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Theorem xpmapenlem 6750
Description: Lemma for xpmapen 6751. (Contributed by NM, 1-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
xpmapen.1  |-  A  e. 
_V
xpmapen.2  |-  B  e. 
_V
xpmapen.3  |-  C  e. 
_V
xpmapenlem.4  |-  D  =  ( z  e.  C  |->  ( 1st `  (
x `  z )
) )
xpmapenlem.5  |-  R  =  ( z  e.  C  |->  ( 2nd `  (
x `  z )
) )
xpmapenlem.6  |-  S  =  ( z  e.  C  |-> 
<. ( ( 1st `  y
) `  z ) ,  ( ( 2nd `  y ) `  z
) >. )
Assertion
Ref Expression
xpmapenlem  |-  ( ( A  X.  B )  ^m  C )  ~~  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, z, A    x, B, y, z    x, C, y, z    y, D, z   
y, R, z    x, S, z
Allowed substitution hints:    D( x)    R( x)    S( y)

Proof of Theorem xpmapenlem
StepHypRef Expression
1 fnmap 6556 . . 3  |-  ^m  Fn  ( _V  X.  _V )
2 xpmapen.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
3 xpmapen.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
42, 3xpex 4661 . . 3  |-  ( A  X.  B )  e. 
_V
5 xpmapen.3 . . 3  |-  C  e. 
_V
6 fnovex 5811 . . 3  |-  ( (  ^m  Fn  ( _V 
X.  _V )  /\  ( A  X.  B )  e. 
_V  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( A  X.  B )  ^m  C )  e. 
_V )
71, 4, 5, 6mp3an 1316 . 2  |-  ( ( A  X.  B )  ^m  C )  e. 
_V
8 fnovex 5811 . . . 4  |-  ( (  ^m  Fn  ( _V 
X.  _V )  /\  A  e.  _V  /\  C  e. 
_V )  ->  ( A  ^m  C )  e. 
_V )
91, 2, 5, 8mp3an 1316 . . 3  |-  ( A  ^m  C )  e. 
_V
10 fnovex 5811 . . . 4  |-  ( (  ^m  Fn  ( _V 
X.  _V )  /\  B  e.  _V  /\  C  e. 
_V )  ->  ( B  ^m  C )  e. 
_V )
111, 3, 5, 10mp3an 1316 . . 3  |-  ( B  ^m  C )  e. 
_V
129, 11xpex 4661 . 2  |-  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C ) )  e. 
_V
134, 5elmap 6578 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C )  <->  x : C
--> ( A  X.  B
) )
14 ffvelrn 5560 . . . . . . 7  |-  ( ( x : C --> ( A  X.  B )  /\  z  e.  C )  ->  ( x `  z
)  e.  ( A  X.  B ) )
1513, 14sylanb 282 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C )  /\  z  e.  C )  ->  ( x `  z
)  e.  ( A  X.  B ) )
16 xp1st 6070 . . . . . 6  |-  ( ( x `  z )  e.  ( A  X.  B )  ->  ( 1st `  ( x `  z ) )  e.  A )
1715, 16syl 14 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C )  /\  z  e.  C )  ->  ( 1st `  (
x `  z )
)  e.  A )
18 xpmapenlem.4 . . . . 5  |-  D  =  ( z  e.  C  |->  ( 1st `  (
x `  z )
) )
1917, 18fmptd 5581 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C )  ->  D : C --> A )
202, 5elmap 6578 . . . 4  |-  ( D  e.  ( A  ^m  C )  <->  D : C
--> A )
2119, 20sylibr 133 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C )  ->  D  e.  ( A  ^m  C
) )
22 xp2nd 6071 . . . . . 6  |-  ( ( x `  z )  e.  ( A  X.  B )  ->  ( 2nd `  ( x `  z ) )  e.  B )
2315, 22syl 14 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C )  /\  z  e.  C )  ->  ( 2nd `  (
x `  z )
)  e.  B )
24 xpmapenlem.5 . . . . 5  |-  R  =  ( z  e.  C  |->  ( 2nd `  (
x `  z )
) )
2523, 24fmptd 5581 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C )  ->  R : C --> B )
263, 5elmap 6578 . . . 4  |-  ( R  e.  ( B  ^m  C )  <->  R : C
--> B )
2725, 26sylibr 133 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C )  ->  R  e.  ( B  ^m  C
) )
28 opelxpi 4578 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( A  ^m  C )  /\  R  e.  ( B  ^m  C ) )  ->  <. D ,  R >.  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C ) ) )
2921, 27, 28syl2anc 409 . 2  |-  ( x  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C )  ->  <. D ,  R >.  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C ) ) )
30 xp1st 6070 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C
) )  ->  ( 1st `  y )  e.  ( A  ^m  C
) )
312, 5elmap 6578 . . . . . . 7  |-  ( ( 1st `  y )  e.  ( A  ^m  C )  <->  ( 1st `  y ) : C --> A )
3230, 31sylib 121 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C
) )  ->  ( 1st `  y ) : C --> A )
3332ffvelrnda 5562 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C ) )  /\  z  e.  C )  ->  ( ( 1st `  y
