ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  evenennn Unicode version

Theorem evenennn 11000
Description: There are as many even positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 12-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
evenennn  |-  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  ~~  NN

Proof of Theorem evenennn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 8340 . . 3  |-  NN  e.  _V
21rabex 3951 . 2  |-  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  e.  _V
3 breq2 3818 . . . 4  |-  ( z  =  x  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  x ) )
43elrab 2761 . . 3  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  2  ||  z }  <->  ( x  e.  NN  /\  2  ||  x ) )
5 nnehalf 10698 . . 3  |-  ( ( x  e.  NN  /\  2  ||  x )  -> 
( x  /  2
)  e.  NN )
64, 5sylbi 119 . 2  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  2  ||  z }  ->  ( x  /  2 )  e.  NN )
7 2nn 8488 . . . . 5  |-  2  e.  NN
87a1i 9 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  NN )
9 id 19 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN )
108, 9nnmulcld 8382 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  NN )
11 2z 8688 . . . 4  |-  2  e.  ZZ
12 nnz 8679 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
13 dvdsmul1 10612 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 2  x.  y ) )
1411, 12, 13sylancr 405 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  2  ||  ( 2  x.  y
) )
15 breq2 3818 . . . 4  |-  ( z  =  ( 2  x.  y )  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  ( 2  x.  y
) ) )
1615elrab 2761 . . 3  |-  ( ( 2  x.  y )  e.  { z  e.  NN  |  2  ||  z }  <->  ( ( 2  x.  y )  e.  NN  /\  2  ||  ( 2  x.  y
) ) )
1710, 14, 16sylanbrc 408 . 2  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  { z  e.  NN  |  2  ||  z } )
18 elrabi 2758 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  2  ||  z }  ->  x  e.  NN )
1918adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  x  e.  NN )
2019nncnd 8348 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  x  e.  CC )
21 simpr 108 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  NN )
2221nncnd 8348 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  CC )
23 2cnd 8407 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
24 2ap0 8427 . . . . 5  |-  2 #  0
2524a1i 9 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  2 #  0 )
2620, 22, 23, 25divmulap3d 8206 . . 3  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( x  / 
2 )  =  y  <-> 
x  =  ( y  x.  2 ) ) )
27 eqcom 2087 . . . 4  |-  ( ( x  /  2 )  =  y  <->  y  =  ( x  /  2
) )
2827a1i 9 . . 3  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( x  / 
2 )  =  y  <-> 
y  =  ( x  /  2 ) ) )
2922, 23mulcomd 7430 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  x.  2 )  =  ( 2  x.  y ) )
3029eqeq2d 2096 . . 3  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  =  ( y  x.  2 )  <-> 
x  =  ( 2  x.  y ) ) )
3126, 28, 303bitr3rd 217 . 2  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  =  ( 2  x.  y )  <-> 
y  =  ( x  /  2 ) ) )
322, 1, 6, 17, 31en3i 6421 1  |-  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  ~~  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1287    e. wcel 1436   {crab 2359   class class class wbr 3814  (class class class)co 5594    ~~ cen 6388   0cc0 7271    x. cmul 7276   # cap 7976    / cdiv 8055   NNcn 8334   2c2 8384   ZZcz 8660    || cdvds 10590
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383  ax-pre-mulext 7384
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-en 6391  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-div 8056  df-inn 8335  df-2 8393  df-n0 8584  df-z 8661  df-dvds 10591
This theorem is referenced by:  unennn  11004
  Copyright terms: Public domain W3C validator