Theorem en2m 6924

Description: A set with two elements is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
en2m	⊢ (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem en2m

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2 6923	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑦∃𝑥 𝐴 = {𝑦, 𝑥})
2		vex 2776	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	prid2 3742	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ {𝑦, 𝑥}
4		eleq2 2270	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = {𝑦, 𝑥} → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ {𝑦, 𝑥}))
5	3, 4	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑦, 𝑥} → 𝑥 ∈ 𝐴)
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 2o → (𝐴 = {𝑦, 𝑥} → 𝑥 ∈ 𝐴))
7	6	eximdv 1904	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 2o → (∃𝑥 𝐴 = {𝑦, 𝑥} → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
8	7	imp 124	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 2o ∧ ∃𝑥 𝐴 = {𝑦, 𝑥}) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
9	1, 8	exlimddv 1923	1 ⊢ (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177  {cpr 3636   class class class wbr 4048  2_oc2o 6506   ≈ cen 6835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-br 4049  df-opab 4111  df-tr 4148  df-id 4345  df-iord 4418  df-on 4420  df-suc 4423  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-1o 6512  df-2o 6513  df-en 6838

This theorem is referenced by:  upgrm  15746  upgruhgr  15757