Theorem oddennn 11894

Description: There are as many odd positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
oddennn	|- { z e. NN | -. 2 || z } ~~ NN

Proof of Theorem oddennn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 8719	. . 3 |- NN e. _V
2	1	rabex 4067	. 2 |- { z e. NN | -. 2 || z } e. _V
3		elrabi 2832	. . . 4 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> x e. NN )
4	3	peano2nnd 8728	. . 3 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> ( x + 1 ) e. NN )
5		breq2 3928	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( 2 || z <-> 2 || x ) )
6	5	notbid 656	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( -. 2 || z <-> -. 2 || x ) )
7	6	elrab 2835	. . . . 5 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } <-> ( x e. NN /\ -. 2 || x ) )
8	7	simprbi 273	. . . 4 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> -. 2 || x )
9	3	nnzd 9165	. . . . 5 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> x e. ZZ )
10		oddp1even 11562	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> ( -. 2 || x <-> 2 || ( x + 1 ) ) )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> ( -. 2 || x <-> 2 || ( x + 1 ) ) )
12	8, 11	mpbid 146	. . 3 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> 2 || ( x + 1 ) )
13		nnehalf 11590	. . 3 |- ( ( ( x + 1 ) e. NN /\ 2 || ( x + 1 ) ) -> ( ( x + 1 ) / 2 ) e. NN )
14	4, 12, 13	syl2anc 408	. 2 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> ( ( x + 1 ) / 2 ) e. NN )
15		nnz 9066	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
16		2z 9075	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> 2 e. ZZ )
18	15, 17	zmulcld 9172	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( y x. 2 ) e. ZZ )
19		peano2zm 9085	. . . . 5 |- ( ( y x. 2 ) e. ZZ -> ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. ZZ )
20	18, 19	syl 14	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. ZZ )
21		1e2m1 8832	. . . . 5 |- 1 = ( 2 - 1 )
22	17	zred 9166	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> 2 e. RR )
23		nnre 8720	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. RR )
24	23, 22	remulcld 7789	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( y x. 2 ) e. RR )
25		1red 7774	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> 1 e. RR )
26		0le2 8803	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 2
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> 0 <_ 2 )
28		nnge1 8736	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> 1 <_ y )
29	22, 23, 27, 28	lemulge12d 8689	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> 2 <_ ( y x. 2 ) )
30	22, 24, 25, 29	lesub1dd 8316	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( 2 - 1 ) <_ ( ( y x. 2 ) - 1 ) )
31	21, 30	eqbrtrid 3958	. . . 4 |- ( y e. NN -> 1 <_ ( ( y x. 2 ) - 1 ) )
32		elnnz1 9070	. . . 4 |- ( ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. ZZ /\ 1 <_ ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
33	20, 31, 32	sylanbrc 413	. . 3 |- ( y e. NN -> ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. NN )
34		dvdsmul2 11505	. . . . 5 |- ( ( y e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 2 || ( y x. 2 ) )
35	15, 16, 34	sylancl 409	. . . 4 |- ( y e. NN -> 2 || ( y x. 2 ) )
36		oddm1even 11561	. . . . . 6 |- ( ( y x. 2 ) e. ZZ -> ( -. 2 || ( y x. 2 ) <-> 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
37	18, 36	syl 14	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( -. 2 || ( y x. 2 ) <-> 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
38	37	biimprd 157	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) -> -. 2 || ( y x. 2 ) ) )
39	35, 38	mt2d 614	. . 3 |- ( y e. NN -> -. 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) )
40		breq2 3928	. . . . 5 |- ( z = ( ( y x. 2 ) - 1 ) -> ( 2 || z <-> 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
41	40	notbid 656	. . . 4 |- ( z = ( ( y x. 2 ) - 1 ) -> ( -. 2 || z <-> -. 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
42	41	elrab 2835	. . 3 |- ( ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. { z e. NN | -. 2 || z } <-> ( ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. NN /\ -. 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
43	33, 39, 42	sylanbrc 413	. 2 |- ( y e. NN -> ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. { z e. NN | -. 2 || z } )
44		eqcom 2139	. . 3 |- ( ( ( x + 1 ) / 2 ) = y <-> y = ( ( x + 1 ) / 2 ) )
45	3	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> x e. NN )
46	45	nncnd 8727	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> x e. CC )
47		1cnd 7775	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> 1 e. CC )
48	46, 47	addcld 7778	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( x + 1 ) e. CC )
49		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> y e. NN )
50	49	nncnd 8727	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> y e. CC )
51		2cnd 8786	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> 2 e. CC )
52		2ap0 8806	. . . . . 6 |- 2 # 0
53	52	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> 2 # 0 )
54	48, 50, 51, 53	divmulap3d 8578	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( ( ( x + 1 ) / 2 ) = y <-> ( x + 1 ) = ( y x. 2 ) ) )
55	50, 51	mulcld 7779	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( y x. 2 ) e. CC )
56	46, 47, 55	addlsub 8125	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( ( x + 1 ) = ( y x. 2 ) <-> x = ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
57	54, 56	bitrd 187	. . 3 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( ( ( x + 1 ) / 2 ) = y <-> x = ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
58	44, 57	syl5rbbr 194	. 2 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( x = ( ( y x. 2 ) - 1 ) <-> y = ( ( x + 1 ) / 2 ) ) )
59	2, 1, 14, 43, 58	en3i 6658	1 |- { z e. NN | -. 2 || z } ~~ NN

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   {crab 2418   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   ~~ cen 6625   0cc0 7613   1c1 7614   + caddc 7616   x. cmul 7618   <_ cle 7794   - cmin 7926   # cap 8336   / cdiv 8425   NNcn 8713   2c2 8764   ZZcz 9047   || cdvds 11482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-xor 1354  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-en 6628  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-n0 8971  df-z 9048  df-dvds 11483

This theorem is referenced by:  xpnnen  11896  unennn  11899