Theorem xpmapenlem 6919

Description: Lemma for xpmapen 6920. (Contributed by NM, 1-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpmapen.1	|- A e. _V
xpmapen.2	|- B e. _V
xpmapen.3	|- C e. _V
xpmapenlem.4	|- D = ( z e. C |-> ( 1st ` ( x ` z ) ) )
xpmapenlem.5	|- R = ( z e. C |-> ( 2nd ` ( x ` z ) ) )
xpmapenlem.6	|- S = ( z e. C |-> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. )

Assertion

Ref	Expression
xpmapenlem	|- ( ( A X. B ) ^m C ) ~~ ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z   y, D, z   y, R, z   x, S, z

Allowed substitution hints:   D( x)   R( x)   S( y)

Proof of Theorem xpmapenlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6723	. . 3 |- ^m Fn ( _V X. _V )
2		xpmapen.1	. . . 4 |- A e. _V
3		xpmapen.2	. . . 4 |- B e. _V
4	2, 3	xpex 4779	. . 3 |- ( A X. B ) e. _V
5		xpmapen.3	. . 3 |- C e. _V
6		fnovex 5958	. . 3 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ ( A X. B ) e. _V /\ C e. _V ) -> ( ( A X. B ) ^m C ) e. _V )
7	1, 4, 5, 6	mp3an 1348	. 2 |- ( ( A X. B ) ^m C ) e. _V
8		fnovex 5958	. . . 4 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ A e. _V /\ C e. _V ) -> ( A ^m C ) e. _V )
9	1, 2, 5, 8	mp3an 1348	. . 3 |- ( A ^m C ) e. _V
10		fnovex 5958	. . . 4 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ B e. _V /\ C e. _V ) -> ( B ^m C ) e. _V )
11	1, 3, 5, 10	mp3an 1348	. . 3 |- ( B ^m C ) e. _V
12	9, 11	xpex 4779	. 2 |- ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) e. _V
13	4, 5	elmap 6745	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) <-> x : C --> ( A X. B ) )
14		ffvelcdm 5698	. . . . . . 7 |- ( ( x : C --> ( A X. B ) /\ z e. C ) -> ( x ` z ) e. ( A X. B ) )
15	13, 14	sylanb 284	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ z e. C ) -> ( x ` z ) e. ( A X. B ) )
16		xp1st 6232	. . . . . 6 |- ( ( x ` z ) e. ( A X. B ) -> ( 1st ` ( x ` z ) ) e. A )
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ z e. C ) -> ( 1st ` ( x ` z ) ) e. A )
18		xpmapenlem.4	. . . . 5 |- D = ( z e. C |-> ( 1st ` ( x ` z ) ) )
19	17, 18	fmptd 5719	. . . 4 |- ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) -> D : C --> A )
20	2, 5	elmap 6745	. . . 4 |- ( D e. ( A ^m C ) <-> D : C --> A )
21	19, 20	sylibr 134	. . 3 |- ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) -> D e. ( A ^m C ) )
22		xp2nd 6233	. . . . . 6 |- ( ( x ` z ) e. ( A X. B ) -> ( 2nd ` ( x ` z ) ) e. B )
23	15, 22	syl 14	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ z e. C ) -> ( 2nd ` ( x ` z ) ) e. B )
24		xpmapenlem.5	. . . . 5 |- R = ( z e. C |-> ( 2nd ` ( x ` z ) ) )
25	23, 24	fmptd 5719	. . . 4 |- ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) -> R : C --> B )
26	3, 5	elmap 6745	. . . 4 |- ( R e. ( B ^m C ) <-> R : C --> B )
27	25, 26	sylibr 134	. . 3 |- ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) -> R e. ( B ^m C ) )
28		opelxpi 4696	. . 3 |- ( ( D e. ( A ^m C ) /\ R e. ( B ^m C ) ) -> <. D , R >. e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) )
29	21, 27, 28	syl2anc 411	. 2 |- ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) -> <. D , R >. e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) )
30		xp1st 6232	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> ( 1st ` y ) e. ( A ^m C ) )
31	2, 5	elmap 6745	. . . . . . 7 |- ( ( 1st ` y ) e. ( A ^m C ) <-> ( 1st ` y ) : C --> A )
32	30, 31	sylib 122	. . . . . 6 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> ( 1st ` y ) : C --> A )
33	32	ffvelcdmda 5700	. . . . 5 |- ( ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) /\ z e. C ) -> ( ( 1st ` y ) ` z ) e. A )
34		xp2nd 6233	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> ( 2nd ` y ) e. ( B ^m C ) )
35	3, 5	elmap 6745	. . . . . . 7 |- ( ( 2nd ` y ) e. ( B ^m C ) <-> ( 2nd ` y ) : C --> B )
36	34, 35	sylib 122	. . . . . 6 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> ( 2nd ` y ) : C --> B )
37	36	ffvelcdmda 5700	. . . . 5 |- ( ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) /\ z e. C ) -> ( ( 2nd ` y ) ` z ) e. B )
38		opelxpi 4696	. . . . 5 |- ( ( ( ( 1st ` y ) ` z ) e. A /\ ( ( 2nd ` y ) ` z ) e. B ) -> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. e. ( A X. B ) )
39	33, 37, 38	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) /\ z e. C ) -> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. e. ( A X. B ) )
40		xpmapenlem.6	. . . 4 |- S = ( z e. C |-> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. )
