Theorem oddennn 11697

Description: There are as many odd positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
oddennn	|- { z e. NN | -. 2 || z } ~~ NN

Proof of Theorem oddennn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 8584	. . 3 |- NN e. _V
2	1	rabex 4012	. 2 |- { z e. NN | -. 2 || z } e. _V
3		elrabi 2790	. . . 4 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> x e. NN )
4	3	peano2nnd 8593	. . 3 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> ( x + 1 ) e. NN )
5		breq2 3879	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( 2 || z <-> 2 || x ) )
6	5	notbid 633	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( -. 2 || z <-> -. 2 || x ) )
7	6	elrab 2793	. . . . 5 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } <-> ( x e. NN /\ -. 2 || x ) )
8	7	simprbi 271	. . . 4 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> -. 2 || x )
9	3	nnzd 9024	. . . . 5 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> x e. ZZ )
10		oddp1even 11368	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> ( -. 2 || x <-> 2 || ( x + 1 ) ) )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> ( -. 2 || x <-> 2 || ( x + 1 ) ) )
12	8, 11	mpbid 146	. . 3 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> 2 || ( x + 1 ) )
13		nnehalf 11396	. . 3 |- ( ( ( x + 1 ) e. NN /\ 2 || ( x + 1 ) ) -> ( ( x + 1 ) / 2 ) e. NN )
14	4, 12, 13	syl2anc 406	. 2 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> ( ( x + 1 ) / 2 ) e. NN )
15		nnz 8925	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
16		2z 8934	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> 2 e. ZZ )
18	15, 17	zmulcld 9031	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( y x. 2 ) e. ZZ )
19		peano2zm 8944	. . . . 5 |- ( ( y x. 2 ) e. ZZ -> ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. ZZ )
20	18, 19	syl 14	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. ZZ )
21		1e2m1 8697	. . . . 5 |- 1 = ( 2 - 1 )
22	17	zred 9025	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> 2 e. RR )
23		nnre 8585	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. RR )
24	23, 22	remulcld 7668	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( y x. 2 ) e. RR )
25		1red 7653	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> 1 e. RR )
26		0le2 8668	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 2
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> 0 <_ 2 )
28		nnge1 8601	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> 1 <_ y )
29	22, 23, 27, 28	lemulge12d 8554	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> 2 <_ ( y x. 2 ) )
30	22, 24, 25, 29	lesub1dd 8189	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( 2 - 1 ) <_ ( ( y x. 2 ) - 1 ) )
31	21, 30	syl5eqbr 3908	. . . 4 |- ( y e. NN -> 1 <_ ( ( y x. 2 ) - 1 ) )
32		elnnz1 8929	. . . 4 |- ( ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. ZZ /\ 1 <_ ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
33	20, 31, 32	sylanbrc 411	. . 3 |- ( y e. NN -> ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. NN )
34		dvdsmul2 11311	. . . . 5 |- ( ( y e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 2 || ( y x. 2 ) )
35	15, 16, 34	sylancl 407	. . . 4 |- ( y e. NN -> 2 || ( y x. 2 ) )
36		oddm1even 11367	. . . . . 6 |- ( ( y x. 2 ) e. ZZ -> ( -. 2 || ( y x. 2 ) <-> 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
37	18, 36	syl 14	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( -. 2 || ( y x. 2 ) <-> 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
38	37	biimprd 157	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) -> -. 2 || ( y x. 2 ) ) )
39	35, 38	mt2d 595	. . 3 |- ( y e. NN -> -. 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) )
40		breq2 3879	. . . . 5 |- ( z = ( ( y x. 2 ) - 1 ) -> ( 2 || z <-> 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
41	40	notbid 633	. . . 4 |- ( z = ( ( y x. 2 ) - 1 ) -> ( -. 2 || z <-> -. 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
42	41	elrab 2793	. . 3 |- ( ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. { z e. NN | -. 2 || z } <-> ( ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. NN /\ -. 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
43	33, 39, 42	sylanbrc 411	. 2 |- ( y e. NN -> ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. { z e. NN | -. 2 || z } )
44		eqcom 2102	. . 3 |- ( ( ( x + 1 ) / 2 ) = y <-> y = ( ( x + 1 ) / 2 ) )
45	3	adantr 272	. . . . . . 7 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> x e. NN )
46	45	nncnd 8592	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> x e. CC )
47		1cnd 7654	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> 1 e. CC )
48	46, 47	addcld 7657	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( x + 1 ) e. CC )
49		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> y e. NN )
50	49	nncnd 8592	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> y e. CC )
51		2cnd 8651	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> 2 e. CC )
52		2ap0 8671	. . . . . 6 |- 2 # 0
53	52	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> 2 # 0 )
54	48, 50, 51, 53	divmulap3d 8446	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( ( ( x + 1 ) / 2 ) = y <-> ( x + 1 ) = ( y x. 2 ) ) )
55	50, 51	mulcld 7658	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( y x. 2 ) e. CC )
56	46, 47, 55	addlsub 7999	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( ( x + 1 ) = ( y x. 2 ) <-> x = ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
57	54, 56	bitrd 187	. . 3 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( ( ( x + 1 ) / 2 ) = y <-> x = ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
58	44, 57	syl5rbbr 194	. 2 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( x = ( ( y x. 2 ) - 1 ) <-> y = ( ( x + 1 ) / 2 ) ) )
59	2, 1, 14, 43, 58	en3i 6595	1 |- { z e. NN | -. 2 || z } ~~ NN

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1299   e. wcel 1448   {crab 2379   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706   ~~ cen 6562   0cc0 7500   1c1 7501   + caddc 7503   x. cmul 7505   <_ cle 7673   - cmin 7804   # cap 8209   / cdiv 8293   NNcn 8578   2c2 8629   ZZcz 8906   || cdvds 11288

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-xor 1322  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-en 6565  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-n0 8830  df-z 8907  df-dvds 11289

This theorem is referenced by:  xpnnen  11699  unennn  11702