Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpmapenlem Unicode version

Theorem xpmapenlem 6750
 Description: Lemma for xpmapen 6751. (Contributed by NM, 1-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
xpmapen.1
xpmapen.2
xpmapen.3
xpmapenlem.4
xpmapenlem.5
xpmapenlem.6
Assertion
Ref Expression
xpmapenlem
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem xpmapenlem
StepHypRef Expression
1 fnmap 6556 . . 3
2 xpmapen.1 . . . 4
3 xpmapen.2 . . . 4
42, 3xpex 4661 . . 3
5 xpmapen.3 . . 3
6 fnovex 5811 . . 3
71, 4, 5, 6mp3an 1316 . 2
8 fnovex 5811 . . . 4
91, 2, 5, 8mp3an 1316 . . 3
10 fnovex 5811 . . . 4
111, 3, 5, 10mp3an 1316 . . 3
129, 11xpex 4661 . 2
134, 5elmap 6578 . . . . . . 7
14 ffvelrn 5560 . . . . . . 7
1513, 14sylanb 282 . . . . . 6
16 xp1st 6070 . . . . . 6
1715, 16syl 14 . . . . 5
18 xpmapenlem.4 . . . . 5
1917, 18fmptd 5581 . . . 4
202, 5elmap 6578 . . . 4
2119, 20sylibr 133 . . 3
22 xp2nd 6071 . . . . . 6
2315, 22syl 14 . . . . 5
24 xpmapenlem.5 . . . . 5
2523, 24fmptd 5581 . . . 4
263, 5elmap 6578 . . . 4
2725, 26sylibr 133 . . 3
28 opelxpi 4578 . . 3
2921, 27, 28syl2anc 409 . 2
30 xp1st 6070 . . . . . . 7
312, 5elmap 6578 . . . . . . 7
3230, 31sylib 121 . . . . . 6
3332ffvelrnda 5562 . . . . 5
34 xp2nd 6071 . . . . . . 7
353, 5elmap 6578 . . . . . . 7
3634, 35sylib 121 . . . . . 6
3736ffvelrnda 5562 . . . . 5
38 opelxpi 4578 . . . . 5
3933, 37, 38syl2anc 409 . . . 4
40 xpmapenlem.6 . . . 4
4139, 40fmptd 5581 . . 3
424, 5elmap 6578 . . 3
4341, 42sylibr 133 . 2
44 1st2nd2 6080 . . . . 5
4544ad2antlr 481 . . . 4
4632feqmptd 5481 . . . . . . 7
4746ad2antlr 481 . . . . . 6
48 simplr 520 . . . . . . . . . . . 12
4948fveq1d 5430 . . . . . . . . . . 11
50 vex 2692 . . . . . . . . . . . . . . . 16
51 1stexg 6072 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15
53 vex 2692 . . . . . . . . . . . . . . 15
5452, 53fvex 5448 . . . . . . . . . . . . . 14
55 2ndexg 6073 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5650, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15
5756, 53fvex 5448 . . . . . . . . . . . . . 14
5854, 57opex 4158 . . . . . . . . . . . . 13
5940fvmpt2 5511 . . . . . . . . . . . . 13
6058, 59mpan2 422 . . . . . . . . . . . 12
6160adantl 275 . . . . . . . . . . 11
6249, 61eqtrd 2173 . . . . . . . . . 10
6362fveq2d 5432 . . . . . . . . 9
6454, 57op1st 6051 . . . . . . . . 9
6563, 64eqtrdi 2189 . . . . . . . 8
6665mpteq2dva 4025 . . . . . . 7
6718, 66syl5eq 2185 . . . . . 6
6847, 67eqtr4d 2176 . . . . 5
6936feqmptd 5481 . . . . . . 7
7069ad2antlr 481 . . . . . 6
7162fveq2d 5432 . . . . . . . . 9
7254, 57op2nd 6052 . . . . . . . . 9
7371, 72eqtrdi 2189 . . . . . . . 8
7473mpteq2dva 4025 . . . . . . 7
7524, 74syl5eq 2185 . . . . . 6
7670, 75eqtr4d 2176 . . . . 5
7768, 76opeq12d 3720 . . . 4
7845, 77eqtrd 2173 . . 3
79 simpll 519 . . . . . 6
8079, 13sylib 121 . . . . 5
8180feqmptd 5481 . . . 4
82 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12
8382fveq2d 5432 . . . . . . . . . . 11
8421ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12
8527ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12
86 op1stg 6055 . . . . . . . . . . . 12
8784, 85, 86syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11
8883, 87eqtrd 2173 . . . . . . . . . 10
8988fveq1d 5430 . . . . . . . . 9
90 vex 2692 . . . . . . . . . . . 12
9190, 53fvex 5448 . . . . . . . . . . 11
92 1stexg 6072 . . . . . . . . . . 11
9391, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
9418fvmpt2 5511 . . . . . . . . . 10
9593, 94mpan2 422 . . . . . . . . 9
9689, 95sylan9eq 2193 . . . . . . . 8
9782fveq2d 5432 . . . . . . . . . . 11
98 op2ndg 6056 . . . . . . . . . . . 12
9984, 85, 98syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11
10097, 99eqtrd 2173 . . . . . . . . . 10
101100fveq1d 5430 . . . . . . . . 9
102 2ndexg 6073 . . . . . . . . . . 11
10391, 102ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
10424fvmpt2 5511 . . . . . . . . . 10
105103, 104mpan2 422 . . . . . . . . 9
106101, 105sylan9eq 2193 . . . . . . . 8
10796, 106opeq12d 3720 . . . . . . 7
10880ffvelrnda 5562 . . . . . . . 8
109 1st2nd2 6080 . . . . . . . 8
110108, 109syl 14 . . . . . . 7
111107, 110eqtr4d 2176 . . . . . 6
112111mpteq2dva 4025 . . . . 5
11340, 112syl5eq 2185 . . . 4
11481, 113eqtr4d 2176 . . 3
11578, 114impbida 586 . 2
1167, 12, 29, 43, 115en3i 6672 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 103   wceq 1332   wcel 1481  cvv 2689  cop 3534   class class class wbr 3936   cmpt 3996   cxp 4544   wfn 5125  wf 5126  cfv 5130  (class class class)co 5781  c1st 6043  c2nd 6044   cmap 6549   cen 6639 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-map 6551  df-en 6642 This theorem is referenced by:  xpmapen  6751
 Copyright terms: Public domain W3C validator