Theorem elicc2i 9875

Description: Inference for membership in a closed interval. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicc2i.1	|- A e. RR
elicc2i.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
elicc2i	|- ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) )

Proof of Theorem elicc2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2i.1	. 2 |- A e. RR
2		elicc2i.2	. 2 |- B e. RR
3		elicc2 9874	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 423	1 |- ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) )

Syntax hints:   <-> wb 104   /\ w3a 968   e. wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   RRcr 7752   <_ cle 7934   [,]cicc 9827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-icc 9831

This theorem is referenced by:  0elunit  9922  1elunit  9923  divelunit  9938  lincmb01cmp  9939  iccf1o  9940  sinbnd2  11695  cosbnd2  11696  coseq00topi  13396  coseq0negpitopi  13397  cosordlem  13410  cosq34lt1  13411  cos02pilt1  13412  cos11  13414