ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  evenennn Unicode version

Theorem evenennn 11288
Description: There are as many even positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 12-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
evenennn  |-  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  ~~  NN

Proof of Theorem evenennn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 8400 . . 3  |-  NN  e.  _V
21rabex 3975 . 2  |-  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  e.  _V
3 breq2 3841 . . . 4  |-  ( z  =  x  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  x ) )
43elrab 2769 . . 3  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  2  ||  z }  <->  ( x  e.  NN  /\  2  ||  x ) )
5 nnehalf 10986 . . 3  |-  ( ( x  e.  NN  /\  2  ||  x )  -> 
( x  /  2
)  e.  NN )
64, 5sylbi 119 . 2  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  2  ||  z }  ->  ( x  /  2 )  e.  NN )
7 2nn 8547 . . . . 5  |-  2  e.  NN
87a1i 9 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  NN )
9 id 19 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN )
108, 9nnmulcld 8442 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  NN )
11 2z 8748 . . . 4  |-  2  e.  ZZ
12 nnz 8739 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
13 dvdsmul1 10900 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 2  x.  y ) )
1411, 12, 13sylancr 405 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  2  ||  ( 2  x.  y
) )
15 breq2 3841 . . . 4  |-  ( z  =  ( 2  x.  y )  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  ( 2  x.  y
) ) )
1615elrab 2769 . . 3  |-  ( ( 2  x.  y )  e.  { z  e.  NN  |  2  ||  z }  <->  ( ( 2  x.  y )  e.  NN  /\  2  ||  ( 2  x.  y
) ) )
1710, 14, 16sylanbrc 408 . 2  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  { z  e.  NN  |  2  ||  z } )
18 elrabi 2766 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  2  ||  z }  ->  x  e.  NN )
1918adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  x  e.  NN )
2019nncnd 8408 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  x  e.  CC )
21 simpr 108 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  NN )
2221nncnd 8408 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  CC )
23 2cnd 8466 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
24 2ap0 8486 . . . . 5  |-  2 #  0
2524a1i 9 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  2 #  0 )
2620, 22, 23, 25divmulap3d 8264 . . 3  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( x  / 
2 )  =  y  <-> 
x  =  ( y  x.  2 ) ) )
27 eqcom 2090 . . . 4  |-  ( ( x  /  2 )  =  y  <->  y  =  ( x  /  2
) )
2827a1i 9 . . 3  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( x  / 
2 )  =  y  <-> 
y  =  ( x  /  2 ) ) )
2922, 23mulcomd 7488 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  x.  2 )  =  ( 2  x.  y ) )
3029eqeq2d 2099 . . 3  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  =  ( y  x.  2 )  <-> 
x  =  ( 2  x.  y ) ) )
3126, 28, 303bitr3rd 217 . 2  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  =  ( 2  x.  y )  <-> 
y  =  ( x  /  2 ) ) )
322, 1, 6, 17, 31en3i 6468 1  |-  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  ~~  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   {crab 2363   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634    ~~ cen 6435   0cc0 7329    x. cmul 7334   # cap 8034    / cdiv 8113   NNcn 8394   2c2 8444   ZZcz 8720    || cdvds 10878
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-en 6438  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721  df-dvds 10879
This theorem is referenced by:  unennn  11292
  Copyright terms: Public domain W3C validator