Theorem en2m 7107

Description: A set with two elements is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
en2m	⊢ (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem en2m

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2 7106	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑦∃𝑥 𝐴 = {𝑦, 𝑥})
2		vex 2824	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	prid2 3817	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ {𝑦, 𝑥}
4		eleq2 2302	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = {𝑦, 𝑥} → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ {𝑦, 𝑥}))
5	3, 4	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑦, 𝑥} → 𝑥 ∈ 𝐴)
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 2o → (𝐴 = {𝑦, 𝑥} → 𝑥 ∈ 𝐴))
7	6	eximdv 1933	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 2o → (∃𝑥 𝐴 = {𝑦, 𝑥} → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
8	7	imp 124	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 2o ∧ ∃𝑥 𝐴 = {𝑦, 𝑥}) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
9	1, 8	exlimddv 1954	1 ⊢ (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  {cpr 3709   class class class wbr 4128  2_oc2o 6675   ≈ cen 7014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-1o 6681  df-2o 6682  df-en 7017

This theorem is referenced by:  sspw1or2  7538  upgrm  16324  upgruhgr  16335  uspgrushgr  16404