Theorem xpmapenlem 6905

Description: Lemma for xpmapen 6906. (Contributed by NM, 1-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpmapen.1	|- A e. _V
xpmapen.2	|- B e. _V
xpmapen.3	|- C e. _V
xpmapenlem.4	|- D = ( z e. C |-> ( 1st ` ( x ` z ) ) )
xpmapenlem.5	|- R = ( z e. C |-> ( 2nd ` ( x ` z ) ) )
xpmapenlem.6	|- S = ( z e. C |-> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. )

Assertion

Ref	Expression
xpmapenlem	|- ( ( A X. B ) ^m C ) ~~ ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z   y, D, z   y, R, z   x, S, z

Allowed substitution hints:   D( x)   R( x)   S( y)

Proof of Theorem xpmapenlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6709	. . 3 |- ^m Fn ( _V X. _V )
2		xpmapen.1	. . . 4 |- A e. _V
3		xpmapen.2	. . . 4 |- B e. _V
4	2, 3	xpex 4774	. . 3 |- ( A X. B ) e. _V
5		xpmapen.3	. . 3 |- C e. _V
6		fnovex 5951	. . 3 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ ( A X. B ) e. _V /\ C e. _V ) -> ( ( A X. B ) ^m C ) e. _V )
7	1, 4, 5, 6	mp3an 1348	. 2 |- ( ( A X. B ) ^m C ) e. _V
8		fnovex 5951	. . . 4 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ A e. _V /\ C e. _V ) -> ( A ^m C ) e. _V )
9	1, 2, 5, 8	mp3an 1348	. . 3 |- ( A ^m C ) e. _V
10		fnovex 5951	. . . 4 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ B e. _V /\ C e. _V ) -> ( B ^m C ) e. _V )
11	1, 3, 5, 10	mp3an 1348	. . 3 |- ( B ^m C ) e. _V
12	9, 11	xpex 4774	. 2 |- ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) e. _V
13	4, 5	elmap 6731	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) <-> x : C --> ( A X. B ) )
14		ffvelcdm 5691	. . . . . . 7 |- ( ( x : C --> ( A X. B ) /\ z e. C ) -> ( x ` z ) e. ( A X. B ) )
15	13, 14	sylanb 284	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ z e. C ) -> ( x ` z ) e. ( A X. B ) )
16		xp1st 6218	. . . . . 6 |- ( ( x ` z ) e. ( A X. B ) -> ( 1st ` ( x ` z ) ) e. A )
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ z e. C ) -> ( 1st ` ( x ` z ) ) e. A )
18		xpmapenlem.4	. . . . 5 |- D = ( z e. C |-> ( 1st ` ( x ` z ) ) )
19	17, 18	fmptd 5712	. . . 4 |- ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) -> D : C --> A )
20	2, 5	elmap 6731	. . . 4 |- ( D e. ( A ^m C ) <-> D : C --> A )
21	19, 20	sylibr 134	. . 3 |- ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) -> D e. ( A ^m C ) )
22		xp2nd 6219	. . . . . 6 |- ( ( x ` z ) e. ( A X. B ) -> ( 2nd ` ( x ` z ) ) e. B )
23	15, 22	syl 14	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ z e. C ) -> ( 2nd ` ( x ` z ) ) e. B )
24		xpmapenlem.5	. . . . 5 |- R = ( z e. C |-> ( 2nd ` ( x ` z ) ) )
25	23, 24	fmptd 5712	. . . 4 |- ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) -> R : C --> B )
26	3, 5	elmap 6731	. . . 4 |- ( R e. ( B ^m C ) <-> R : C --> B )
27	25, 26	sylibr 134	. . 3 |- ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) -> R e. ( B ^m C ) )
28		opelxpi 4691	. . 3 |- ( ( D e. ( A ^m C ) /\ R e. ( B ^m C ) ) -> <. D , R >. e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) )
29	21, 27, 28	syl2anc 411	. 2 |- ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) -> <. D , R >. e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) )
30		xp1st 6218	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> ( 1st ` y ) e. ( A ^m C ) )
31	2, 5	elmap 6731	. . . . . . 7 |- ( ( 1st ` y ) e. ( A ^m C ) <-> ( 1st ` y ) : C --> A )
32	30, 31	sylib 122	. . . . . 6 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> ( 1st ` y ) : C --> A )
33	32	ffvelcdmda 5693	. . . . 5 |- ( ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) /\ z e. C ) -> ( ( 1st ` y ) ` z ) e. A )
34		xp2nd 6219	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> ( 2nd ` y ) e. ( B ^m C ) )
35	3, 5	elmap 6731	. . . . . . 7 |- ( ( 2nd ` y ) e. ( B ^m C ) <-> ( 2nd ` y ) : C --> B )
36	34, 35	sylib 122	. . . . . 6 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> ( 2nd ` y ) : C --> B )
37	36	ffvelcdmda 5693	. . . . 5 |- ( ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) /\ z e. C ) -> ( ( 2nd ` y ) ` z ) e. B )
38		opelxpi 4691	. . . . 5 |- ( ( ( ( 1st ` y ) ` z ) e. A /\ ( ( 2nd ` y ) ` z ) e. B ) -> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. e. ( A X. B ) )
39	33, 37, 38	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) /\ z e. C ) -> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. e. ( A X. B ) )
40		xpmapenlem.6	. . . 4 |- S = ( z e. C |-> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. )