) `  z )  e.  A )
34 xp2nd 6071 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C
) )  ->  ( 2nd `  y )  e.  ( B  ^m  C
) )
353, 5elmap 6578 . . . . . . 7  |-  ( ( 2nd `  y )  e.  ( B  ^m  C )  <->  ( 2nd `  y ) : C --> B )
3634, 35sylib 121 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C
) )  ->  ( 2nd `  y ) : C --> B )
3736ffvelrnda 5562 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C ) )  /\  z  e.  C )  ->  ( ( 2nd `  y
) `  z )  e.  B )
38 opelxpi 4578 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1st `  y
) `  z )  e.  A  /\  (
( 2nd `  y
) `  z )  e.  B )  ->  <. (
( 1st `  y
) `  z ) ,  ( ( 2nd `  y ) `  z
) >.  e.  ( A  X.  B ) )
3933, 37, 38syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C ) )  /\  z  e.  C )  -> 
<. ( ( 1st `  y
) `  z ) ,  ( ( 2nd `  y ) `  z
) >.  e.  ( A  X.  B ) )
40 xpmapenlem.6 . . . 4  |-  S  =  ( z  e.  C  |-> 
<. ( ( 1st `  y
) `  z ) ,  ( ( 2nd `  y ) `  z
) >. )
4139, 40fmptd 5581 . . 3  |-  ( y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C
) )  ->  S : C --> ( A  X.  B ) )
424, 5elmap 6578 . . 3  |-  ( S  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C )  <->  S : C
--> ( A  X.  B
) )
4341, 42sylibr 133 . 2  |-  ( y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C
) )  ->  S  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C
) )
44 1st2nd2 6080 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C
) )  ->  y  =  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >. )
4544ad2antlr 481 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  x  =  S )  ->  y  =  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >. )
4632feqmptd 5481 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C
) )  ->  ( 1st `  y )  =  ( z  e.  C  |->  ( ( 1st `  y
) `  z )
) )
4746ad2antlr 481 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  x  =  S )  ->  ( 1st `  y )  =  ( z  e.  C  |->  ( ( 1st `  y
) `  z )
) )
48 simplr 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C
)  /\  y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  x  =  S )  /\  z  e.  C )  ->  x  =  S )
4948fveq1d 5430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C
)  /\  y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  x  =  S )  /\  z  e.  C )  ->  (
x `  z )  =  ( S `  z ) )
50 vex 2692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
51 1stexg 6072 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  _V  ->  ( 1st `  y )  e. 
_V )
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1st `  y )  e.  _V
53 vex 2692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
5452, 53fvex 5448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1st `  y ) `
 z )  e. 
_V
55 2ndexg 6073 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  _V  ->  ( 2nd `  y )  e. 
_V )
5650, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2nd `  y )  e.  _V
5756, 53fvex 5448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2nd `  y ) `
 z )  e. 
_V
5854, 57opex 4158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <. (
( 1st `  y
) `  z ) ,  ( ( 2nd `  y ) `  z
) >.  e.  _V
5940fvmpt2 5511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  C  /\  <.
( ( 1st `  y
) `  z ) ,  ( ( 2nd `  y ) `  z
) >.  e.  _V )  ->  ( S `  z
)  =  <. (
( 1st `  y
) `  z ) ,  ( ( 2nd `  y ) `  z
) >. )
6058, 59mpan2 422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  C  ->  ( S `  z )  =  <. ( ( 1st `  y ) `  z
) ,  ( ( 2nd `  y ) `
 z ) >.
)
6160adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C
)  /\  y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  x  =  S )  /\  z  e.  C )  ->  ( S `  z )  =  <. ( ( 1st `  y ) `  z
) ,  ( ( 2nd `  y ) `
 z ) >.
)
6249, 61eqtrd 2173 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C
)  /\  y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  x  =  S )  /\  z  e.  C )  ->  (
x `  z )  =  <. ( ( 1st `  y ) `  z
) ,  ( ( 2nd `  y ) `
 z ) >.
