Theorem evenennn 12964

Description: There are as many even positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 12-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
evenennn	|- { z e. NN | 2 || z } ~~ NN

Proof of Theorem evenennn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 9116	. . 3 |- NN e. _V
2	1	rabex 4228	. 2 |- { z e. NN | 2 || z } e. _V
3		breq2 4087	. . . 4 |- ( z = x -> ( 2 || z <-> 2 || x ) )
4	3	elrab 2959	. . 3 |- ( x e. { z e. NN | 2 || z } <-> ( x e. NN /\ 2 || x ) )
5		nnehalf 12415	. . 3 |- ( ( x e. NN /\ 2 || x ) -> ( x / 2 ) e. NN )
6	4, 5	sylbi 121	. 2 |- ( x e. { z e. NN | 2 || z } -> ( x / 2 ) e. NN )
7		2nn 9272	. . . . 5 |- 2 e. NN
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( y e. NN -> 2 e. NN )
9		id 19	. . . 4 |- ( y e. NN -> y e. NN )
10	8, 9	nnmulcld 9159	. . 3 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. NN )
11		2z 9474	. . . 4 |- 2 e. ZZ
12		nnz 9465	. . . 4 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
13		dvdsmul1 12324	. . . 4 |- ( ( 2 e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> 2 || ( 2 x. y ) )
14	11, 12, 13	sylancr 414	. . 3 |- ( y e. NN -> 2 || ( 2 x. y ) )
15		breq2 4087	. . . 4 |- ( z = ( 2 x. y ) -> ( 2 || z <-> 2 || ( 2 x. y ) ) )
16	15	elrab 2959	. . 3 |- ( ( 2 x. y ) e. { z e. NN | 2 || z } <-> ( ( 2 x. y ) e. NN /\ 2 || ( 2 x. y ) ) )
17	10, 14, 16	sylanbrc 417	. 2 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. { z e. NN | 2 || z } )
18		elrabi 2956	. . . . . 6 |- ( x e. { z e. NN | 2 || z } -> x e. NN )
19	18	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> x e. NN )
20	19	nncnd 9124	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> x e. CC )
21		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> y e. NN )
22	21	nncnd 9124	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> y e. CC )
23		2cnd 9183	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> 2 e. CC )
24		2ap0 9203	. . . . 5 |- 2 # 0
25	24	a1i 9	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> 2 # 0 )
26	20, 22, 23, 25	divmulap3d 8972	. . 3 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( ( x / 2 ) = y <-> x = ( y x. 2 ) ) )
27		eqcom 2231	. . . 4 |- ( ( x / 2 ) = y <-> y = ( x / 2 ) )
28	27	a1i 9	. . 3 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( ( x / 2 ) = y <-> y = ( x / 2 ) ) )
29	22, 23	mulcomd 8168	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( y x. 2 ) = ( 2 x. y ) )
30	29	eqeq2d 2241	. . 3 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( x = ( y x. 2 ) <-> x = ( 2 x. y ) ) )
31	26, 28, 30	3bitr3rd 219	. 2 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( x = ( 2 x. y ) <-> y = ( x / 2 ) ) )
32	2, 1, 6, 17, 31	en3i 6922	1 |- { z e. NN | 2 || z } ~~ NN

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   ~~ cen 6885   0cc0 7999   x. cmul 8004   # cap 8728   / cdiv 8819   NNcn 9110   2c2 9161   ZZcz 9446   || cdvds 12298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-en 6888  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-n0 9370  df-z 9447  df-dvds 12299

This theorem is referenced by:  unennn  12968