ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddennn Unicode version

Theorem oddennn 12340
Description: There are as many odd positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
oddennn  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ~~  NN

Proof of Theorem oddennn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 8877 . . 3  |-  NN  e.  _V
21rabex 4131 . 2  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  e.  _V
3 elrabi 2883 . . . 4  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ->  x  e.  NN )
43peano2nnd 8886 . . 3  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ->  (
x  +  1 )  e.  NN )
5 breq2 3991 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  x ) )
65notbid 662 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  x ) )
76elrab 2886 . . . . 5  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  <->  ( x  e.  NN  /\  -.  2  ||  x ) )
87simprbi 273 . . . 4  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ->  -.  2  ||  x )
93nnzd 9326 . . . . 5  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ->  x  e.  ZZ )
10 oddp1even 11828 . . . . 5  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  x  <->  2  ||  ( x  +  1
) ) )
119, 10syl 14 . . . 4  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ->  ( -.  2  ||  x  <->  2  ||  ( x  +  1
) ) )
128, 11mpbid 146 . . 3  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ->  2  ||  ( x  +  1 ) )
13 nnehalf 11856 . . 3  |-  ( ( ( x  +  1 )  e.  NN  /\  2  ||  ( x  + 
1 ) )  -> 
( ( x  + 
1 )  /  2
)  e.  NN )
144, 12, 13syl2anc 409 . 2  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ->  (
( x  +  1 )  /  2 )  e.  NN )
15 nnz 9224 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
16 2z 9233 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
1716a1i 9 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
1815, 17zmulcld 9333 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  x.  2 )  e.  ZZ )
19 peano2zm 9243 . . . . 5  |-  ( ( y  x.  2 )  e.  ZZ  ->  (
( y  x.  2 )  -  1 )  e.  ZZ )
2018, 19syl 14 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  x.  2 )  -  1 )  e.  ZZ )
21 1e2m1 8990 . . . . 5  |-  1  =  ( 2  -  1 )
2217zred 9327 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  RR )
23 nnre 8878 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
2423, 22remulcld 7943 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  x.  2 )  e.  RR )
25 1red 7928 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  RR )
26 0le2 8961 . . . . . . . 8  |-  0  <_  2
2726a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  0  <_  2 )
28 nnge1 8894 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <_  y )
2922, 23, 27, 28lemulge12d 8847 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  2  <_  ( y  x.  2 ) )
3022, 24, 25, 29lesub1dd 8473 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  -  1 )  <_  ( ( y  x.  2 )  - 
1 ) )
3121, 30eqbrtrid 4022 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <_  ( ( y  x.  2 )  -  1 ) )
32 elnnz1 9228 . . . 4  |-  ( ( ( y  x.  2 )  -  1 )  e.  NN  <->  ( (
( y  x.  2 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  1  <_  ( ( y  x.  2 )  -  1 ) ) )
3320, 31, 32sylanbrc 415 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  x.  2 )  -  1 )  e.  NN )
34 dvdsmul2 11769 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( y  x.  2 ) )
3515, 16, 34sylancl 411 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  2  ||  ( y  x.  2 ) )
36 oddm1even 11827 . . . . . 6  |-  ( ( y  x.  2 )  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  ( y  x.  2 )  <->  2  ||  ( ( y  x.  2 )  -  1 ) ) )
3718, 36syl 14 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  ( -.  2  ||  ( y  x.  2 )  <->  2  ||  ( ( y  x.  2 )  -  1 ) ) )
3837biimprd 157 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  ||  ( (
y  x.  2 )  -  1 )  ->  -.  2  ||  ( y  x.  2 ) ) )
3935, 38mt2d 620 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  -.  2  ||  ( ( y  x.  2 )  - 
1 ) )
40 breq2 3991 . . . . 5  |-  ( z  =  ( ( y  x.  2 )  - 
1 )  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  ( ( y  x.  2 )  -  1 ) ) )
4140notbid 662 . . . 4  |-  ( z  =  ( ( y  x.  2 )  - 
1 )  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  ( ( y  x.  2 )  -  1 ) ) )
4241elrab 2886 . . 3  |-  ( ( ( y  x.  2 )  -  1 )  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  <->  ( (
( y  x.  2 )  -  1 )  e.  NN  /\  -.  2  ||  ( ( y  x.  2 )  - 
1 ) ) )
4333, 39, 42sylanbrc 415 . 2  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  x.  2 )  -  1 )  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )
443adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  x  e.  NN )
4544nncnd 8885 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  x  e.  CC )
46 1cnd 7929 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
4745, 46addcld 7932 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  +  1 )  e.  CC )
48 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  NN )
4948nncnd 8885 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  CC )
50 2cnd 8944 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
51 2ap0 8964 . . . . . 6  |-  2 #  0
5251a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  2 #  0 )
5347, 49, 50, 52divmulap3d 8735 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( ( x  +  1 )  / 
2 )  =  y  <-> 
( x  +  1 )  =  ( y  x.  2 ) ) )
5449, 50mulcld 7933 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  x.  2 )  e.  CC )
5545, 46, 54addlsub 8282 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( x  + 
1 )  =  ( y  x.  2 )  <-> 
x  =  ( ( y  x.  2 )  -  1 ) ) )
5653, 55bitrd 187 . . 3  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( ( x  +  1 )  / 
2 )  =  y  <-> 
x  =  ( ( y  x.  2 )  -  1 ) ) )
57 eqcom 2172 . . 3  |-  ( ( ( x  +  1 )  /  2 )  =  y  <->  y  =  ( ( x  + 
1 )  /  2
) )
5856, 57bitr3di 194 . 2  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  =  ( ( y  x.  2 )  -  1 )  <-> 
y  =  ( ( x  +  1 )  /  2 ) ) )
592, 1, 14, 43, 58en3i 6747 1  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ~~  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   {crab 2452   class class class wbr 3987  (class class class)co 5851    ~~ cen 6714   0cc0 7767   1c1 7768    + caddc 7770    x. cmul 7772    <_ cle 7948    - cmin 8083   # cap 8493    / cdiv 8582   NNcn 8871   2c2 8922   ZZcz 9205    || cdvds 11742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-xor 1371  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-en 6717  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-2 8930  df-n0 9129  df-z 9206  df-dvds 11743
This theorem is referenced by:  xpnnen  12342  unennn  12345
  Copyright terms: Public domain W3C validator