ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddennn Unicode version

Theorem oddennn 11130
Description: There are as many odd positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
oddennn  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ~~  NN

Proof of Theorem oddennn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 8366 . . 3  |-  NN  e.  _V
21rabex 3960 . 2  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  e.  _V
3 elrabi 2759 . . . 4  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ->  x  e.  NN )
43peano2nnd 8375 . . 3  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ->  (
x  +  1 )  e.  NN )
5 breq2 3826 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  x ) )
65notbid 625 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  x ) )
76elrab 2762 . . . . 5  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  <->  ( x  e.  NN  /\  -.  2  ||  x ) )
87simprbi 269 . . . 4  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ->  -.  2  ||  x )
93nnzd 8803 . . . . 5  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ->  x  e.  ZZ )
10 oddp1even 10801 . . . . 5  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  x  <->  2  ||  ( x  +  1
) ) )
119, 10syl 14 . . . 4  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ->  ( -.  2  ||  x  <->  2  ||  ( x  +  1
) ) )
128, 11mpbid 145 . . 3  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ->  2  ||  ( x  +  1 ) )
13 nnehalf 10829 . . 3  |-  ( ( ( x  +  1 )  e.  NN  /\  2  ||  ( x  + 
1 ) )  -> 
( ( x  + 
1 )  /  2
)  e.  NN )
144, 12, 13syl2anc 403 . 2  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ->  (
( x  +  1 )  /  2 )  e.  NN )
15 nnz 8705 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
16 2z 8714 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
1716a1i 9 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
1815, 17zmulcld 8810 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  x.  2 )  e.  ZZ )
19 peano2zm 8724 . . . . 5  |-  ( ( y  x.  2 )  e.  ZZ  ->  (
( y  x.  2 )  -  1 )  e.  ZZ )
2018, 19syl 14 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  x.  2 )  -  1 )  e.  ZZ )
21 1e2m1 8478 . . . . 5  |-  1  =  ( 2  -  1 )
2217zred 8804 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  RR )
23 nnre 8367 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
2423, 22remulcld 7465 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  x.  2 )  e.  RR )
25 1red 7450 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  RR )
26 0le2 8450 . . . . . . . 8  |-  0  <_  2
2726a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  0  <_  2 )
28 nnge1 8383 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <_  y )
2922, 23, 27, 28lemulge12d 8337 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  2  <_  ( y  x.  2 ) )
3022, 24, 25, 29lesub1dd 7982 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  -  1 )  <_  ( ( y  x.  2 )  - 
1 ) )
3121, 30syl5eqbr 3855 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <_  ( ( y  x.  2 )  -  1 ) )
32 elnnz1 8709 . . . 4  |-  ( ( ( y  x.  2 )  -  1 )  e.  NN  <->  ( (
( y  x.  2 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  1  <_  ( ( y  x.  2 )  -  1 ) ) )
3320, 31, 32sylanbrc 408 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  x.  2 )  -  1 )  e.  NN )
34 dvdsmul2 10744 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( y  x.  2 ) )
3515, 16, 34sylancl 404 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  2  ||  ( y  x.  2 ) )
36 oddm1even 10800 . . . . . 6  |-  ( ( y  x.  2 )  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  ( y  x.  2 )  <->  2  ||  ( ( y  x.  2 )  -  1 ) ) )
3718, 36syl 14 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  ( -.  2  ||  ( y  x.  2 )  <->  2  ||  ( ( y  x.  2 )  -  1 ) ) )
3837biimprd 156 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  ||  ( (
y  x.  2 )  -  1 )  ->  -.  2  ||  ( y  x.  2 ) ) )
3935, 38mt2d 588 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  -.  2  ||  ( ( y  x.  2 )  - 
1 ) )
40 breq2 3826 . . . . 5  |-  ( z  =  ( ( y  x.  2 )  - 
1 )  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  ( ( y  x.  2 )  -  1 ) ) )
4140notbid 625 . . . 4  |-  ( z  =  ( ( y  x.  2 )  - 
1 )  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  ( ( y  x.  2 )  -  1 ) ) )
4241elrab 2762 . . 3  |-  ( ( ( y  x.  2 )  -  1 )  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  <->  ( (
( y  x.  2 )  -  1 )  e.  NN  /\  -.  2  ||  ( ( y  x.  2 )  - 
1 ) ) )
4333, 39, 42sylanbrc 408 . 2  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  x.  2 )  -  1 )  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )
44 eqcom 2087 . . 3  |-  ( ( ( x  +  1 )  /  2 )  =  y  <->  y  =  ( ( x  + 
1 )  /  2
) )
453adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  x  e.  NN )
4645nncnd 8374 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  x  e.  CC )
47 1cnd 7451 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
4846, 47addcld 7454 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  +  1 )  e.  CC )
49 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  NN )
5049nncnd 8374 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  CC )
51 2cnd 8433 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
52 2ap0 8453 . . . . . 6  |-  2 #  0
5352a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  2 #  0 )
5448, 50, 51, 53divmulap3d 8232 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( ( x  +  1 )  / 
2 )  =  y  <-> 
( x  +  1 )  =  ( y  x.  2 ) ) )
5550, 51mulcld 7455 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  x.  2 )  e.  CC )
5646, 47, 55addlsub 7795 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( x  + 
1 )  =  ( y  x.  2 )  <-> 
x  =  ( ( y  x.  2 )  -  1 ) ) )
5754, 56bitrd 186 . . 3  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( ( x  +  1 )  / 
2 )  =  y  <-> 
x  =  ( ( y  x.  2 )  -  1 ) ) )
5844, 57syl5rbbr 193 . 2  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  =  ( ( y  x.  2 )  -  1 )  <-> 
y  =  ( ( x  +  1 )  /  2 ) ) )
592, 1, 14, 43, 58en3i 6442 1  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ~~  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1287    e. wcel 1436   {crab 2359   class class class wbr 3822  (class class class)co 5615    ~~ cen 6409   0cc0 7297   1c1 7298    + caddc 7300    x. cmul 7302    <_ cle 7470    - cmin 7600   # cap 8002    / cdiv 8081   NNcn 8360   2c2 8410   ZZcz 8686    || cdvds 10721
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409  ax-pre-mulext 7410
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-xor 1310  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-en 6412  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-reap 7996  df-ap 8003  df-div 8082  df-inn 8361  df-2 8419  df-n0 8610  df-z 8687  df-dvds 10722
This theorem is referenced by:  xpnnen  11132  unennn  11135
  Copyright terms: Public domain W3C validator