Theorem xpmapenlem 6806

Description: Lemma for xpmapen 6807. (Contributed by NM, 1-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpmapen.1	|- A e. _V
xpmapen.2	|- B e. _V
xpmapen.3	|- C e. _V
xpmapenlem.4	|- D = ( z e. C |-> ( 1st ` ( x ` z ) ) )
xpmapenlem.5	|- R = ( z e. C |-> ( 2nd ` ( x ` z ) ) )
xpmapenlem.6	|- S = ( z e. C |-> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. )

Assertion

Ref	Expression
xpmapenlem	|- ( ( A X. B ) ^m C ) ~~ ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z   y, D, z   y, R, z   x, S, z

Allowed substitution hints:   D( x)   R( x)   S( y)

Proof of Theorem xpmapenlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6612	. . 3 |- ^m Fn ( _V X. _V )
2		xpmapen.1	. . . 4 |- A e. _V
3		xpmapen.2	. . . 4 |- B e. _V
4	2, 3	xpex 4713	. . 3 |- ( A X. B ) e. _V
5		xpmapen.3	. . 3 |- C e. _V
6		fnovex 5866	. . 3 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ ( A X. B ) e. _V /\ C e. _V ) -> ( ( A X. B ) ^m C ) e. _V )
7	1, 4, 5, 6	mp3an 1326	. 2 |- ( ( A X. B ) ^m C ) e. _V
8		fnovex 5866	. . . 4 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ A e. _V /\ C e. _V ) -> ( A ^m C ) e. _V )
9	1, 2, 5, 8	mp3an 1326	. . 3 |- ( A ^m C ) e. _V
10		fnovex 5866	. . . 4 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ B e. _V /\ C e. _V ) -> ( B ^m C ) e. _V )
11	1, 3, 5, 10	mp3an 1326	. . 3 |- ( B ^m C ) e. _V
12	9, 11	xpex 4713	. 2 |- ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) e. _V
13	4, 5	elmap 6634	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) <-> x : C --> ( A X. B ) )
14		ffvelrn 5612	. . . . . . 7 |- ( ( x : C --> ( A X. B ) /\ z e. C ) -> ( x ` z ) e. ( A X. B ) )
15	13, 14	sylanb 282	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ z e. C ) -> ( x ` z ) e. ( A X. B ) )
16		xp1st 6125	. . . . . 6 |- ( ( x ` z ) e. ( A X. B ) -> ( 1st ` ( x ` z ) ) e. A )
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ z e. C ) -> ( 1st ` ( x ` z ) ) e. A )
18		xpmapenlem.4	. . . . 5 |- D = ( z e. C |-> ( 1st ` ( x ` z ) ) )
19	17, 18	fmptd 5633	. . . 4 |- ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) -> D : C --> A )
20	2, 5	elmap 6634	. . . 4 |- ( D e. ( A ^m C ) <-> D : C --> A )
21	19, 20	sylibr 133	. . 3 |- ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) -> D e. ( A ^m C ) )
22		xp2nd 6126	. . . . . 6 |- ( ( x ` z ) e. ( A X. B ) -> ( 2nd ` ( x ` z ) ) e. B )
23	15, 22	syl 14	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ z e. C ) -> ( 2nd ` ( x ` z ) ) e. B )
24		xpmapenlem.5	. . . . 5 |- R = ( z e. C |-> ( 2nd ` ( x ` z ) ) )
25	23, 24	fmptd 5633	. . . 4 |- ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) -> R : C --> B )
26	3, 5	elmap 6634	. . . 4 |- ( R e. ( B ^m C ) <-> R : C --> B )
27	25, 26	sylibr 133	. . 3 |- ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) -> R e. ( B ^m C ) )
28		opelxpi 4630	. . 3 |- ( ( D e. ( A ^m C ) /\ R e. ( B ^m C ) ) -> <. D , R >. e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) )
29	21, 27, 28	syl2anc 409	. 2 |- ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) -> <. D , R >. e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) )
30		xp1st 6125	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> ( 1st ` y ) e. ( A ^m C ) )
31	2, 5	elmap 6634	. . . . . . 7 |- ( ( 1st ` y ) e. ( A ^m C ) <-> ( 1st ` y ) : C --> A )
32	30, 31	sylib 121	. . . . . 6 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> ( 1st ` y ) : C --> A )
33	32	ffvelrnda 5614	. . . . 5 |- ( ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) /\ z e. C ) -> ( ( 1st ` y ) ` z ) e. A )
34		xp2nd 6126	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> ( 2nd ` y ) e. ( B ^m C ) )
35	3, 5	elmap 6634	. . . . . . 7 |- ( ( 2nd ` y ) e. ( B ^m C ) <-> ( 2nd ` y ) : C --> B )
36	34, 35	sylib 121	. . . . . 6 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> ( 2nd ` y ) : C --> B )
37	36	ffvelrnda 5614	. . . . 5 |- ( ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) /\ z e. C ) -> ( ( 2nd ` y ) ` z ) e. B )
38		opelxpi 4630	. . . . 5 |- ( ( ( ( 1st ` y ) ` z ) e. A /\ ( ( 2nd ` y ) ` z ) e. B ) -> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. e. ( A X. B ) )
39	33, 37, 38	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) /\ z e. C ) -> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. e. ( A X. B ) )
40		xpmapenlem.6	. . . 4 |- S = ( z e. C |-> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. )
