Theorem dmopab3 4842

Description: The domain of a restricted class of ordered pairs. (Contributed by NM, 31-Jan-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmopab3	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 ↔ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dmopab3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2460	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦𝜑))
2		pm4.71 389	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)))
3	2	albii 1470	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)))
4		dmopab 4840	. . . . 5 ⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
5		19.42v 1906	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑))
6	5	abbii 2293	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)}
7	4, 6	eqtri 2198	. . . 4 ⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)}
8	7	eqeq1i 2185	. . 3 ⊢ (dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} = 𝐴 ↔ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)} = 𝐴)
9		eqcom 2179	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)} ↔ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)} = 𝐴)
10		abeq2 2286	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)))
11	8, 9, 10	3bitr2ri 209	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)) ↔ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} = 𝐴)
12	1, 3, 11	3bitri 206	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 ↔ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1351   = wceq 1353  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  {cab 2163  ∀wral 2455  {copab 4065  dom cdm 4628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-dm 4638

This theorem is referenced by:  dmxpm  4849  dmxpid  4850  fnopabg  5341  acfun  7209  ccfunen  7266