Theorem dftpos3 6230

Description: Alternate definition of tpos when F has relational domain. Compare df-cnv 4612. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dftpos3	|- ( Rel dom F -> tpos F = { <. <. x , y >. , z >. | <. y , x >. F z } )

Distinct variable group:   x, y, z, F

Proof of Theorem dftpos3

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4982	. . . . . . . . . 10 |- Rel `' dom F
2		dmtpos 6224	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )
3	2	releqd 4688	. . . . . . . . . 10 |- ( Rel dom F -> ( Rel dom tpos F <-> Rel `' dom F ) )
4	1, 3	mpbiri 167	. . . . . . . . 9 |- ( Rel dom F -> Rel dom tpos F )
5		reltpos 6218	. . . . . . . . 9 |- Rel tpos F
6	4, 5	jctil 310	. . . . . . . 8 |- ( Rel dom F -> ( Rel tpos F /\ Rel dom tpos F ) )
7		relrelss 5130	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel tpos F /\ Rel dom tpos F ) <-> tpos F C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) )
8	6, 7	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( Rel dom F -> tpos F C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) )
9	8	sseld 3141	. . . . . 6 |- ( Rel dom F -> ( w e. tpos F -> w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) )
10		elvvv 4667	. . . . . 6 |- ( w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) <-> E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. )
11	9, 10	syl6ib 160	. . . . 5 |- ( Rel dom F -> ( w e. tpos F -> E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. ) )
12	11	pm4.71rd 392	. . . 4 |- ( Rel dom F -> ( w e. tpos F <-> ( E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) ) )
13		19.41vvv 1892	. . . . 5 |- ( E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) <-> ( E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) )
14		eleq1 2229	. . . . . . . 8 |- ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. tpos F <-> <. <. x , y >. , z >. e. tpos F ) )
15		df-br 3983	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >.tpos F z <-> <. <. x , y >. , z >. e. tpos F )
16		vex 2729	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
17		vex 2729	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
18		vex 2729	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
19		brtposg 6222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z ) )
20	16, 17, 18, 19	mp3an 1327	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z )
21	15, 20	bitr3i 185	. . . . . . . 8 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. tpos F <-> <. y , x >. F z )
22	14, 21	bitrdi 195	. . . . . . 7 |- ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. tpos F <-> <. y , x >. F z ) )
23	22	pm5.32i 450	. . . . . 6 |- ( ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) <-> ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) )
24	23	3exbii 1595	. . . . 5 |- ( E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) <-> E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) )
25	13, 24	bitr3i 185	. . . 4 |- ( ( E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) <-> E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) )
26	12, 25	bitrdi 195	. . 3 |- ( Rel dom F -> ( w e. tpos F <-> E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) ) )
27	26	abbi2dv 2285	. 2 |- ( Rel dom F -> tpos F = { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) } )
28		df-oprab 5846	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | <. y , x >. F z } = { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) }
29	27, 28	eqtr4di 2217	1 |- ( Rel dom F -> tpos F = { <. <. x , y >. , z >. | <. y , x >. F z } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   {cab 2151   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   <.cop 3579   class class class wbr 3982   X. cxp 4602   `'ccnv 4603   dom cdm 4604   Rel wrel 4609   {coprab 5843  tpos ctpos 6212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-fv 5196  df-oprab 5846  df-tpos 6213

This theorem is referenced by:  tposoprab  6248