41	39, 40	fmptd 5712	. . 3 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> S : C --> ( A X. B ) )
42	4, 5	elmap 6731	. . 3 |- ( S e. ( ( A X. B ) ^m C ) <-> S : C --> ( A X. B ) )
43	41, 42	sylibr 134	. 2 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> S e. ( ( A X. B ) ^m C ) )
44		1st2nd2 6228	. . . . 5 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> y = <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. )
45	44	ad2antlr 489	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> y = <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. )
46	32	feqmptd 5610	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> ( 1st ` y ) = ( z e. C |-> ( ( 1st ` y ) ` z ) ) )
47	46	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> ( 1st ` y ) = ( z e. C |-> ( ( 1st ` y ) ` z ) ) )
48		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> x = S )
49	48	fveq1d 5556	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( x ` z ) = ( S ` z ) )
50		vex 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
51		1stexg 6220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. _V -> ( 1st ` y ) e. _V )
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1st ` y ) e. _V
53		vex 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
54	52, 53	fvex 5574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1st ` y ) ` z ) e. _V
55		2ndexg 6221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. _V -> ( 2nd ` y ) e. _V )
56	50, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2nd ` y ) e. _V
57	56, 53	fvex 5574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2nd ` y ) ` z ) e. _V
58	54, 57	opex 4258	. . . . . . . . . . . . 13 |- <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. e. _V
59	40	fvmpt2 5641	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. C /\ <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. e. _V ) -> ( S ` z ) = <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. )
60	58, 59	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. C -> ( S ` z ) = <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. )
61	60	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( S ` z ) = <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. )
62	49, 61	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( x ` z ) = <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. )
63	62	fveq2d 5558	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( 1st ` ( x ` z ) ) = ( 1st ` <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. ) )
64	54, 57	op1st 6199	. . . . . . . . 9 |- ( 1st ` <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. ) = ( ( 1st ` y ) ` z )
65	63, 64	eqtrdi 2242	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( 1st ` ( x ` z ) ) = ( ( 1st ` y ) ` z ) )
66	65	mpteq2dva 4119	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> ( z e. C |-> ( 1st ` ( x ` z ) ) ) = ( z e. C |-> ( ( 1st ` y ) ` z ) ) )
67	18, 66	eqtrid 2238	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> D = ( z e. C |-> ( ( 1st ` y ) ` z ) ) )
68	47, 67	eqtr4d 2229	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> ( 1st ` y ) = D )
69	36	feqmptd 5610	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) -> ( 2nd ` y ) = ( z e. C |-> ( ( 2nd ` y ) ` z ) ) )
70	69	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> ( 2nd ` y ) = ( z e. C |-> ( ( 2nd ` y ) ` z ) ) )
71	62	fveq2d 5558	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( 2nd ` ( x ` z ) ) = ( 2nd ` <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. ) )
72	54, 57	op2nd 6200	. . . . . . . . 9 |- ( 2nd ` <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. ) = ( ( 2nd ` y ) ` z )
73	71, 72	eqtrdi 2242	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) /\ z e. C ) -> ( 2nd ` ( x ` z ) ) = ( ( 2nd ` y ) ` z ) )
74	73	mpteq2dva 4119	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> ( z e. C |-> ( 2nd ` ( x ` z ) ) ) = ( z e. C |-> ( ( 2nd ` y ) ` z ) ) )
75	24, 74	eqtrid 2238	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> R = ( z e. C |-> ( ( 2nd ` y ) ` z ) ) )
76	70, 75	eqtr4d 2229	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> ( 2nd ` y ) = R )
77	68, 76	opeq12d 3812	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. = <. D , R >. )
78	45, 77	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ x = S ) -> y = <. D , R >. )
79		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> x e. ( ( A X. B ) ^m C ) )
80	79, 13	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> x : C --> ( A X. B ) )
