Theorem en2m 6964

Description: A set with two elements is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
en2m	|- ( A ~~ 2o -> E. x x e. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem en2m

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2 6963	. 2 |- ( A ~~ 2o -> E. y E. x A = { y , x } )
2		vex 2802	. . . . . . 7 |- x e. _V
3	2	prid2 3773	. . . . . 6 |- x e. { y , x }
4		eleq2 2293	. . . . . 6 |- ( A = { y , x } -> ( x e. A <-> x e. { y , x } ) )
5	3, 4	mpbiri 168	. . . . 5 |- ( A = { y , x } -> x e. A )
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( A ~~ 2o -> ( A = { y , x } -> x e. A ) )
7	6	eximdv 1926	. . 3 |- ( A ~~ 2o -> ( E. x A = { y , x } -> E. x x e. A ) )
8	7	imp 124	. 2 |- ( ( A ~~ 2o /\ E. x A = { y , x } ) -> E. x x e. A )
9	1, 8	exlimddv 1945	1 |- ( A ~~ 2o -> E. x x e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   {cpr 3667   class class class wbr 4082   2oc2o 6546   ~~ cen 6875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-suc 4459  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-1o 6552  df-2o 6553  df-en 6878

This theorem is referenced by:  upgrm  15885  upgruhgr  15896  uspgrushgr  15963