Theorem fnmpo 6290

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpo.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
fnmpo	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> F Fn ( A X. B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   F( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem fnmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2783	. . . 4 |- ( C e. V -> C e. _V )
2	1	ralimi 2569	. . 3 |- ( A. y e. B C e. V -> A. y e. B C e. _V )
3	2	ralimi 2569	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> A. x e. A A. y e. B C e. _V )
4		fmpo.1	. . . 4 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
5	4	fmpo 6289	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. _V <-> F : ( A X. B ) --> _V )
6		dffn2 5429	. . 3 |- ( F Fn ( A X. B ) <-> F : ( A X. B ) --> _V )
7	5, 6	bitr4i 187	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. _V <-> F Fn ( A X. B ) )
8	3, 7	sylib 122	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> F Fn ( A X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   _Vcvv 2772   X. cxp 4674   Fn wfn 5267   -->wf 5268   e. cmpo 5948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229

This theorem is referenced by:  fnmpoi  6291  dmmpoga  6296  fnmpoovd  6303  f1od2  6323  mpomulf  8064  divfnzn  9744  cnref1o  9774  plusffng  13230  mulgfng  13493  rhmfn  13967  scaffng  14104  hmeofn  14807