Theorem en2m 6999

Description: A set with two elements is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
en2m	|- ( A ~~ 2o -> E. x x e. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem en2m

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2 6998	. 2 |- ( A ~~ 2o -> E. y E. x A = { y , x } )
2		vex 2805	. . . . . . 7 |- x e. _V
3	2	prid2 3778	. . . . . 6 |- x e. { y , x }
4		eleq2 2295	. . . . . 6 |- ( A = { y , x } -> ( x e. A <-> x e. { y , x } ) )
5	3, 4	mpbiri 168	. . . . 5 |- ( A = { y , x } -> x e. A )
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( A ~~ 2o -> ( A = { y , x } -> x e. A ) )
7	6	eximdv 1928	. . 3 |- ( A ~~ 2o -> ( E. x A = { y , x } -> E. x x e. A ) )
8	7	imp 124	. 2 |- ( ( A ~~ 2o /\ E. x A = { y , x } ) -> E. x x e. A )
9	1, 8	exlimddv 1947	1 |- ( A ~~ 2o -> E. x x e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   {cpr 3670   class class class wbr 4088   2oc2o 6576   ~~ cen 6907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1o 6582  df-2o 6583  df-en 6910

This theorem is referenced by:  sspw1or2  7403  upgrm  15957  upgruhgr  15968  uspgrushgr  16037