ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  evenennn Unicode version

Theorem evenennn 12418
Description: There are as many even positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 12-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
evenennn  |-  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  ~~  NN

Proof of Theorem evenennn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 8944 . . 3  |-  NN  e.  _V
21rabex 4162 . 2  |-  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  e.  _V
3 breq2 4022 . . . 4  |-  ( z  =  x  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  x ) )
43elrab 2908 . . 3  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  2  ||  z }  <->  ( x  e.  NN  /\  2  ||  x ) )
5 nnehalf 11928 . . 3  |-  ( ( x  e.  NN  /\  2  ||  x )  -> 
( x  /  2
)  e.  NN )
64, 5sylbi 121 . 2  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  2  ||  z }  ->  ( x  /  2 )  e.  NN )
7 2nn 9099 . . . . 5  |-  2  e.  NN
87a1i 9 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  NN )
9 id 19 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN )
108, 9nnmulcld 8987 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  NN )
11 2z 9300 . . . 4  |-  2  e.  ZZ
12 nnz 9291 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
13 dvdsmul1 11839 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 2  x.  y ) )
1411, 12, 13sylancr 414 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  2  ||  ( 2  x.  y
) )
15 breq2 4022 . . . 4  |-  ( z  =  ( 2  x.  y )  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  ( 2  x.  y
) ) )
1615elrab 2908 . . 3  |-  ( ( 2  x.  y )  e.  { z  e.  NN  |  2  ||  z }  <->  ( ( 2  x.  y )  e.  NN  /\  2  ||  ( 2  x.  y
) ) )
1710, 14, 16sylanbrc 417 . 2  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  { z  e.  NN  |  2  ||  z } )
18 elrabi 2905 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  2  ||  z }  ->  x  e.  NN )
1918adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  x  e.  NN )
2019nncnd 8952 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  x  e.  CC )
21 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  NN )
2221nncnd 8952 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  CC )
23 2cnd 9011 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
24 2ap0 9031 . . . . 5  |-  2 #  0
2524a1i 9 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  2 #  0 )
2620, 22, 23, 25divmulap3d 8801 . . 3  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( x  / 
2 )  =  y  <-> 
x  =  ( y  x.  2 ) ) )
27 eqcom 2191 . . . 4  |-  ( ( x  /  2 )  =  y  <->  y  =  ( x  /  2
) )
2827a1i 9 . . 3  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( x  / 
2 )  =  y  <-> 
y  =  ( x  /  2 ) ) )
2922, 23mulcomd 7998 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  x.  2 )  =  ( 2  x.  y ) )
3029eqeq2d 2201 . . 3  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  =  ( y  x.  2 )  <-> 
x  =  ( 2  x.  y ) ) )
3126, 28, 303bitr3rd 219 . 2  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  =  ( 2  x.  y )  <-> 
y  =  ( x  /  2 ) ) )
322, 1, 6, 17, 31en3i 6789 1  |-  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  ~~  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   {crab 2472   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891    ~~ cen 6756   0cc0 7830    x. cmul 7835   # cap 8557    / cdiv 8648   NNcn 8938   2c2 8989   ZZcz 9272    || cdvds 11813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-en 6759  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-n0 9196  df-z 9273  df-dvds 11814
This theorem is referenced by:  unennn  12422
  Copyright terms: Public domain W3C validator