Theorem fnmpo 6398

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpo.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
fnmpo	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> F Fn ( A X. B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   F( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem fnmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2825	. . . 4 |- ( C e. V -> C e. _V )
2	1	ralimi 2605	. . 3 |- ( A. y e. B C e. V -> A. y e. B C e. _V )
3	2	ralimi 2605	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> A. x e. A A. y e. B C e. _V )
4		fmpo.1	. . . 4 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
5	4	fmpo 6397	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. _V <-> F : ( A X. B ) --> _V )
6		dffn2 5510	. . 3 |- ( F Fn ( A X. B ) <-> F : ( A X. B ) --> _V )
7	5, 6	bitr4i 187	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. _V <-> F Fn ( A X. B ) )
8	3, 7	sylib 122	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> F Fn ( A X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   _Vcvv 2813   X. cxp 4747   Fn wfn 5347   -->wf 5348   e. cmpo 6052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335

This theorem is referenced by:  fnmpoi  6399  dmmpoga  6404  fnmpoovd  6411  f1od2  6431  mpomulf  8264  divfnzn  9953  cnref1o  9983  fnpfx  11369  plusffng  13578  mulgfng  13841  rhmfn  14317  scaffng  14457  hmeofn  15167