Theorem en2m 7042

Description: A set with two elements is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
en2m	|- ( A ~~ 2o -> E. x x e. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem en2m

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2 7041	. 2 |- ( A ~~ 2o -> E. y E. x A = { y , x } )
2		vex 2806	. . . . . . 7 |- x e. _V
3	2	prid2 3782	. . . . . 6 |- x e. { y , x }
4		eleq2 2295	. . . . . 6 |- ( A = { y , x } -> ( x e. A <-> x e. { y , x } ) )
5	3, 4	mpbiri 168	. . . . 5 |- ( A = { y , x } -> x e. A )
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( A ~~ 2o -> ( A = { y , x } -> x e. A ) )
7	6	eximdv 1928	. . 3 |- ( A ~~ 2o -> ( E. x A = { y , x } -> E. x x e. A ) )
8	7	imp 124	. 2 |- ( ( A ~~ 2o /\ E. x A = { y , x } ) -> E. x x e. A )
9	1, 8	exlimddv 1947	1 |- ( A ~~ 2o -> E. x x e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   {cpr 3674   class class class wbr 4093   2oc2o 6619   ~~ cen 6950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-1o 6625  df-2o 6626  df-en 6953

This theorem is referenced by:  sspw1or2  7446  upgrm  16021  upgruhgr  16032  uspgrushgr  16101