Theorem evenennn 12335

Description: There are as many even positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 12-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
evenennn	|- { z e. NN | 2 || z } ~~ NN

Proof of Theorem evenennn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 8871	. . 3 |- NN e. _V
2	1	rabex 4131	. 2 |- { z e. NN | 2 || z } e. _V
3		breq2 3991	. . . 4 |- ( z = x -> ( 2 || z <-> 2 || x ) )
4	3	elrab 2886	. . 3 |- ( x e. { z e. NN | 2 || z } <-> ( x e. NN /\ 2 || x ) )
5		nnehalf 11850	. . 3 |- ( ( x e. NN /\ 2 || x ) -> ( x / 2 ) e. NN )
6	4, 5	sylbi 120	. 2 |- ( x e. { z e. NN | 2 || z } -> ( x / 2 ) e. NN )
7		2nn 9026	. . . . 5 |- 2 e. NN
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( y e. NN -> 2 e. NN )
9		id 19	. . . 4 |- ( y e. NN -> y e. NN )
10	8, 9	nnmulcld 8914	. . 3 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. NN )
11		2z 9227	. . . 4 |- 2 e. ZZ
12		nnz 9218	. . . 4 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
13		dvdsmul1 11762	. . . 4 |- ( ( 2 e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> 2 || ( 2 x. y ) )
14	11, 12, 13	sylancr 412	. . 3 |- ( y e. NN -> 2 || ( 2 x. y ) )
15		breq2 3991	. . . 4 |- ( z = ( 2 x. y ) -> ( 2 || z <-> 2 || ( 2 x. y ) ) )
16	15	elrab 2886	. . 3 |- ( ( 2 x. y ) e. { z e. NN | 2 || z } <-> ( ( 2 x. y ) e. NN /\ 2 || ( 2 x. y ) ) )
17	10, 14, 16	sylanbrc 415	. 2 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. { z e. NN | 2 || z } )
18		elrabi 2883	. . . . . 6 |- ( x e. { z e. NN | 2 || z } -> x e. NN )
19	18	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> x e. NN )
20	19	nncnd 8879	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> x e. CC )
21		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> y e. NN )
22	21	nncnd 8879	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> y e. CC )
23		2cnd 8938	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> 2 e. CC )
24		2ap0 8958	. . . . 5 |- 2 # 0
25	24	a1i 9	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> 2 # 0 )
26	20, 22, 23, 25	divmulap3d 8729	. . 3 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( ( x / 2 ) = y <-> x = ( y x. 2 ) ) )
27		eqcom 2172	. . . 4 |- ( ( x / 2 ) = y <-> y = ( x / 2 ) )
28	27	a1i 9	. . 3 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( ( x / 2 ) = y <-> y = ( x / 2 ) ) )
29	22, 23	mulcomd 7928	. . . 4 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( y x. 2 ) = ( 2 x. y ) )
30	29	eqeq2d 2182	. . 3 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( x = ( y x. 2 ) <-> x = ( 2 x. y ) ) )
31	26, 28, 30	3bitr3rd 218	. 2 |- ( ( x e. { z e. NN | 2 || z } /\ y e. NN ) -> ( x = ( 2 x. y ) <-> y = ( x / 2 ) ) )
32	2, 1, 6, 17, 31	en3i 6745	1 |- { z e. NN | 2 || z } ~~ NN

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   {crab 2452   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850   ~~ cen 6712   0cc0 7761   x. cmul 7766   # cap 8487   / cdiv 8576   NNcn 8865   2c2 8916   ZZcz 9199   || cdvds 11736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-en 6715  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-n0 9123  df-z 9200  df-dvds 11737

This theorem is referenced by:  unennn  12339