ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnmpo Unicode version

Theorem fnmpo 6200
Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
fmpo.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
Assertion
Ref Expression
fnmpo  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  F  Fn  ( A  X.  B
) )
Distinct variable groups:    x, A, y   
x, B, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    F( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem fnmpo
StepHypRef Expression
1 elex 2748 . . . 4  |-  ( C  e.  V  ->  C  e.  _V )
21ralimi 2540 . . 3  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  V  ->  A. y  e.  B  C  e.  _V )
32ralimi 2540 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  _V )
4 fmpo.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
54fmpo 6199 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  _V  <->  F : ( A  X.  B ) --> _V )
6 dffn2 5366 . . 3  |-  ( F  Fn  ( A  X.  B )  <->  F :
( A  X.  B
) --> _V )
75, 6bitr4i 187 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  _V  <->  F  Fn  ( A  X.  B ) )
83, 7sylib 122 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  F  Fn  ( A  X.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2737    X. cxp 4623    Fn wfn 5210   -->wf 5211    e. cmpo 5874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-fv 5223  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139
This theorem is referenced by:  fnmpoi  6202  dmmpoga  6206  fnmpoovd  6213  f1od2  6233  divfnzn  9617  cnref1o  9646  plusffng  12716  mulgfng  12919  hmeofn  13673
  Copyright terms: Public domain W3C validator