ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddennn Unicode version

Theorem oddennn 12446
Description: There are as many odd positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
oddennn  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ~~  NN

Proof of Theorem oddennn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 8956 . . 3  |-  NN  e.  _V
21rabex 4162 . 2  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  e.  _V
3 elrabi 2905 . . . 4  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ->  x  e.  NN )
43peano2nnd 8965 . . 3  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ->  (
x  +  1 )  e.  NN )
5 breq2 4022 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  x ) )
65notbid 668 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  x ) )
76elrab 2908 . . . . 5  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  <->  ( x  e.  NN  /\  -.  2  ||  x ) )
87simprbi 275 . . . 4  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ->  -.  2  ||  x )
93nnzd 9405 . . . . 5  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ->  x  e.  ZZ )
10 oddp1even 11916 . . . . 5  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  x  <->  2  ||  ( x  +  1
) ) )
119, 10syl 14 . . . 4  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ->  ( -.  2  ||  x  <->  2  ||  ( x  +  1
) ) )
128, 11mpbid 147 . . 3  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ->  2  ||  ( x  +  1 ) )
13 nnehalf 11944 . . 3  |-  ( ( ( x  +  1 )  e.  NN  /\  2  ||  ( x  + 
1 ) )  -> 
( ( x  + 
1 )  /  2
)  e.  NN )
144, 12, 13syl2anc 411 . 2  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ->  (
( x  +  1 )  /  2 )  e.  NN )
15 nnz 9303 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
16 2z 9312 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
1716a1i 9 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
1815, 17zmulcld 9412 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  x.  2 )  e.  ZZ )
19 peano2zm 9322 . . . . 5  |-  ( ( y  x.  2 )  e.  ZZ  ->  (
( y  x.  2 )  -  1 )  e.  ZZ )
2018, 19syl 14 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  x.  2 )  -  1 )  e.  ZZ )
21 1e2m1 9069 . . . . 5  |-  1  =  ( 2  -  1 )
2217zred 9406 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  RR )
23 nnre 8957 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
2423, 22remulcld 8019 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  x.  2 )  e.  RR )
25 1red 8003 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  RR )
26 0le2 9040 . . . . . . . 8  |-  0  <_  2
2726a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  0  <_  2 )
28 nnge1 8973 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <_  y )
2922, 23, 27, 28lemulge12d 8926 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  2  <_  ( y  x.  2 ) )
3022, 24, 25, 29lesub1dd 8549 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  -  1 )  <_  ( ( y  x.  2 )  - 
1 ) )
3121, 30eqbrtrid 4053 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <_  ( ( y  x.  2 )  -  1 ) )
32 elnnz1 9307 . . . 4  |-  ( ( ( y  x.  2 )  -  1 )  e.  NN  <->  ( (
( y  x.  2 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  1  <_  ( ( y  x.  2 )  -  1 ) ) )
3320, 31, 32sylanbrc 417 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  x.  2 )  -  1 )  e.  NN )
34 dvdsmul2 11856 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( y  x.  2 ) )
3515, 16, 34sylancl 413 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  2  ||  ( y  x.  2 ) )
36 oddm1even 11915 . . . . . 6  |-  ( ( y  x.  2 )  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  ( y  x.  2 )  <->  2  ||  ( ( y  x.  2 )  -  1 ) ) )
3718, 36syl 14 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  ( -.  2  ||  ( y  x.  2 )  <->  2  ||  ( ( y  x.  2 )  -  1 ) ) )
3837biimprd 158 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  ||  ( (
y  x.  2 )  -  1 )  ->  -.  2  ||  ( y  x.  2 ) ) )
3935, 38mt2d 626 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  -.  2  ||  ( ( y  x.  2 )  - 
1 ) )
40 breq2 4022 . . . . 5  |-  ( z  =  ( ( y  x.  2 )  - 
1 )  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  ( ( y  x.  2 )  -  1 ) ) )
4140notbid 668 . . . 4  |-  ( z  =  ( ( y  x.  2 )  - 
1 )  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  ( ( y  x.  2 )  -  1 ) ) )
4241elrab 2908 . . 3  |-  ( ( ( y  x.  2 )  -  1 )  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  <->  ( (
( y  x.  2 )  -  1 )  e.  NN  /\  -.  2  ||  ( ( y  x.  2 )  - 
1 ) ) )
4333, 39, 42sylanbrc 417 . 2  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  x.  2 )  -  1 )  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )
443adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  x  e.  NN )
4544nncnd 8964 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  x  e.  CC )
46 1cnd 8004 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
4745, 46addcld 8008 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  +  1 )  e.  CC )
48 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  NN )
4948nncnd 8964 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  CC )
50 2cnd 9023 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
51 2ap0 9043 . . . . . 6  |-  2 #  0
5251a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  2 #  0 )
5347, 49, 50, 52divmulap3d 8813 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( ( x  +  1 )  / 
2 )  =  y  <-> 
( x  +  1 )  =  ( y  x.  2 ) ) )
5449, 50mulcld 8009 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  x.  2 )  e.  CC )
5545, 46, 54addlsub 8358 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( x  + 
1 )  =  ( y  x.  2 )  <-> 
x  =  ( ( y  x.  2 )  -  1 ) ) )
5653, 55bitrd 188 . . 3  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( ( x  +  1 )  / 
2 )  =  y  <-> 
x  =  ( ( y  x.  2 )  -  1 ) ) )
57 eqcom 2191 . . 3  |-  ( ( ( x  +  1 )  /  2 )  =  y  <->  y  =  ( ( x  + 
1 )  /  2
) )
5856, 57bitr3di 195 . 2  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  =  ( ( y  x.  2 )  -  1 )  <-> 
y  =  ( ( x  +  1 )  /  2 ) ) )
592, 1, 14, 43, 58en3i 6798 1  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ~~  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   {crab 2472   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897    ~~ cen 6765   0cc0 7842   1c1 7843    + caddc 7845    x. cmul 7847    <_ cle 8024    - cmin 8159   # cap 8569    / cdiv 8660   NNcn 8950   2c2 9001   ZZcz 9284    || cdvds 11829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-en 6768  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-n0 9208  df-z 9285  df-dvds 11830
This theorem is referenced by:  xpnnen  12448  unennn  12451
  Copyright terms: Public domain W3C validator