Theorem dftpos3 6315

Description: Alternate definition of tpos when F has relational domain. Compare df-cnv 4667. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dftpos3	|- ( Rel dom F -> tpos F = { <. <. x , y >. , z >. | <. y , x >. F z } )

Distinct variable group:   x, y, z, F

Proof of Theorem dftpos3

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5043	. . . . . . . . . 10 |- Rel `' dom F
2		dmtpos 6309	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )
3	2	releqd 4743	. . . . . . . . . 10 |- ( Rel dom F -> ( Rel dom tpos F <-> Rel `' dom F ) )
4	1, 3	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 |- ( Rel dom F -> Rel dom tpos F )
5		reltpos 6303	. . . . . . . . 9 |- Rel tpos F
6	4, 5	jctil 312	. . . . . . . 8 |- ( Rel dom F -> ( Rel tpos F /\ Rel dom tpos F ) )
7		relrelss 5192	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel tpos F /\ Rel dom tpos F ) <-> tpos F C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) )
8	6, 7	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( Rel dom F -> tpos F C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) )
9	8	sseld 3178	. . . . . 6 |- ( Rel dom F -> ( w e. tpos F -> w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) )
10		elvvv 4722	. . . . . 6 |- ( w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) <-> E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. )
11	9, 10	imbitrdi 161	. . . . 5 |- ( Rel dom F -> ( w e. tpos F -> E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. ) )
12	11	pm4.71rd 394	. . . 4 |- ( Rel dom F -> ( w e. tpos F <-> ( E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) ) )
13		19.41vvv 1916	. . . . 5 |- ( E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) <-> ( E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) )
14		eleq1 2256	. . . . . . . 8 |- ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. tpos F <-> <. <. x , y >. , z >. e. tpos F ) )
15		df-br 4030	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >.tpos F z <-> <. <. x , y >. , z >. e. tpos F )
16		vex 2763	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
17		vex 2763	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
18		vex 2763	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
19		brtposg 6307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z ) )
20	16, 17, 18, 19	mp3an 1348	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z )
21	15, 20	bitr3i 186	. . . . . . . 8 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. tpos F <-> <. y , x >. F z )
22	14, 21	bitrdi 196	. . . . . . 7 |- ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. tpos F <-> <. y , x >. F z ) )
23	22	pm5.32i 454	. . . . . 6 |- ( ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) <-> ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) )
24	23	3exbii 1618	. . . . 5 |- ( E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) <-> E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) )
25	13, 24	bitr3i 186	. . . 4 |- ( ( E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) <-> E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) )
26	12, 25	bitrdi 196	. . 3 |- ( Rel dom F -> ( w e. tpos F <-> E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) ) )
27	26	abbi2dv 2312	. 2 |- ( Rel dom F -> tpos F = { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) } )
28		df-oprab 5922	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | <. y , x >. F z } = { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) }
29	27, 28	eqtr4di 2244	1 |- ( Rel dom F -> tpos F = { <. <. x , y >. , z >. | <. y , x >. F z } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   {cab 2179   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   <.cop 3621   class class class wbr 4029   X. cxp 4657   `'ccnv 4658   dom cdm 4659   Rel wrel 4664   {coprab 5919  tpos ctpos 6297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-oprab 5922  df-tpos 6298

This theorem is referenced by:  tposoprab  6333