Theorem evenennn 12418

Description: There are as many even positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 12-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
evenennn	|- { z e. NN | 2 || z } ~~ NN

Proof of Theorem evenennn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 8944	. . 3 |- NN e. _V
2	1	rabex 4162	. 2 |- { z e. NN | 2 || z } e. _V
3		breq2 4022	. . . 4 |- ( z = x -> ( 2 || z <-> 2 || x ) )
4	3	elrab 2908	. . 3 |- ( x e. { z e. NN | 2 || z } <-> ( x e. NN /\ 2 || x ) )
5		nnehalf 11928	. . 3 |- ( ( x e. NN /\ 2 || x ) -> ( x / 2 ) e. NN )
6	4, 5	sylbi 121	. 2 |- ( x e. { z e. NN | 2 || z } -> ( x / 2 ) e. NN )
7		2nn 9099	. . . . 5 |- 2 e. NN
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( y e. NN -> 2 e. NN )
9		id 19	. . . 4 |- ( y e. NN -> y e. NN )
10	8, 9	nnmulcld 8987	. . 3 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. NN )
11		2z 9300	. . . 4 |- 2 e. ZZ
12		nnz 9291	. . . 4 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
13		dvdsmul1 11839	. . . 4 |- ( ( 2 e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> 2 || ( 2 x. y ) )
14	11, 12, 13	sylancr 414	. . 3 |- ( y e. NN -> 2 || ( 2 x. y ) )
15		breq2 4022	. . . 4 |- ( z = ( 2 x. y ) -> ( 2 || z <-> 2 || ( 2 x. y ) ) )
16	15	elrab 2908	. . 3 |- ( ( 2 x. y ) e. { z e. NN | 2 || z } <-> ( ( 2 x. y ) e. NN /\ 2 || ( 2 x. y ) ) )
17	10, 14, 16	sylanbrc 417	. 2 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. { z e. NN | 2 || z } )
18		elrabi 2905	. . . . . 6 |- ( x e. { z e. NN | 2 || z } -> x e. NN )
19	18	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> x e. NN )
20	19	nncnd 8952	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> x e. CC )
21		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> y e. NN )
22	21	nncnd 8952	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> y e. CC )
23		2cnd 9011	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> 2 e. CC )
24		2ap0 9031	. . . . 5 |- 2 # 0
25	24	a1i 9	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> 2 # 0 )
26	20, 22, 23, 25	divmulap3d 8801	. . 3 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( ( x / 2 ) = y <-> x = ( y x. 2 ) ) )
27		eqcom 2191	. . . 4 |- ( ( x / 2 ) = y <-> y = ( x / 2 ) )
28	27	a1i 9	. . 3 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( ( x / 2 ) = y <-> y = ( x / 2 ) ) )
29	22, 23	mulcomd 7998	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( y x. 2 ) = ( 2 x. y ) )
30	29	eqeq2d 2201	. . 3 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( x = ( y x. 2 ) <-> x = ( 2 x. y ) ) )
31	26, 28, 30	3bitr3rd 219	. 2 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( x = ( 2 x. y ) <-> y = ( x / 2 ) ) )
32	2, 1, 6, 17, 31	en3i 6789	1 |- { z e. NN | 2 || z } ~~ NN

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   {crab 2472   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891   ~~ cen 6756   0cc0 7830   x. cmul 7835   # cap 8557   / cdiv 8648   NNcn 8938   2c2 8989   ZZcz 9272   || cdvds 11813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-en 6759  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-n0 9196  df-z 9273  df-dvds 11814

This theorem is referenced by:  unennn  12422