ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  evenennn Unicode version

Theorem evenennn 11895
Description: There are as many even positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 12-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
evenennn  |-  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  ~~  NN

Proof of Theorem evenennn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 8719 . . 3  |-  NN  e.  _V
21rabex 4067 . 2  |-  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  e.  _V
3 breq2 3928 . . . 4  |-  ( z  =  x  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  x ) )
43elrab 2835 . . 3  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  2  ||  z }  <->  ( x  e.  NN  /\  2  ||  x ) )
5 nnehalf 11590 . . 3  |-  ( ( x  e.  NN  /\  2  ||  x )  -> 
( x  /  2
)  e.  NN )
64, 5sylbi 120 . 2  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  2  ||  z }  ->  ( x  /  2 )  e.  NN )
7 2nn 8874 . . . . 5  |-  2  e.  NN
87a1i 9 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  NN )
9 id 19 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN )
108, 9nnmulcld 8762 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  NN )
11 2z 9075 . . . 4  |-  2  e.  ZZ
12 nnz 9066 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
13 dvdsmul1 11504 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 2  x.  y ) )
1411, 12, 13sylancr 410 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  2  ||  ( 2  x.  y
) )
15 breq2 3928 . . . 4  |-  ( z  =  ( 2  x.  y )  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  ( 2  x.  y
) ) )
1615elrab 2835 . . 3  |-  ( ( 2  x.  y )  e.  { z  e.  NN  |  2  ||  z }  <->  ( ( 2  x.  y )  e.  NN  /\  2  ||  ( 2  x.  y
) ) )
1710, 14, 16sylanbrc 413 . 2  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  { z  e.  NN  |  2  ||  z } )
18 elrabi 2832 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  2  ||  z }  ->  x  e.  NN )
1918adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  x  e.  NN )
2019nncnd 8727 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  x  e.  CC )
21 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  NN )
2221nncnd 8727 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  CC )
23 2cnd 8786 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
24 2ap0 8806 . . . . 5  |-  2 #  0
2524a1i 9 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  2 #  0 )
2620, 22, 23, 25divmulap3d 8578 . . 3  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( x  / 
2 )  =  y  <-> 
x  =  ( y  x.  2 ) ) )
27 eqcom 2139 . . . 4  |-  ( ( x  /  2 )  =  y  <->  y  =  ( x  /  2
) )
2827a1i 9 . . 3  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( x  / 
2 )  =  y  <-> 
y  =  ( x  /  2 ) ) )
2922, 23mulcomd 7780 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  x.  2 )  =  ( 2  x.  y ) )
3029eqeq2d 2149 . . 3  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  =  ( y  x.  2 )  <-> 
x  =  ( 2  x.  y ) ) )
3126, 28, 303bitr3rd 218 . 2  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  =  ( 2  x.  y )  <-> 
y  =  ( x  /  2 ) ) )
322, 1, 6, 17, 31en3i 6658 1  |-  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  ~~  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   {crab 2418   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767    ~~ cen 6625   0cc0 7613    x. cmul 7618   # cap 8336    / cdiv 8425   NNcn 8713   2c2 8764   ZZcz 9047    || cdvds 11482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-en 6628  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-n0 8971  df-z 9048  df-dvds 11483
This theorem is referenced by:  unennn  11899
  Copyright terms: Public domain W3C validator