Theorem elicc4 10180

Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elicc4	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( A <_ C /\ C <_ B ) ) )

Proof of Theorem elicc4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc1 10164	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
2		3anass 1008	. . . 4 |- ( ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) <-> ( C e. RR* /\ ( A <_ C /\ C <_ B ) ) )
3	1, 2	bitrdi 196	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR* /\ ( A <_ C /\ C <_ B ) ) ) )
4	3	baibd 930	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ C e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( A <_ C /\ C <_ B ) ) )
5	4	3impa 1220	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( A <_ C /\ C <_ B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   e. wcel 2201   class class class wbr 4089  (class class class)co 6023   RR*cxr 8218   <_ cle 8220   [,]cicc 10131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-icc 10135

This theorem is referenced by:  elicc4abs  11677