81	80	feqmptd 5610	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> x = ( z e. C |-> ( x ` z ) ) )
82		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> y = <. D , R >. )
83	82	fveq2d 5558	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( 1st ` y ) = ( 1st ` <. D , R >. ) )
84	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> D e. ( A ^m C ) )
85	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> R e. ( B ^m C ) )
86		op1stg 6203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( A ^m C ) /\ R e. ( B ^m C ) ) -> ( 1st ` <. D , R >. ) = D )
87	84, 85, 86	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( 1st ` <. D , R >. ) = D )
88	83, 87	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( 1st ` y ) = D )
89	88	fveq1d 5556	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( ( 1st ` y ) ` z ) = ( D ` z ) )
90		vex 2763	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
91	90, 53	fvex 5574	. . . . . . . . . . 11 |- ( x ` z ) e. _V
92		1stexg 6220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x ` z ) e. _V -> ( 1st ` ( x ` z ) ) e. _V )
93	91, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 1st ` ( x ` z ) ) e. _V
94	18	fvmpt2 5641	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. C /\ ( 1st ` ( x ` z ) ) e. _V ) -> ( D ` z ) = ( 1st ` ( x ` z ) ) )
95	93, 94	mpan2 425	. . . . . . . . 9 |- ( z e. C -> ( D ` z ) = ( 1st ` ( x ` z ) ) )
96	89, 95	sylan9eq 2246	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) /\ z e. C ) -> ( ( 1st ` y ) ` z ) = ( 1st ` ( x ` z ) ) )
97	82	fveq2d 5558	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( 2nd ` y ) = ( 2nd ` <. D , R >. ) )
98		op2ndg 6204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( A ^m C ) /\ R e. ( B ^m C ) ) -> ( 2nd ` <. D , R >. ) = R )
99	84, 85, 98	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( 2nd ` <. D , R >. ) = R )
100	97, 99	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( 2nd ` y ) = R )
101	100	fveq1d 5556	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( ( 2nd ` y ) ` z ) = ( R ` z ) )
102		2ndexg 6221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x ` z ) e. _V -> ( 2nd ` ( x ` z ) ) e. _V )
103	91, 102	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 2nd ` ( x ` z ) ) e. _V
104	24	fvmpt2 5641	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. C /\ ( 2nd ` ( x ` z ) ) e. _V ) -> ( R ` z ) = ( 2nd ` ( x ` z ) ) )
105	103, 104	mpan2 425	. . . . . . . . 9 |- ( z e. C -> ( R ` z ) = ( 2nd ` ( x ` z ) ) )
106	101, 105	sylan9eq 2246	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) /\ z e. C ) -> ( ( 2nd ` y ) ` z ) = ( 2nd ` ( x ` z ) ) )
107	96, 106	opeq12d 3812	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) /\ z e. C ) -> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. = <. ( 1st ` ( x ` z ) ) , ( 2nd ` ( x ` z ) ) >. )
108	80	ffvelcdmda 5693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) /\ z e. C ) -> ( x ` z ) e. ( A X. B ) )
109		1st2nd2 6228	. . . . . . . 8 |- ( ( x ` z ) e. ( A X. B ) -> ( x ` z ) = <. ( 1st ` ( x ` z ) ) , ( 2nd ` ( x ` z ) ) >. )
110	108, 109	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) /\ z e. C ) -> ( x ` z ) = <. ( 1st ` ( x ` z ) ) , ( 2nd ` ( x ` z ) ) >. )
111	107, 110	eqtr4d 2229	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) /\ z e. C ) -> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. = ( x ` z ) )
112	111	mpteq2dva 4119	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> ( z e. C |-> <. ( ( 1st ` y ) ` z ) , ( ( 2nd ` y ) ` z ) >. ) = ( z e. C |-> ( x ` z ) ) )
113	40, 112	eqtrid 2238	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> S = ( z e. C |-> ( x ` z ) ) )
114	81, 113	eqtr4d 2229	. . 3 |- ( ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) /\ y = <. D , R >. ) -> x = S )
115	78, 114	impbida 596	. 2 |- ( ( x e. ( ( A X. B ) ^m C ) /\ y e. ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) ) ) -> ( x = S <-> y = <. D , R >. ) )
116	7, 12, 29, 43, 115	en3i 6825	1 |- ( ( A X. B ) ^m C ) ~~ ( ( A ^m C ) X. ( B ^m C ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   <.cop 3621   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   X. cxp 4657   Fn wfn 5249   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   1stc1st 6191   2ndc2nd 6192   ^m cmap 6702   ~~ cen 6792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-en 6795

This theorem is referenced by:  xpmapen  6906