Theorem oddennn 12763

Description: There are as many odd positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
oddennn	|- { z e. NN | -. 2 || z } ~~ NN

Proof of Theorem oddennn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 9042	. . 3 |- NN e. _V
2	1	rabex 4188	. 2 |- { z e. NN | -. 2 || z } e. _V
3		elrabi 2926	. . . 4 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> x e. NN )
4	3	peano2nnd 9051	. . 3 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> ( x + 1 ) e. NN )
5		breq2 4048	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( 2 || z <-> 2 || x ) )
6	5	notbid 669	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( -. 2 || z <-> -. 2 || x ) )
7	6	elrab 2929	. . . . 5 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } <-> ( x e. NN /\ -. 2 || x ) )
8	7	simprbi 275	. . . 4 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> -. 2 || x )
9	3	nnzd 9494	. . . . 5 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> x e. ZZ )
10		oddp1even 12187	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> ( -. 2 || x <-> 2 || ( x + 1 ) ) )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> ( -. 2 || x <-> 2 || ( x + 1 ) ) )
12	8, 11	mpbid 147	. . 3 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> 2 || ( x + 1 ) )
13		nnehalf 12215	. . 3 |- ( ( ( x + 1 ) e. NN /\ 2 || ( x + 1 ) ) -> ( ( x + 1 ) / 2 ) e. NN )
14	4, 12, 13	syl2anc 411	. 2 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> ( ( x + 1 ) / 2 ) e. NN )
15		nnz 9391	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
16		2z 9400	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> 2 e. ZZ )
18	15, 17	zmulcld 9501	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( y x. 2 ) e. ZZ )
19		peano2zm 9410	. . . . 5 |- ( ( y x. 2 ) e. ZZ -> ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. ZZ )
20	18, 19	syl 14	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. ZZ )
21		1e2m1 9155	. . . . 5 |- 1 = ( 2 - 1 )
22	17	zred 9495	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> 2 e. RR )
23		nnre 9043	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. RR )
24	23, 22	remulcld 8103	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( y x. 2 ) e. RR )
25		1red 8087	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> 1 e. RR )
26		0le2 9126	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 2
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> 0 <_ 2 )
28		nnge1 9059	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> 1 <_ y )
29	22, 23, 27, 28	lemulge12d 9011	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> 2 <_ ( y x. 2 ) )
30	22, 24, 25, 29	lesub1dd 8634	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( 2 - 1 ) <_ ( ( y x. 2 ) - 1 ) )
31	21, 30	eqbrtrid 4079	. . . 4 |- ( y e. NN -> 1 <_ ( ( y x. 2 ) - 1 ) )
32		elnnz1 9395	. . . 4 |- ( ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. ZZ /\ 1 <_ ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
33	20, 31, 32	sylanbrc 417	. . 3 |- ( y e. NN -> ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. NN )
34		dvdsmul2 12125	. . . . 5 |- ( ( y e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 2 || ( y x. 2 ) )
35	15, 16, 34	sylancl 413	. . . 4 |- ( y e. NN -> 2 || ( y x. 2 ) )
36		oddm1even 12186	. . . . . 6 |- ( ( y x. 2 ) e. ZZ -> ( -. 2 || ( y x. 2 ) <-> 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
37	18, 36	syl 14	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( -. 2 || ( y x. 2 ) <-> 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
38	37	biimprd 158	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) -> -. 2 || ( y x. 2 ) ) )
39	35, 38	mt2d 626	. . 3 |- ( y e. NN -> -. 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) )
40		breq2 4048	. . . . 5 |- ( z = ( ( y x. 2 ) - 1 ) -> ( 2 || z <-> 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
41	40	notbid 669	. . . 4 |- ( z = ( ( y x. 2 ) - 1 ) -> ( -. 2 || z <-> -. 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
42	41	elrab 2929	. . 3 |- ( ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. { z e. NN | -. 2 || z } <-> ( ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. NN /\ -. 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
43	33, 39, 42	sylanbrc 417	. 2 |- ( y e. NN -> ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. { z e. NN | -. 2 || z } )
44	3	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> x e. NN )
45	44	nncnd 9050	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> x e. CC )
46		1cnd 8088	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> 1 e. CC )
47	45, 46	addcld 8092	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( x + 1 ) e. CC )
48		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> y e. NN )
49	48	nncnd 9050	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> y e. CC )
50		2cnd 9109	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> 2 e. CC )
51		2ap0 9129	. . . . . 6 |- 2 # 0
52	51	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> 2 # 0 )
53	47, 49, 50, 52	divmulap3d 8898	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( ( ( x + 1 ) / 2 ) = y <-> ( x + 1 ) = ( y x. 2 ) ) )
54	49, 50	mulcld 8093	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( y x. 2 ) e. CC )
55	45, 46, 54	addlsub 8442	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( ( x + 1 ) = ( y x. 2 ) <-> x = ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
56	53, 55	bitrd 188	. . 3 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( ( ( x + 1 ) / 2 ) = y <-> x = ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
57		eqcom 2207	. . 3 |- ( ( ( x + 1 ) / 2 ) = y <-> y = ( ( x + 1 ) / 2 ) )
58	56, 57	bitr3di 195	. 2 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( x = ( ( y x. 2 ) - 1 ) <-> y = ( ( x + 1 ) / 2 ) ) )
59	2, 1, 14, 43, 58	en3i 6862	1 |- { z e. NN | -. 2 || z } ~~ NN

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   {crab 2488   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   ~~ cen 6825   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   x. cmul 7930   <_ cle 8108   - cmin 8243   # cap 8654   / cdiv 8745   NNcn 9036   2c2 9087   ZZcz 9372   || cdvds 12098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-en 6828  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-n0 9296  df-z 9373  df-dvds 12099

This theorem is referenced by:  xpnnen  12765  unennn  12768