Theorem en2m 7065

Description: A set with two elements is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
en2m	⊢ (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem en2m

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2 7064	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑦∃𝑥 𝐴 = {𝑦, 𝑥})
2		vex 2815	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	prid2 3797	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ {𝑦, 𝑥}
4		eleq2 2296	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = {𝑦, 𝑥} → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ {𝑦, 𝑥}))
5	3, 4	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑦, 𝑥} → 𝑥 ∈ 𝐴)
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 2o → (𝐴 = {𝑦, 𝑥} → 𝑥 ∈ 𝐴))
7	6	eximdv 1929	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 2o → (∃𝑥 𝐴 = {𝑦, 𝑥} → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
8	7	imp 124	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 2o ∧ ∃𝑥 𝐴 = {𝑦, 𝑥}) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
9	1, 8	exlimddv 1948	1 ⊢ (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203  {cpr 3689   class class class wbr 4108  2_oc2o 6640   ≈ cen 6972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-1o 6646  df-2o 6647  df-en 6975

This theorem is referenced by:  sspw1or2  7494  upgrm  16087  upgruhgr  16098  uspgrushgr  16167