Theorem en2m 7079

Description: A set with two elements is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
en2m	⊢ (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem en2m

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2 7078	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑦∃𝑥 𝐴 = {𝑦, 𝑥})
2		vex 2818	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	prid2 3803	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ {𝑦, 𝑥}
4		eleq2 2298	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = {𝑦, 𝑥} → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ {𝑦, 𝑥}))
5	3, 4	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑦, 𝑥} → 𝑥 ∈ 𝐴)
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 2o → (𝐴 = {𝑦, 𝑥} → 𝑥 ∈ 𝐴))
7	6	eximdv 1929	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 2o → (∃𝑥 𝐴 = {𝑦, 𝑥} → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
8	7	imp 124	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 2o ∧ ∃𝑥 𝐴 = {𝑦, 𝑥}) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
9	1, 8	exlimddv 1950	1 ⊢ (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  {cpr 3695   class class class wbr 4114  2_oc2o 6654   ≈ cen 6986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1o 6660  df-2o 6661  df-en 6989

This theorem is referenced by:  sspw1or2  7508  upgrm  16207  upgruhgr  16218  uspgrushgr  16287