)
6362fveq2d 5432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C
)  /\  y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  x  =  S )  /\  z  e.  C )  ->  ( 1st `  ( x `  z ) )  =  ( 1st `  <. ( ( 1st `  y
) `  z ) ,  ( ( 2nd `  y ) `  z
) >. ) )
6454, 57op1st 6051 . . . . . . . . 9  |-  ( 1st `  <. ( ( 1st `  y ) `  z
) ,  ( ( 2nd `  y ) `
 z ) >.
)  =  ( ( 1st `  y ) `
 z )
6563, 64eqtrdi 2189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C
)  /\  y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  x  =  S )  /\  z  e.  C )  ->  ( 1st `  ( x `  z ) )  =  ( ( 1st `  y
) `  z )
)
6665mpteq2dva 4025 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  x  =  S )  ->  (
z  e.  C  |->  ( 1st `  ( x `
 z ) ) )  =  ( z  e.  C  |->  ( ( 1st `  y ) `
 z ) ) )
6718, 66syl5eq 2185 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  x  =  S )  ->  D  =  ( z  e.  C  |->  ( ( 1st `  y ) `  z
) ) )
6847, 67eqtr4d 2176 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  x  =  S )  ->  ( 1st `  y )  =  D )
6936feqmptd 5481 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C
) )  ->  ( 2nd `  y )  =  ( z  e.  C  |->  ( ( 2nd `  y
) `  z )
) )
7069ad2antlr 481 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  x  =  S )  ->  ( 2nd `  y )  =  ( z  e.  C  |->  ( ( 2nd `  y
) `  z )
) )
7162fveq2d 5432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C
)  /\  y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  x  =  S )  /\  z  e.  C )  ->  ( 2nd `  ( x `  z ) )  =  ( 2nd `  <. ( ( 1st `  y
) `  z ) ,  ( ( 2nd `  y ) `  z
) >. ) )
7254, 57op2nd 6052 . . . . . . . . 9  |-  ( 2nd `  <. ( ( 1st `  y ) `  z
) ,  ( ( 2nd `  y ) `
 z ) >.
)  =  ( ( 2nd `  y ) `
 z )
7371, 72eqtrdi 2189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C
)  /\  y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  x  =  S )  /\  z  e.  C )  ->  ( 2nd `  ( x `  z ) )  =  ( ( 2nd `  y
) `  z )
)
7473mpteq2dva 4025 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  x  =  S )  ->  (
z  e.  C  |->  ( 2nd `  ( x `
 z ) ) )  =  ( z  e.  C  |->  ( ( 2nd `  y ) `
 z ) ) )
7524, 74syl5eq 2185 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  x  =  S )  ->  R  =  ( z  e.  C  |->  ( ( 2nd `  y ) `  z
) ) )
7670, 75eqtr4d 2176 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  x  =  S )  ->  ( 2nd `  y )  =  R )
7768, 76opeq12d 3720 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  x  =  S )  ->  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y
) >.  =  <. D ,  R >. )
7845, 77eqtrd 2173 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  x  =  S )  ->  y  =  <. D ,  R >. )
79 simpll 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  y  = 
<. D ,  R >. )  ->  x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )
)
8079, 13sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  y  = 
<. D ,  R >. )  ->  x : C --> ( A  X.  B
) )
8180feqmptd 5481 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  y  = 
<. D ,  R >. )  ->  x  =  ( z  e.  C  |->  ( x `  z ) ) )
82 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  y  = 
<. D ,  R >. )  ->  y  =  <. D ,  R >. )
8382fveq2d 5432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  y  = 
<. D ,  R >. )  ->  ( 1st `  y
)  =  ( 1st `  <. D ,  R >. ) )
8421ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  y  = 
<. D ,  R >. )  ->  D  e.  ( A  ^m  C ) )
8527ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  y  = 
<. D ,  R >. )  ->  R  e.  ( B  ^m  C ) )
86 op1stg 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( A  ^m  C )  /\  R  e.  ( B  ^m  C ) )  -> 
( 1st `  <. D ,  R >. )  =  D )
8784, 85, 86syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  y  = 
<. D ,  R >. )  ->  ( 1st `  <. D ,  R >. )  =  D )
8883, 87eqtrd 2173 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  y  = 
<. D ,  R >. )  ->  ( 1st `  y
)  =  D )
8988fveq1d 5430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  y  = 
<. D ,  R >. )  ->  ( ( 1st `  y ) `  z
)  =  ( D `
 z ) )
90 vex 2692 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
9190, 53fvex 5448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `
 z )  e. 
_V
92 1stexg 6072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x `  z )  e.  _V  ->  ( 1st `  ( x `  z ) )  e. 
