Theorem elicc4 10269

Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elicc4	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( A <_ C /\ C <_ B ) ) )

Proof of Theorem elicc4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc1 10253	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
2		3anass 1009	. . . 4 |- ( ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) <-> ( C e. RR* /\ ( A <_ C /\ C <_ B ) ) )
3	1, 2	bitrdi 196	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR* /\ ( A <_ C /\ C <_ B ) ) ) )
4	3	baibd 931	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ C e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( A <_ C /\ C <_ B ) ) )
5	4	3impa 1221	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( A <_ C /\ C <_ B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049   RR*cxr 8303   <_ cle 8305   [,]cicc 10220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-icc 10224

This theorem is referenced by:  elicc4abs  11772