Theorem oddennn 11941

Description: There are as many odd positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
oddennn	|- { z e. NN | -. 2 || z } ~~ NN

Proof of Theorem oddennn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 8750	. . 3 |- NN e. _V
2	1	rabex 4080	. 2 |- { z e. NN | -. 2 || z } e. _V
3		elrabi 2841	. . . 4 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> x e. NN )
4	3	peano2nnd 8759	. . 3 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> ( x + 1 ) e. NN )
5		breq2 3941	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( 2 || z <-> 2 || x ) )
6	5	notbid 657	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( -. 2 || z <-> -. 2 || x ) )
7	6	elrab 2844	. . . . 5 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } <-> ( x e. NN /\ -. 2 || x ) )
8	7	simprbi 273	. . . 4 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> -. 2 || x )
9	3	nnzd 9196	. . . . 5 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> x e. ZZ )
10		oddp1even 11609	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> ( -. 2 || x <-> 2 || ( x + 1 ) ) )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> ( -. 2 || x <-> 2 || ( x + 1 ) ) )
12	8, 11	mpbid 146	. . 3 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> 2 || ( x + 1 ) )
13		nnehalf 11637	. . 3 |- ( ( ( x + 1 ) e. NN /\ 2 || ( x + 1 ) ) -> ( ( x + 1 ) / 2 ) e. NN )
14	4, 12, 13	syl2anc 409	. 2 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> ( ( x + 1 ) / 2 ) e. NN )
15		nnz 9097	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
16		2z 9106	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> 2 e. ZZ )
18	15, 17	zmulcld 9203	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( y x. 2 ) e. ZZ )
19		peano2zm 9116	. . . . 5 |- ( ( y x. 2 ) e. ZZ -> ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. ZZ )
20	18, 19	syl 14	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. ZZ )
21		1e2m1 8863	. . . . 5 |- 1 = ( 2 - 1 )
22	17	zred 9197	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> 2 e. RR )
23		nnre 8751	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. RR )
24	23, 22	remulcld 7820	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( y x. 2 ) e. RR )
25		1red 7805	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> 1 e. RR )
26		0le2 8834	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 2
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> 0 <_ 2 )
28		nnge1 8767	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> 1 <_ y )
29	22, 23, 27, 28	lemulge12d 8720	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> 2 <_ ( y x. 2 ) )
30	22, 24, 25, 29	lesub1dd 8347	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( 2 - 1 ) <_ ( ( y x. 2 ) - 1 ) )
31	21, 30	eqbrtrid 3971	. . . 4 |- ( y e. NN -> 1 <_ ( ( y x. 2 ) - 1 ) )
32		elnnz1 9101	. . . 4 |- ( ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. ZZ /\ 1 <_ ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
33	20, 31, 32	sylanbrc 414	. . 3 |- ( y e. NN -> ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. NN )
34		dvdsmul2 11552	. . . . 5 |- ( ( y e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 2 || ( y x. 2 ) )
35	15, 16, 34	sylancl 410	. . . 4 |- ( y e. NN -> 2 || ( y x. 2 ) )
36		oddm1even 11608	. . . . . 6 |- ( ( y x. 2 ) e. ZZ -> ( -. 2 || ( y x. 2 ) <-> 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
37	18, 36	syl 14	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( -. 2 || ( y x. 2 ) <-> 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
38	37	biimprd 157	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) -> -. 2 || ( y x. 2 ) ) )
39	35, 38	mt2d 615	. . 3 |- ( y e. NN -> -. 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) )
40		breq2 3941	. . . . 5 |- ( z = ( ( y x. 2 ) - 1 ) -> ( 2 || z <-> 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
41	40	notbid 657	. . . 4 |- ( z = ( ( y x. 2 ) - 1 ) -> ( -. 2 || z <-> -. 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
42	41	elrab 2844	. . 3 |- ( ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. { z e. NN | -. 2 || z } <-> ( ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. NN /\ -. 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
43	33, 39, 42	sylanbrc 414	. 2 |- ( y e. NN -> ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. { z e. NN | -. 2 || z } )
44	3	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> x e. NN )
45	44	nncnd 8758	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> x e. CC )
46		1cnd 7806	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> 1 e. CC )
47	45, 46	addcld 7809	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( x + 1 ) e. CC )
48		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> y e. NN )
49	48	nncnd 8758	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> y e. CC )
50		2cnd 8817	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> 2 e. CC )
51		2ap0 8837	. . . . . 6 |- 2 # 0
52	51	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> 2 # 0 )
53	47, 49, 50, 52	divmulap3d 8609	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( ( ( x + 1 ) / 2 ) = y <-> ( x + 1 ) = ( y x. 2 ) ) )
54	49, 50	mulcld 7810	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( y x. 2 ) e. CC )
55	45, 46, 54	addlsub 8156	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( ( x + 1 ) = ( y x. 2 ) <-> x = ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
56	53, 55	bitrd 187	. . 3 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( ( ( x + 1 ) / 2 ) = y <-> x = ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
57		eqcom 2142	. . 3 |- ( ( ( x + 1 ) / 2 ) = y <-> y = ( ( x + 1 ) / 2 ) )
58	56, 57	bitr3di 194	. 2 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( x = ( ( y x. 2 ) - 1 ) <-> y = ( ( x + 1 ) / 2 ) ) )
59	2, 1, 14, 43, 58	en3i 6673	1 |- { z e. NN | -. 2 || z } ~~ NN

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   {crab 2421   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   ~~ cen 6640   0cc0 7644   1c1 7645   + caddc 7647   x. cmul 7649   <_ cle 7825   - cmin 7957   # cap 8367   / cdiv 8456   NNcn 8744   2c2 8795   ZZcz 9078   || cdvds 11529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-xor 1355  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-en 6643  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-n0 9002  df-z 9079  df-dvds 11530

This theorem is referenced by:  xpnnen  11943  unennn  11946