Theorem fnmpo 6170

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpo.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
fnmpo	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> F Fn ( A X. B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   F( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem fnmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2737	. . . 4 |- ( C e. V -> C e. _V )
2	1	ralimi 2529	. . 3 |- ( A. y e. B C e. V -> A. y e. B C e. _V )
3	2	ralimi 2529	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> A. x e. A A. y e. B C e. _V )
4		fmpo.1	. . . 4 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
5	4	fmpo 6169	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. _V <-> F : ( A X. B ) --> _V )
6		dffn2 5339	. . 3 |- ( F Fn ( A X. B ) <-> F : ( A X. B ) --> _V )
7	5, 6	bitr4i 186	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. _V <-> F Fn ( A X. B ) )
8	3, 7	sylib 121	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> F Fn ( A X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   _Vcvv 2726   X. cxp 4602   Fn wfn 5183   -->wf 5184   e. cmpo 5844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109

This theorem is referenced by:  fnmpoi  6172  dmmpoga  6176  fnmpoovd  6183  f1od2  6203  divfnzn  9559  cnref1o  9588  plusffng  12596  hmeofn  12942