Theorem fnmpo 6246

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpo.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
fnmpo	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> F Fn ( A X. B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   F( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem fnmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2771	. . . 4 |- ( C e. V -> C e. _V )
2	1	ralimi 2557	. . 3 |- ( A. y e. B C e. V -> A. y e. B C e. _V )
3	2	ralimi 2557	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> A. x e. A A. y e. B C e. _V )
4		fmpo.1	. . . 4 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
5	4	fmpo 6245	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. _V <-> F : ( A X. B ) --> _V )
6		dffn2 5397	. . 3 |- ( F Fn ( A X. B ) <-> F : ( A X. B ) --> _V )
7	5, 6	bitr4i 187	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. _V <-> F Fn ( A X. B ) )
8	3, 7	sylib 122	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> F Fn ( A X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   X. cxp 4653   Fn wfn 5241   -->wf 5242   e. cmpo 5912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-fv 5254  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185

This theorem is referenced by:  fnmpoi  6248  dmmpoga  6252  fnmpoovd  6259  f1od2  6279  mpomulf  7999  divfnzn  9676  cnref1o  9706  plusffng  12938  mulgfng  13184  rhmfn  13652  scaffng  13789  hmeofn  14447