
4		fmpo.1	. . . 4 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
5	4	fmpo 6204	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. _V <-> F : ( A X. B ) --> _V )
6		dffn2 5369	. . 3 |- ( F Fn ( A X. B ) <-> F : ( A X. B ) --> _V )
7	5, 6	bitr4i 187	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. _V <-> F Fn ( A X. B ) )
8	3, 7	sylib 122	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> F Fn ( A X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2739   X. cxp 4626   Fn wfn 5213   -->wf 5214   e. cmpo 5879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144

This theorem is referenced by:  fnmpoi  6207  dmmpoga  6211  fnmpoovd  6218  f1od2  6238  divfnzn  9623  cnref1o  9652  plusffng  12789  mulgfng  12992  scaffng  13404  hmeofn  13887