Theorem dftpos3 6338

Description: Alternate definition of tpos when F has relational domain. Compare df-cnv 4681. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dftpos3	|- ( Rel dom F -> tpos F = { <. <. x , y >. , z >. | <. y , x >. F z } )

Distinct variable group:   x, y, z, F

Proof of Theorem dftpos3

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5057	. . . . . . . . . 10 |- Rel `' dom F
2		dmtpos 6332	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )
3	2	releqd 4757	. . . . . . . . . 10 |- ( Rel dom F -> ( Rel dom tpos F <-> Rel `' dom F ) )
4	1, 3	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 |- ( Rel dom F -> Rel dom tpos F )
5		reltpos 6326	. . . . . . . . 9 |- Rel tpos F
6	4, 5	jctil 312	. . . . . . . 8 |- ( Rel dom F -> ( Rel tpos F /\ Rel dom tpos F ) )
7		relrelss 5206	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel tpos F /\ Rel dom tpos F ) <-> tpos F C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) )
8	6, 7	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( Rel dom F -> tpos F C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) )
9	8	sseld 3191	. . . . . 6 |- ( Rel dom F -> ( w e. tpos F -> w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) )
10		elvvv 4736	. . . . . 6 |- ( w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) <-> E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. )
11	9, 10	imbitrdi 161	. . . . 5 |- ( Rel dom F -> ( w e. tpos F -> E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. ) )
12	11	pm4.71rd 394	. . . 4 |- ( Rel dom F -> ( w e. tpos F <-> ( E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) ) )
13		19.41vvv 1927	. . . . 5 |- ( E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) <-> ( E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) )
14		eleq1 2267	. . . . . . . 8 |- ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. tpos F <-> <. <. x , y >. , z >. e. tpos F ) )
15		df-br 4044	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >.tpos F z <-> <. <. x , y >. , z >. e. tpos F )
16		vex 2774	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
17		vex 2774	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
18		vex 2774	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
19		brtposg 6330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z ) )
20	16, 17, 18, 19	mp3an 1349	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z )
21	15, 20	bitr3i 186	. . . . . . . 8 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. tpos F <-> <. y , x >. F z )
22	14, 21	bitrdi 196	. . . . . . 7 |- ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. tpos F <-> <. y , x >. F z ) )
23	22	pm5.32i 454	. . . . . 6 |- ( ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) <-> ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) )
24	23	3exbii 1629	. . . . 5 |- ( E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) <-> E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) )
25	13, 24	bitr3i 186	. . . 4 |- ( ( E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) <-> E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) )
26	12, 25	bitrdi 196	. . 3 |- ( Rel dom F -> ( w e. tpos F <-> E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) ) )
27	26	abbi2dv 2323	. 2 |- ( Rel dom F -> tpos F = { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) } )
28		df-oprab 5938	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | <. y , x >. F z } = { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) }
29	27, 28	eqtr4di 2255	1 |- ( Rel dom F -> tpos F = { <. <. x , y >. , z >. | <. y , x >. F z } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1372   E.wex 1514   e. wcel 2175   {cab 2190   _Vcvv 2771   C_ wss 3165   <.cop 3635   class class class wbr 4043   X. cxp 4671   `'ccnv 4672   dom cdm 4673   Rel wrel 4678   {coprab 5935  tpos ctpos 6320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-fv 5276  df-oprab 5938  df-tpos 6321

This theorem is referenced by:  tposoprab  6356