Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  acfun Unicode version

Theorem acfun 7083
 Description: A convenient form of choice. The goal here is to state choice as the existence of a choice function on a set of inhabited sets, while making full use of our notation around functions and function values. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
acfun.ac CHOICE
acfun.a
acfun.m
Assertion
Ref Expression
acfun
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,)

Proof of Theorem acfun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acfun.a . . . . 5
21elexd 2703 . . . 4
3 abid2 2261 . . . . . 6
4 vex 2693 . . . . . 6
53, 4eqeltri 2213 . . . . 5
65a1i 9 . . . 4
72, 6opabex3d 6028 . . 3
8 acfun.ac . . . 4 CHOICE
9 df-ac 7082 . . . 4 CHOICE
108, 9sylib 121 . . 3
11 sseq2 3127 . . . . . 6
12 dmeq 4748 . . . . . . 7
1312fneq2d 5223 . . . . . 6
1411, 13anbi12d 465 . . . . 5
1514exbidv 1798 . . . 4
1615spcgv 2777 . . 3
177, 10, 16sylc 62 . 2
18 simprr 522 . . . . . 6
19 acfun.m . . . . . . . . . 10
20 elequ2 1692 . . . . . . . . . . . . 13
2120exbidv 1798 . . . . . . . . . . . 12
2221cbvralv 2658 . . . . . . . . . . 11
23 elequ1 1691 . . . . . . . . . . . . 13
2423cbvexv 1891 . . . . . . . . . . . 12
2524ralbii 2445 . . . . . . . . . . 11
2622, 25bitri 183 . . . . . . . . . 10
2719, 26sylib 121 . . . . . . . . 9
28 dmopab3 4761 . . . . . . . . 9
2927, 28sylib 121 . . . . . . . 8
3029fneq2d 5223 . . . . . . 7
3130adantr 274 . . . . . 6
3218, 31mpbid 146 . . . . 5
33 simplrl 525 . . . . . . . . 9
34 fnopfv 5559 . . . . . . . . . 10
3532, 34sylan 281 . . . . . . . . 9
3633, 35sseldd 3104 . . . . . . . 8
37 vex 2693 . . . . . . . . 9
38 vex 2693 . . . . . . . . . 10
3938, 37fvex 5450 . . . . . . . . 9
40 eleq1 2203 . . . . . . . . . 10
41 elequ2 1692 . . . . . . . . . 10
4240, 41anbi12d 465 . . . . . . . . 9
43 eleq1 2203 . . . . . . . . . 10
4443anbi2d 460 . . . . . . . . 9
4537, 39, 42, 44opelopab 4202 . . . . . . . 8
4636, 45sylib 121 . . . . . . 7
4746simprd 113 . . . . . 6
4847ralrimiva 2509 . . . . 5
4932, 48jca 304 . . . 4
5049ex 114 . . 3
5150eximdv 1853 . 2
5217, 51mpd 13 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104  wal 1330   wceq 1332  wex 1469   wcel 1481  cab 2126  wral 2417  cvv 2690   wss 3077  cop 3536  copab 3997   cdm 4548   wfn 5127  cfv 5132  CHOICEwac 7081 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-id 4224  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-ac 7082 This theorem is referenced by:  exmidaclem  7084
 Copyright terms: Public domain W3C validator