41	39, 40	fmptd 5719	. . 3 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> S : C --> ( A X. B ) )
42	4, 5	elmap 6745	. . 3 |- ( S e. ( ( A X. B ) ^m C ) <-> S : C --> ( A X. B ) )
43	41, 42	sylibr 134	. 2 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> S e. ( ( A X. B ) ^m C ) )
44		1st2nd2 6242	. . . . 5 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> y = <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. )
45	44	ad2antlr 489	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> y = <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. )
46	32	feqmptd 5617	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> ( 1st ` y ) = ( z e. C |-> ( ( 1st ` y ) ` z ) ) )
47	46	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> ( 1st ` y ) = ( z e. C |-> ( ( 1st ` y ) ` z ) ) )
48		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> x = S )
49	48	fveq1d 5563	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( x ` z ) = ( S ` z ) )
50		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
51		1stexg 6234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. _V -> ( 1st ` y ) e. _V )
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1st ` y ) e. _V
53		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
54	52, 53	fvex 5581	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1st ` y ) ` z ) e. _V
55		2ndexg 6235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. _V -> ( 2nd ` y ) e. _V )
56	50, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2nd ` y ) e. _V
57	56, 53	fvex 5581	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2nd ` y ) ` z ) e. _V
58	54, 57	opex 4263	. . . . . . . . . . . . 13 |- <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. e. _V
59	40	fvmpt2 5648	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. C /\ <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. e. _V ) -> ( S ` z ) = <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. )
60	58, 59	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. C -> ( S ` z ) = <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. )
61	60	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( S ` z ) = <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. )
62	49, 61	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( x ` z ) = <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. )
63	62	fveq2d 5565	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( 1st ` ( x ` z ) ) = ( 1st ` <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. ) )
64	54, 57	op1st 6213	. . . . . . . . 9 |- ( 1st ` <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. ) = ( ( 1st ` y ) ` z )
65	63, 64	eqtrdi 2245	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( 1st ` ( x ` z ) ) = ( ( 1st ` y ) ` z ) )
66	65	mpteq2dva 4124	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> ( z e. C |-> ( 1st ` ( x ` z ) ) ) = ( z e. C |-> ( ( 1st ` y ) ` z ) ) )
67	18, 66	eqtrid 2241	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> D = ( z e. C |-> ( ( 1st ` y ) ` z ) ) )
68	47, 67	eqtr4d 2232	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> ( 1st ` y ) = D )
69	36	feqmptd 5617	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> ( 2nd ` y ) = ( z e. C |-> ( ( 2nd ` y ) ` z ) ) )
70	69	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> ( 2nd ` y ) = ( z e. C |-> ( ( 2nd ` y ) ` z ) ) )
71	62	fveq2d 5565	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( 2nd ` ( x ` z ) ) = ( 2nd ` <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. ) )
72	54, 57	op2nd 6214	. . . . . . . . 9 |- ( 2nd ` <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. ) = ( ( 2nd ` y ) ` z )
73	71, 72	eqtrdi 2245	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( 2nd ` ( x ` z ) ) = ( ( 2nd ` y ) ` z ) )
74	73	mpteq2dva 4124	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> ( z e. C |-> ( 2nd ` ( x ` z ) ) ) = ( z e. C |-> ( ( 2nd ` y ) ` z ) ) )
75	24, 74	eqtrid 2241	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> R = ( z e. C |-> ( ( 2nd ` y ) ` z ) ) )
76	70, 75	eqtr4d 2232	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> ( 2nd ` y ) = R )
77	68, 76	opeq12d 3817	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. = <. D , R >. )
78	45, 77	eqtrd 2229	. . 3 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> y = <. D , R >. )
79		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> x e. ( ( A X. B ) ^m C ) )
