Theorem elicc4 10360

Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elicc4	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( A <_ C /\ C <_ B ) ) )

Proof of Theorem elicc4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc1 10344	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
2		3anass 1013	. . . 4 |- ( ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) <-> ( C e. RR* /\ ( A <_ C /\ C <_ B ) ) )
3	1, 2	bitrdi 196	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR* /\ ( A <_ C /\ C <_ B ) ) ) )
4	3	baibd 935	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ C e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( A <_ C /\ C <_ B ) ) )
5	4	3impa 1225	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( A <_ C /\ C <_ B ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   RR*cxr 8366   <_ cle 8368   [,]cicc 10311

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-icc 10315

This theorem is used by:  elicc4abs  11884