Theorem uspgrushgr 16058

Description: A simple pseudograph is an undirected simple hypergraph. (Contributed by AV, 19-Jan-2020.) (Revised by AV, 15-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uspgrushgr	|- ( G e. USPGraph -> G e. USHGraph )

Proof of Theorem uspgrushgr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . . 5 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
2		eqid 2231	. . . . 5 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
3	1, 2	isuspgren 16035	. . . 4 |- ( G e. USPGraph -> ( G e. USPGraph <-> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
4		en1m 6982	. . . . . . . 8 |- ( x ~~ 1o -> E. y y e. x )
5		en2m 7002	. . . . . . . 8 |- ( x ~~ 2o -> E. y y e. x )
6	4, 5	jaoi 723	. . . . . . 7 |- ( ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) -> E. y y e. x )
7	6	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x e. ~P (Vtx ` G ) -> ( ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) -> E. y y e. x ) )
8	7	ss2rabi 3309	. . . . 5 |- { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } C_ { x e. ~P (Vtx ` G ) | E. y y e. x }
9		f1ss 5549	. . . . 5 |- ( ( (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } C_ { x e. ~P (Vtx ` G ) | E. y y e. x } ) -> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | E. y y e. x } )
10	8, 9	mpan2 425	. . . 4 |- ( (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } -> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | E. y y e. x } )
11	3, 10	biimtrdi 163	. . 3 |- ( G e. USPGraph -> ( G e. USPGraph -> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | E. y y e. x } ) )
12	1, 2	isushgrm 15950	. . 3 |- ( G e. USPGraph -> ( G e. USHGraph <-> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | E. y y e. x } ) )
13	11, 12	sylibrd 169	. 2 |- ( G e. USPGraph -> ( G e. USPGraph -> G e. USHGraph ) )
14	13	pm2.43i 49	1 |- ( G e. USPGraph -> G e. USHGraph )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 715   E.wex 1540   e. wcel 2202   {crab 2514   C_ wss 3200   ~Pcpw 3652   class class class wbr 4088   dom cdm 4725   -1-1->wf1 5323   ` cfv 5326   1oc1o 6578   2oc2o 6579   ~~ cen 6910  Vtxcvtx 15890  iEdgciedg 15891  USHGraphcushgr 15946  USPGraphcuspgr 16031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-mulcom 8136  ax-addass 8137  ax-mulass 8138  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-1rid 8142  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-cnre 8146

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-1o 6585  df-2o 6586  df-en 6913  df-sub 8355  df-inn 9147  df-2 9205  df-3 9206  df-4 9207  df-5 9208  df-6 9209  df-7 9210  df-8 9211  df-9 9212  df-n0 9406  df-dec 9615  df-ndx 13106  df-slot 13107  df-base 13109  df-edgf 15883  df-vtx 15892  df-iedg 15893  df-ushgrm 15948  df-uspgren 16033

This theorem is referenced by:  uspgrupgrushgr  16060  usgredgedg  16105  vtxduspgrfvedgfilem  16178  vtxduspgrfvedgfi  16179