80	79, 13	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> x : C --> ( A X. B ) )
81	80	feqmptd 5617	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> x = ( z e. C |-> ( x ` z ) ) )
82		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> y = <. D , R >. )
83	82	fveq2d 5565	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( 1st ` y ) = ( 1st ` <. D , R >. ) )
84	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> D e. ( A ^m C ) )
85	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> R e. ( B ^m C ) )
86		op1stg 6217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( A ^m C ) /\ R e. ( B ^m C ) ) -> ( 1st ` <. D , R >. ) = D )
87	84, 85, 86	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( 1st ` <. D , R >. ) = D )
88	83, 87	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( 1st ` y ) = D )
89	88	fveq1d 5563	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( ( 1st ` y ) ` z ) = ( D ` z ) )
90		vex 2766	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
91	90, 53	fvex 5581	. . . . . . . . . . 11 |- ( x ` z ) e. _V
92		1stexg 6234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x ` z ) e. _V -> ( 1st ` ( x ` z ) ) e. _V )
93	91, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 1st ` ( x ` z ) ) e. _V
94	18	fvmpt2 5648	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. C /\ ( 1st ` ( x ` z ) ) e. _V ) -> ( D ` z ) = ( 1st ` ( x ` z ) ) )
95	93, 94	mpan2 425	. . . . . . . . 9 |- ( z e. C -> ( D ` z ) = ( 1st ` ( x ` z ) ) )
96	89, 95	sylan9eq 2249	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) /\ z e. C ) -> ( ( 1st ` y ) ` z ) = ( 1st ` ( x ` z ) ) )
97	82	fveq2d 5565	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( 2nd ` y ) = ( 2nd ` <. D , R >. ) )
98		op2ndg 6218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( A ^m C ) /\ R e. ( B ^m C ) ) -> ( 2nd ` <. D , R >. ) = R )
99	84, 85, 98	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( 2nd ` <. D , R >. ) = R )
100	97, 99	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( 2nd ` y ) = R )
101	100	fveq1d 5563	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( ( 2nd ` y ) ` z ) = ( R ` z ) )
102		2ndexg 6235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x ` z ) e. _V -> ( 2nd ` ( x ` z ) ) e. _V )
103	91, 102	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 2nd ` ( x ` z ) ) e. _V
104	24	fvmpt2 5648	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. C /\ ( 2nd ` ( x ` z ) ) e. _V ) -> ( R ` z ) = ( 2nd ` ( x ` z ) ) )
105	103, 104	mpan2 425	. . . . . . . . 9 |- ( z e. C -> ( R ` z ) = ( 2nd ` ( x ` z ) ) )
106	101, 105	sylan9eq 2249	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) /\ z e. C ) -> ( ( 2nd ` y ) ` z ) = ( 2nd ` ( x ` z ) ) )
107	96, 106	opeq12d 3817	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) /\ z e. C ) -> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. = <. ( 1st ` ( x ` z ) ) , ( 2nd ` ( x ` z ) ) >. )
108	80	ffvelcdmda 5700	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) /\ z e. C ) -> ( x ` z ) e. ( A X. B ) )
109		1st2nd2 6242	. . . . . . . 8 |- ( ( x ` z ) e. ( A X. B ) -> ( x ` z ) = <. ( 1st ` ( x ` z ) ) , ( 2nd ` ( x ` z ) ) >. )
110	108, 109	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) /\ z e. C ) -> ( x ` z ) = <. ( 1st ` ( x ` z ) ) , ( 2nd ` ( x ` z ) ) >. )
111	107, 110	eqtr4d 2232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) /\ z e. C ) -> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. = ( x ` z ) )
112	111	mpteq2dva 4124	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( z e. C |-> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. ) = ( z e. C |-> ( x ` z ) ) )
113	40, 112	eqtrid 2241	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> S = ( z e. C |-> ( x ` z ) ) )
114	81, 113	eqtr4d 2232	. . 3 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> x = S )
115	78, 114	impbida 596	. 2 |- ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) -> ( x = S <-> y = <. D , R >. ) )
116	7, 12, 29, 43, 115	en3i 6839	1 |- ( ( A X. B ) ^m C ) ~~ ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   <.cop 3626   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   X. cxp 4662   Fn wfn 5254   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   1stc1st 6205   2ndc2nd 6206   ^m cmap 6716   ~~ cen 6806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-en 6809

This theorem is referenced by:  xpmapen  6920