Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddennn Unicode version

Theorem oddennn 11916
 Description: There are as many odd positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
oddennn

Proof of Theorem oddennn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 8738 . . 3
21rabex 4072 . 2
3 elrabi 2837 . . . 4
43peano2nnd 8747 . . 3
5 breq2 3933 . . . . . . 7
65notbid 656 . . . . . 6
76elrab 2840 . . . . 5
87simprbi 273 . . . 4
93nnzd 9184 . . . . 5
10 oddp1even 11584 . . . . 5
119, 10syl 14 . . . 4
128, 11mpbid 146 . . 3
13 nnehalf 11612 . . 3
144, 12, 13syl2anc 408 . 2
15 nnz 9085 . . . . . 6
16 2z 9094 . . . . . . 7
1716a1i 9 . . . . . 6
1815, 17zmulcld 9191 . . . . 5
19 peano2zm 9104 . . . . 5
2018, 19syl 14 . . . 4
21 1e2m1 8851 . . . . 5
2217zred 9185 . . . . . 6
23 nnre 8739 . . . . . . 7
2423, 22remulcld 7808 . . . . . 6
25 1red 7793 . . . . . 6
26 0le2 8822 . . . . . . . 8
2726a1i 9 . . . . . . 7
28 nnge1 8755 . . . . . . 7
2922, 23, 27, 28lemulge12d 8708 . . . . . 6
3022, 24, 25, 29lesub1dd 8335 . . . . 5
3121, 30eqbrtrid 3963 . . . 4
32 elnnz1 9089 . . . 4
3320, 31, 32sylanbrc 413 . . 3
34 dvdsmul2 11527 . . . . 5
3515, 16, 34sylancl 409 . . . 4
36 oddm1even 11583 . . . . . 6
3718, 36syl 14 . . . . 5
3837biimprd 157 . . . 4
3935, 38mt2d 614 . . 3
40 breq2 3933 . . . . 5
4140notbid 656 . . . 4
4241elrab 2840 . . 3
4333, 39, 42sylanbrc 413 . 2
443adantr 274 . . . . . . 7
4544nncnd 8746 . . . . . 6
46 1cnd 7794 . . . . . 6
4745, 46addcld 7797 . . . . 5
48 simpr 109 . . . . . 6
4948nncnd 8746 . . . . 5
50 2cnd 8805 . . . . 5
51 2ap0 8825 . . . . . 6 #
5251a1i 9 . . . . 5 #
5347, 49, 50, 52divmulap3d 8597 . . . 4
5449, 50mulcld 7798 . . . . 5
5545, 46, 54addlsub 8144 . . . 4
5653, 55bitrd 187 . . 3
57 eqcom 2141 . . 3
5856, 57bitr3di 194 . 2
592, 1, 14, 43, 58en3i 6665 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wa 103   wb 104   wceq 1331   wcel 1480  crab 2420   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   cen 6632  cc0 7632  c1 7633   caddc 7635   cmul 7637   cle 7813   cmin 7945   # cap 8355   cdiv 8444  cn 8732  c2 8783  cz 9066   cdvds 11504 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-xor 1354  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-en 6635  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-n0 8990  df-z 9067  df-dvds 11505 This theorem is referenced by:  xpnnen  11918  unennn  11921
 Copyright terms: Public domain W3C validator