Theorem evenennn 11942

Description: There are as many even positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 12-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
evenennn	|- { z e. NN | 2 || z } ~~ NN

Proof of Theorem evenennn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 8750	. . 3 |- NN e. _V
2	1	rabex 4080	. 2 |- { z e. NN | 2 || z } e. _V
3		breq2 3941	. . . 4 |- ( z = x -> ( 2 || z <-> 2 || x ) )
4	3	elrab 2844	. . 3 |- ( x e. { z e. NN | 2 || z } <-> ( x e. NN /\ 2 || x ) )
5		nnehalf 11637	. . 3 |- ( ( x e. NN /\ 2 || x ) -> ( x / 2 ) e. NN )
6	4, 5	sylbi 120	. 2 |- ( x e. { z e. NN | 2 || z } -> ( x / 2 ) e. NN )
7		2nn 8905	. . . . 5 |- 2 e. NN
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( y e. NN -> 2 e. NN )
9		id 19	. . . 4 |- ( y e. NN -> y e. NN )
10	8, 9	nnmulcld 8793	. . 3 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. NN )
11		2z 9106	. . . 4 |- 2 e. ZZ
12		nnz 9097	. . . 4 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
13		dvdsmul1 11551	. . . 4 |- ( ( 2 e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> 2 || ( 2 x. y ) )
14	11, 12, 13	sylancr 411	. . 3 |- ( y e. NN -> 2 || ( 2 x. y ) )
15		breq2 3941	. . . 4 |- ( z = ( 2 x. y ) -> ( 2 || z <-> 2 || ( 2 x. y ) ) )
16	15	elrab 2844	. . 3 |- ( ( 2 x. y ) e. { z e. NN | 2 || z } <-> ( ( 2 x. y ) e. NN /\ 2 || ( 2 x. y ) ) )
17	10, 14, 16	sylanbrc 414	. 2 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. { z e. NN | 2 || z } )
18		elrabi 2841	. . . . . 6 |- ( x e. { z e. NN | 2 || z } -> x e. NN )
19	18	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> x e. NN )
20	19	nncnd 8758	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> x e. CC )
21		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> y e. NN )
22	21	nncnd 8758	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> y e. CC )
23		2cnd 8817	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> 2 e. CC )
24		2ap0 8837	. . . . 5 |- 2 # 0
25	24	a1i 9	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> 2 # 0 )
26	20, 22, 23, 25	divmulap3d 8609	. . 3 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( ( x / 2 ) = y <-> x = ( y x. 2 ) ) )
27		eqcom 2142	. . . 4 |- ( ( x / 2 ) = y <-> y = ( x / 2 ) )
28	27	a1i 9	. . 3 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( ( x / 2 ) = y <-> y = ( x / 2 ) ) )
29	22, 23	mulcomd 7811	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( y x. 2 ) = ( 2 x. y ) )
30	29	eqeq2d 2152	. . 3 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( x = ( y x. 2 ) <-> x = ( 2 x. y ) ) )
31	26, 28, 30	3bitr3rd 218	. 2 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( x = ( 2 x. y ) <-> y = ( x / 2 ) ) )
32	2, 1, 6, 17, 31	en3i 6673	1 |- { z e. NN | 2 || z } ~~ NN

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   {crab 2421   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   ~~ cen 6640   0cc0 7644   x. cmul 7649   # cap 8367   / cdiv 8456   NNcn 8744   2c2 8795   ZZcz 9078   || cdvds 11529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-en 6643  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-n0 9002  df-z 9079  df-dvds 11530

This theorem is referenced by:  unennn  11946