Theorem elicc4 9421

Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elicc4	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( A <_ C /\ C <_ B ) ) )

Proof of Theorem elicc4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc1 9405	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
2		3anass 929	. . . 4 |- ( ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) <-> ( C e. RR* /\ ( A <_ C /\ C <_ B ) ) )
3	1, 2	syl6bb 195	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR* /\ ( A <_ C /\ C <_ B ) ) ) )
4	3	baibd 871	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ C e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( A <_ C /\ C <_ B ) ) )
5	4	3impa 1139	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( A <_ C /\ C <_ B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 925   e. wcel 1439   class class class wbr 3853  (class class class)co 5668   RR*cxr 7584   <_ cle 7586   [,]cicc 9372

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-br 3854  df-opab 3908  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fv 5038  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-icc 9376

This theorem is referenced by:  elicc4abs  10590