41	39, 40	fmptd 5633	. . 3 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> S : C --> ( A X. B ) )
42	4, 5	elmap 6634	. . 3 |- ( S e. ( ( A X. B ) ^m C ) <-> S : C --> ( A X. B ) )
43	41, 42	sylibr 133	. 2 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> S e. ( ( A X. B ) ^m C ) )
44		1st2nd2 6135	. . . . 5 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> y = <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. )
45	44	ad2antlr 481	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> y = <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. )
46	32	feqmptd 5533	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> ( 1st ` y ) = ( z e. C |-> ( ( 1st ` y ) ` z ) ) )
47	46	ad2antlr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> ( 1st ` y ) = ( z e. C |-> ( ( 1st ` y ) ` z ) ) )
48		simplr 520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> x = S )
49	48	fveq1d 5482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( x ` z ) = ( S ` z ) )
50		vex 2724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
51		1stexg 6127	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. _V -> ( 1st ` y ) e. _V )
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1st ` y ) e. _V
53		vex 2724	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
54	52, 53	fvex 5500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1st ` y ) ` z ) e. _V
55		2ndexg 6128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. _V -> ( 2nd ` y ) e. _V )
56	50, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2nd ` y ) e. _V
57	56, 53	fvex 5500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2nd ` y ) ` z ) e. _V
58	54, 57	opex 4201	. . . . . . . . . . . . 13 |- <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. e. _V
59	40	fvmpt2 5563	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. C /\ <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. e. _V ) -> ( S ` z ) = <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. )
60	58, 59	mpan2 422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. C -> ( S ` z ) = <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. )
61	60	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( S ` z ) = <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. )
62	49, 61	eqtrd 2197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( x ` z ) = <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. )
63	62	fveq2d 5484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( 1st ` ( x ` z ) ) = ( 1st ` <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. ) )
64	54, 57	op1st 6106	. . . . . . . . 9 |- ( 1st ` <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. ) = ( ( 1st ` y ) ` z )
65	63, 64	eqtrdi 2213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( 1st ` ( x ` z ) ) = ( ( 1st ` y ) ` z ) )
66	65	mpteq2dva 4066	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> ( z e. C |-> ( 1st ` ( x ` z ) ) ) = ( z e. C |-> ( ( 1st ` y ) ` z ) ) )
67	18, 66	syl5eq 2209	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> D = ( z e. C |-> ( ( 1st ` y ) ` z ) ) )
68	47, 67	eqtr4d 2200	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> ( 1st ` y ) = D )
69	36	feqmptd 5533	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> ( 2nd ` y ) = ( z e. C |-> ( ( 2nd ` y ) ` z ) ) )
70	69	ad2antlr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> ( 2nd ` y ) = ( z e. C |-> ( ( 2nd ` y ) ` z ) ) )
71	62	fveq2d 5484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( 2nd ` ( x ` z ) ) = ( 2nd ` <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. ) )
72	54, 57	op2nd 6107	. . . . . . . . 9 |- ( 2nd ` <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. ) = ( ( 2nd ` y ) ` z )
73	71, 72	eqtrdi 2213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( 2nd ` ( x ` z ) ) = ( ( 2nd ` y ) ` z ) )
74	73	mpteq2dva 4066	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> ( z e. C |-> ( 2nd ` ( x ` z ) ) ) = ( z e. C |-> ( ( 2nd ` y ) ` z ) ) )
75	24, 74	syl5eq 2209	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> R = ( z e. C |-> ( ( 2nd ` y ) ` z ) ) )
76	70, 75	eqtr4d 2200	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> ( 2nd ` y ) = R )
77	68, 76	opeq12d 3760	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. = <. D , R >. )
78	45, 77	eqtrd 2197	. . 3 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> y = <. D , R >. )
79		simpll 519	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> x e. ( ( A X. B ) ^m C ) )
