ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  domnnzr GIF version

Theorem domnnzr 13744
Description: A domain is a nonzero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
domnnzr (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem domnnzr
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2193 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2193 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3 eqid 2193 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
41, 2, 3isdomn 13743 . 2 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) = (0g𝑅) → (𝑥 = (0g𝑅) ∨ 𝑦 = (0g𝑅)))))
54simplbi 274 1 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wo 709   = wceq 1364  wcel 2164  wral 2472  cfv 5246  (class class class)co 5910  Basecbs 12605  .rcmulr 12683  0gc0g 12854  NzRingcnzr 13653  Domncdomn 13730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1re 7956  ax-addrcl 7959
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-inn 8973  df-ndx 12608  df-slot 12609  df-base 12611  df-0g 12856  df-domn 13733
This theorem is referenced by:  domnring  13745  znidomb  14117
  Copyright terms: Public domain W3C validator