Theorem oddennn 12347

Description: There are as many odd positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
oddennn	|- { z e. NN | -. 2 || z } ~~ NN

Proof of Theorem oddennn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 8884	. . 3 |- NN e. _V
2	1	rabex 4133	. 2 |- { z e. NN | -. 2 || z } e. _V
3		elrabi 2883	. . . 4 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> x e. NN )
4	3	peano2nnd 8893	. . 3 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> ( x + 1 ) e. NN )
5		breq2 3993	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( 2 || z <-> 2 || x ) )
6	5	notbid 662	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( -. 2 || z <-> -. 2 || x ) )
7	6	elrab 2886	. . . . 5 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } <-> ( x e. NN /\ -. 2 || x ) )
8	7	simprbi 273	. . . 4 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> -. 2 || x )
9	3	nnzd 9333	. . . . 5 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> x e. ZZ )
10		oddp1even 11835	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> ( -. 2 || x <-> 2 || ( x + 1 ) ) )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> ( -. 2 || x <-> 2 || ( x + 1 ) ) )
12	8, 11	mpbid 146	. . 3 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> 2 || ( x + 1 ) )
13		nnehalf 11863	. . 3 |- ( ( ( x + 1 ) e. NN /\ 2 || ( x + 1 ) ) -> ( ( x + 1 ) / 2 ) e. NN )
14	4, 12, 13	syl2anc 409	. 2 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } -> ( ( x + 1 ) / 2 ) e. NN )
15		nnz 9231	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
16		2z 9240	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> 2 e. ZZ )
18	15, 17	zmulcld 9340	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( y x. 2 ) e. ZZ )
19		peano2zm 9250	. . . . 5 |- ( ( y x. 2 ) e. ZZ -> ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. ZZ )
20	18, 19	syl 14	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. ZZ )
21		1e2m1 8997	. . . . 5 |- 1 = ( 2 - 1 )
22	17	zred 9334	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> 2 e. RR )
23		nnre 8885	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. RR )
24	23, 22	remulcld 7950	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( y x. 2 ) e. RR )
25		1red 7935	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> 1 e. RR )
26		0le2 8968	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 2
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> 0 <_ 2 )
28		nnge1 8901	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> 1 <_ y )
29	22, 23, 27, 28	lemulge12d 8854	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> 2 <_ ( y x. 2 ) )
30	22, 24, 25, 29	lesub1dd 8480	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( 2 - 1 ) <_ ( ( y x. 2 ) - 1 ) )
31	21, 30	eqbrtrid 4024	. . . 4 |- ( y e. NN -> 1 <_ ( ( y x. 2 ) - 1 ) )
32		elnnz1 9235	. . . 4 |- ( ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. ZZ /\ 1 <_ ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
33	20, 31, 32	sylanbrc 415	. . 3 |- ( y e. NN -> ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. NN )
34		dvdsmul2 11776	. . . . 5 |- ( ( y e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 2 || ( y x. 2 ) )
35	15, 16, 34	sylancl 411	. . . 4 |- ( y e. NN -> 2 || ( y x. 2 ) )
36		oddm1even 11834	. . . . . 6 |- ( ( y x. 2 ) e. ZZ -> ( -. 2 || ( y x. 2 ) <-> 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
37	18, 36	syl 14	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( -. 2 || ( y x. 2 ) <-> 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
38	37	biimprd 157	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) -> -. 2 || ( y x. 2 ) ) )
39	35, 38	mt2d 620	. . 3 |- ( y e. NN -> -. 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) )
40		breq2 3993	. . . . 5 |- ( z = ( ( y x. 2 ) - 1 ) -> ( 2 || z <-> 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
41	40	notbid 662	. . . 4 |- ( z = ( ( y x. 2 ) - 1 ) -> ( -. 2 || z <-> -. 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
42	41	elrab 2886	. . 3 |- ( ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. { z e. NN | -. 2 || z } <-> ( ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. NN /\ -. 2 || ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
43	33, 39, 42	sylanbrc 415	. 2 |- ( y e. NN -> ( ( y x. 2 ) - 1 ) e. { z e. NN | -. 2 || z } )
44	3	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> x e. NN )
45	44	nncnd 8892	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> x e. CC )
46		1cnd 7936	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> 1 e. CC )
47	45, 46	addcld 7939	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( x + 1 ) e. CC )
48		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> y e. NN )
49	48	nncnd 8892	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> y e. CC )
50		2cnd 8951	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> 2 e. CC )
51		2ap0 8971	. . . . . 6 |- 2 # 0
52	51	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> 2 # 0 )
53	47, 49, 50, 52	divmulap3d 8742	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( ( ( x + 1 ) / 2 ) = y <-> ( x + 1 ) = ( y x. 2 ) ) )
54	49, 50	mulcld 7940	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( y x. 2 ) e. CC )
55	45, 46, 54	addlsub 8289	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( ( x + 1 ) = ( y x. 2 ) <-> x = ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
56	53, 55	bitrd 187	. . 3 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( ( ( x + 1 ) / 2 ) = y <-> x = ( ( y x. 2 ) - 1 ) ) )
57		eqcom 2172	. . 3 |- ( ( ( x + 1 ) / 2 ) = y <-> y = ( ( x + 1 ) / 2 ) )
58	56, 57	bitr3di 194	. 2 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( x = ( ( y x. 2 ) - 1 ) <-> y = ( ( x + 1 ) / 2 ) ) )
59	2, 1, 14, 43, 58	en3i 6749	1 |- { z e. NN | -. 2 || z } ~~ NN

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   {crab 2452   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   ~~ cen 6716   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   <_ cle 7955   - cmin 8090   # cap 8500   / cdiv 8589   NNcn 8878   2c2 8929   ZZcz 9212   || cdvds 11749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-xor 1371  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-en 6719  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-dvds 11750

This theorem is referenced by:  xpnnen  12349  unennn  12352