ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dftpos3 Unicode version

Theorem dftpos3 6260
Description: Alternate definition of tpos when  F has relational domain. Compare df-cnv 4633. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dftpos3  |-  ( Rel 
dom  F  -> tpos  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
<. y ,  x >. F z } )
Distinct variable group:    x, y, z, F

Proof of Theorem dftpos3
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 5005 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  `' dom  F
2 dmtpos 6254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel 
dom  F  ->  dom tpos  F  =  `' dom  F )
32releqd 4709 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( Rel 
dom tpos  F  <->  Rel  `' dom  F
) )
41, 3mpbiri 168 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
dom  F  ->  Rel  dom tpos  F )
5 reltpos 6248 . . . . . . . . 9  |-  Rel tpos  F
64, 5jctil 312 . . . . . . . 8  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( Rel tpos  F  /\  Rel  dom tpos  F ) )
7 relrelss 5154 . . . . . . . 8  |-  ( ( Rel tpos  F  /\  Rel  dom tpos  F )  <-> tpos  F  C_  ( ( _V  X.  _V )  X. 
_V ) )
86, 7sylib 122 . . . . . . 7  |-  ( Rel 
dom  F  -> tpos  F  C_  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
)
98sseld 3154 . . . . . 6  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( w  e. tpos  F  ->  w  e.  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
) )
10 elvvv 4688 . . . . . 6  |-  ( w  e.  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V ) 
<->  E. x E. y E. z  w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >. )
119, 10syl6ib 161 . . . . 5  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( w  e. tpos  F  ->  E. x E. y E. z  w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >. ) )
1211pm4.71rd 394 . . . 4  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( w  e. tpos  F  <->  ( E. x E. y E. z  w  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  w  e. tpos  F
) ) )
13 19.41vvv 1904 . . . . 5  |-  ( E. x E. y E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\  w  e. tpos  F )  <-> 
( E. x E. y E. z  w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\  w  e. tpos  F ) )
14 eleq1 2240 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( w  e. tpos  F  <->  <. <. x ,  y >. ,  z >.  e. tpos  F
) )
15 df-br 4003 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.tpos  F z  <->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e. tpos  F )
16 vex 2740 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
17 vex 2740 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
18 vex 2740 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
19 brtposg 6252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( <. x ,  y >.tpos  F z  <->  <. y ,  x >. F z ) )
2016, 17, 18, 19mp3an 1337 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.tpos  F z  <->  <. y ,  x >. F z )
2115, 20bitr3i 186 . . . . . . . 8  |-  ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e. tpos  F  <->  <.
y ,  x >. F z )
2214, 21bitrdi 196 . . . . . . 7  |-  ( w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( w  e. tpos  F  <->  <.
y ,  x >. F z ) )
2322pm5.32i 454 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  w  e. tpos  F
)  <->  ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
<. y ,  x >. F z ) )
24233exbii 1607 . . . . 5  |-  ( E. x E. y E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\  w  e. tpos  F )  <->  E. x E. y E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
<. y ,  x >. F z ) )
2513, 24bitr3i 186 . . . 4  |-  ( ( E. x E. y E. z  w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\  w  e. tpos  F )  <->  E. x E. y E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
<. y ,  x >. F z ) )
2612, 25bitrdi 196 . . 3  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( w  e. tpos  F  <->  E. x E. y E. z ( w  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  <. y ,  x >. F z ) ) )
2726abbi2dv 2296 . 2  |-  ( Rel 
dom  F  -> tpos  F  =  { w  |  E. x E. y E. z
( w  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  <. y ,  x >. F z ) } )
28 df-oprab 5876 . 2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  <. y ,  x >. F z }  =  { w  |  E. x E. y E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
<. y ,  x >. F z ) }
2927, 28eqtr4di 2228 1  |-  ( Rel 
dom  F  -> tpos  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
<. y ,  x >. F z } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   {cab 2163   _Vcvv 2737    C_ wss 3129   <.cop 3595   class class class wbr 4002    X. cxp 4623   `'ccnv 4624   dom cdm 4625   Rel wrel 4630   {coprab 5873  tpos ctpos 6242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-fv 5223  df-oprab 5876  df-tpos 6243
This theorem is referenced by:  tposoprab  6278
  Copyright terms: Public domain W3C validator