80	79, 13	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> x : C --> ( A X. B ) )
81	80	feqmptd 5533	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> x = ( z e. C |-> ( x ` z ) ) )
82		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> y = <. D , R >. )
83	82	fveq2d 5484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( 1st ` y ) = ( 1st ` <. D , R >. ) )
84	21	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> D e. ( A ^m C ) )
85	27	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> R e. ( B ^m C ) )
86		op1stg 6110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( A ^m C ) /\ R e. ( B ^m C ) ) -> ( 1st ` <. D , R >. ) = D )
87	84, 85, 86	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( 1st ` <. D , R >. ) = D )
88	83, 87	eqtrd 2197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( 1st ` y ) = D )
89	88	fveq1d 5482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( ( 1st ` y ) ` z ) = ( D ` z ) )
90		vex 2724	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
91	90, 53	fvex 5500	. . . . . . . . . . 11 |- ( x ` z ) e. _V
92		1stexg 6127	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x ` z ) e. _V -> ( 1st ` ( x ` z ) ) e. _V )
93	91, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 1st ` ( x ` z ) ) e. _V
94	18	fvmpt2 5563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. C /\ ( 1st ` ( x ` z ) ) e. _V ) -> ( D ` z ) = ( 1st ` ( x ` z ) ) )
95	93, 94	mpan2 422	. . . . . . . . 9 |- ( z e. C -> ( D ` z ) = ( 1st ` ( x ` z ) ) )
96	89, 95	sylan9eq 2217	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) /\ z e. C ) -> ( ( 1st ` y ) ` z ) = ( 1st ` ( x ` z ) ) )
97	82	fveq2d 5484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( 2nd ` y ) = ( 2nd ` <. D , R >. ) )
98		op2ndg 6111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( A ^m C ) /\ R e. ( B ^m C ) ) -> ( 2nd ` <. D , R >. ) = R )
99	84, 85, 98	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( 2nd ` <. D , R >. ) = R )
100	97, 99	eqtrd 2197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( 2nd ` y ) = R )
101	100	fveq1d 5482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( ( 2nd ` y ) ` z ) = ( R ` z ) )
102		2ndexg 6128	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x ` z ) e. _V -> ( 2nd ` ( x ` z ) ) e. _V )
103	91, 102	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 2nd ` ( x ` z ) ) e. _V
104	24	fvmpt2 5563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. C /\ ( 2nd ` ( x ` z ) ) e. _V ) -> ( R ` z ) = ( 2nd ` ( x ` z ) ) )
105	103, 104	mpan2 422	. . . . . . . . 9 |- ( z e. C -> ( R ` z ) = ( 2nd ` ( x ` z ) ) )
106	101, 105	sylan9eq 2217	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) /\ z e. C ) -> ( ( 2nd ` y ) ` z ) = ( 2nd ` ( x ` z ) ) )
107	96, 106	opeq12d 3760	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) /\ z e. C ) -> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. = <. ( 1st ` ( x ` z ) ) , ( 2nd ` ( x ` z ) ) >. )
108	80	ffvelrnda 5614	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) /\ z e. C ) -> ( x ` z ) e. ( A X. B ) )
109		1st2nd2 6135	. . . . . . . 8 |- ( ( x ` z ) e. ( A X. B ) -> ( x ` z ) = <. ( 1st ` ( x ` z ) ) , ( 2nd ` ( x ` z ) ) >. )
110	108, 109	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) /\ z e. C ) -> ( x ` z ) = <. ( 1st ` ( x ` z ) ) , ( 2nd ` ( x ` z ) ) >. )
111	107, 110	eqtr4d 2200	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) /\ z e. C ) -> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. = ( x ` z ) )
112	111	mpteq2dva 4066	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( z e. C |-> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. ) = ( z e. C |-> ( x ` z ) ) )
113	40, 112	syl5eq 2209	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> S = ( z e. C |-> ( x ` z ) ) )
114	81, 113	eqtr4d 2200	. . 3 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> x = S )
115	78, 114	impbida 586	. 2 |- ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) -> ( x = S <-> y = <. D , R >. ) )
116	7, 12, 29, 43, 115	en3i 6728	1 |- ( ( A X. B ) ^m C ) ~~ ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1342   e. wcel 2135   _Vcvv 2721   <.cop 3573   class class class wbr 3976   |-> cmpt 4037   X. cxp 4596   Fn wfn 5177   -->wf 5178   ` cfv 5182  (class class class)co 5836   1stc1st 6098   2ndc2nd 6099   ^m cmap 6605   ~~ cen 6695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-map 6607  df-en 6698

This theorem is referenced by:  xpmapen  6807