Theorem dftpos3 6406

Description: Alternate definition of tpos when F has relational domain. Compare df-cnv 4726. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dftpos3	|- ( Rel dom F -> tpos F = { <. <. x , y >. , z >. | <. y , x >. F z } )

Distinct variable group:   x, y, z, F

Proof of Theorem dftpos3

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5105	. . . . . . . . . 10 |- Rel `' dom F
2		dmtpos 6400	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )
3	2	releqd 4802	. . . . . . . . . 10 |- ( Rel dom F -> ( Rel dom tpos F <-> Rel `' dom F ) )
4	1, 3	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 |- ( Rel dom F -> Rel dom tpos F )
5		reltpos 6394	. . . . . . . . 9 |- Rel tpos F
6	4, 5	jctil 312	. . . . . . . 8 |- ( Rel dom F -> ( Rel tpos F /\ Rel dom tpos F ) )
7		relrelss 5254	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel tpos F /\ Rel dom tpos F ) <-> tpos F C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) )
8	6, 7	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( Rel dom F -> tpos F C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) )
9	8	sseld 3223	. . . . . 6 |- ( Rel dom F -> ( w e. tpos F -> w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) )
10		elvvv 4781	. . . . . 6 |- ( w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) <-> E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. )
11	9, 10	imbitrdi 161	. . . . 5 |- ( Rel dom F -> ( w e. tpos F -> E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. ) )
12	11	pm4.71rd 394	. . . 4 |- ( Rel dom F -> ( w e. tpos F <-> ( E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) ) )
13		19.41vvv 1951	. . . . 5 |- ( E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) <-> ( E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) )
14		eleq1 2292	. . . . . . . 8 |- ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. tpos F <-> <. <. x , y >. , z >. e. tpos F ) )
15		df-br 4083	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >.tpos F z <-> <. <. x , y >. , z >. e. tpos F )
16		vex 2802	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
17		vex 2802	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
18		vex 2802	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
19		brtposg 6398	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z ) )
20	16, 17, 18, 19	mp3an 1371	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z )
21	15, 20	bitr3i 186	. . . . . . . 8 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. tpos F <-> <. y , x >. F z )
22	14, 21	bitrdi 196	. . . . . . 7 |- ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. tpos F <-> <. y , x >. F z ) )
23	22	pm5.32i 454	. . . . . 6 |- ( ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) <-> ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) )
24	23	3exbii 1653	. . . . 5 |- ( E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) <-> E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) )
25	13, 24	bitr3i 186	. . . 4 |- ( ( E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) <-> E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) )
26	12, 25	bitrdi 196	. . 3 |- ( Rel dom F -> ( w e. tpos F <-> E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) ) )
27	26	abbi2dv 2348	. 2 |- ( Rel dom F -> tpos F = { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) } )
28		df-oprab 6004	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | <. y , x >. F z } = { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) }
29	27, 28	eqtr4di 2280	1 |- ( Rel dom F -> tpos F = { <. <. x , y >. , z >. | <. y , x >. F z } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   {cab 2215   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   <.cop 3669   class class class wbr 4082   X. cxp 4716   `'ccnv 4717   dom cdm 4718   Rel wrel 4723   {coprab 6001  tpos ctpos 6388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325  df-oprab 6004  df-tpos 6389

This theorem is referenced by:  tposoprab  6424