_V )
9391, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1st `  ( x `  z
) )  e.  _V
9418fvmpt2 5511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( 1st `  ( x `
 z ) )  e.  _V )  -> 
( D `  z
)  =  ( 1st `  ( x `  z
) ) )
9593, 94mpan2 422 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  C  ->  ( D `  z )  =  ( 1st `  (
x `  z )
) )
9689, 95sylan9eq 2193 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C
)  /\  y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  y  = 
<. D ,  R >. )  /\  z  e.  C
)  ->  ( ( 1st `  y ) `  z )  =  ( 1st `  ( x `
 z ) ) )
9782fveq2d 5432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  y  = 
<. D ,  R >. )  ->  ( 2nd `  y
)  =  ( 2nd `  <. D ,  R >. ) )
98 op2ndg 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( A  ^m  C )  /\  R  e.  ( B  ^m  C ) )  -> 
( 2nd `  <. D ,  R >. )  =  R )
9984, 85, 98syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  y  = 
<. D ,  R >. )  ->  ( 2nd `  <. D ,  R >. )  =  R )
10097, 99eqtrd 2173 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  y  = 
<. D ,  R >. )  ->  ( 2nd `  y
)  =  R )
101100fveq1d 5430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  y  = 
<. D ,  R >. )  ->  ( ( 2nd `  y ) `  z
)  =  ( R `
 z ) )
102 2ndexg 6073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x `  z )  e.  _V  ->  ( 2nd `  ( x `  z ) )  e. 
_V )
10391, 102ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2nd `  ( x `  z
) )  e.  _V
10424fvmpt2 5511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( 2nd `  ( x `
 z ) )  e.  _V )  -> 
( R `  z
)  =  ( 2nd `  ( x `  z
) ) )
105103, 104mpan2 422 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  C  ->  ( R `  z )  =  ( 2nd `  (
x `  z )
) )
106101, 105sylan9eq 2193 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C
)  /\  y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  y  = 
<. D ,  R >. )  /\  z  e.  C
)  ->  ( ( 2nd `  y ) `  z )  =  ( 2nd `  ( x `
 z ) ) )
10796, 106opeq12d 3720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C
)  /\  y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  y  = 
<. D ,  R >. )  /\  z  e.  C
)  ->  <. ( ( 1st `  y ) `
 z ) ,  ( ( 2nd `  y
) `  z ) >.  =  <. ( 1st `  (
x `  z )
) ,  ( 2nd `  ( x `  z
) ) >. )
10880ffvelrnda 5562 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C
)  /\  y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  y  = 
<. D ,  R >. )  /\  z  e.  C
)  ->  ( x `  z )  e.  ( A  X.  B ) )
109 1st2nd2 6080 . . . . . . . 8  |-  ( ( x `  z )  e.  ( A  X.  B )  ->  (
x `  z )  =  <. ( 1st `  (
x `  z )
) ,  ( 2nd `  ( x `  z
) ) >. )
110108, 109syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C
)  /\  y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  y  = 
<. D ,  R >. )  /\  z  e.  C
)  ->  ( x `  z )  =  <. ( 1st `  ( x `
 z ) ) ,  ( 2nd `  (
x `  z )
) >. )
111107, 110eqtr4d 2176 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C
)  /\  y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  y  = 
<. D ,  R >. )  /\  z  e.  C
)  ->  <. ( ( 1st `  y ) `
 z ) ,  ( ( 2nd `  y
) `  z ) >.  =  ( x `  z ) )
112111mpteq2dva 4025 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  y  = 
<. D ,  R >. )  ->  ( z  e.  C  |->  <. ( ( 1st `  y ) `  z
) ,  ( ( 2nd `  y ) `
 z ) >.
)  =  ( z  e.  C  |->  ( x `
 z ) ) )
11340, 112syl5eq 2185 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  y  = 
<. D ,  R >. )  ->  S  =  ( z  e.  C  |->  ( x `  z ) ) )
11481, 113eqtr4d 2176 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  X.  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  (
( A  ^m  C
)  X.  ( B  ^m  C ) ) )  /\  y  = 
<. D ,  R >. )  ->  x  =  S )
11578, 114impbida 586 . 2  |-  ( ( x  e.  ( ( A  X.  B )  ^m  C )  /\  y  e.  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C
) ) )  -> 
( x  =  S  <-> 
y  =  <. D ,  R >. ) )
1167, 12, 29, 43, 115en3i 6672 1  |-  ( ( A  X.  B )  ^m  C )  ~~  ( ( A  ^m  C )  X.  ( B  ^m  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1332    e. wcel 1481   _Vcvv 2689   <.cop 3534   class class class wbr 3936    |-> cmpt 3996    X. cxp 4544    Fn wfn 5125   -->wf 5126   ` cfv 5130  (class class class)co 5781   1stc1st 6043   2ndc2nd 6044    ^m cmap 6549    ~~ cen 6639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-map 6551  df-en 6642
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