Theorem nn0ennn 10891

Description: The nonnegative integers are equinumerous to the positive integers. (Contributed by NM, 19-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ennn	|- NN0 ~~ NN

Proof of Theorem nn0ennn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 9580	. 2 |- NN0 e. _V
2		nnex 9319	. 2 |- NN e. _V
3		nn0p1nn 9613	. 2 |- ( x e. NN0 -> ( x + 1 ) e. NN )
4		nnm1nn0 9615	. 2 |- ( y e. NN -> ( y - 1 ) e. NN0 )
5		nncn 9321	. . 3 |- ( y e. NN -> y e. CC )
6		nn0cn 9584	. . 3 |- ( x e. NN0 -> x e. CC )
7		ax-1cn 8278	. . . . . 6 |- 1 e. CC
8		subadd 8536	. . . . . 6 |- ( ( y e. CC /\ 1 e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( y - 1 ) = x <-> ( 1 + x ) = y ) )
9	7, 8	mp3an2 1366	. . . . 5 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( y - 1 ) = x <-> ( 1 + x ) = y ) )
10		eqcom 2240	. . . . 5 |- ( x = ( y - 1 ) <-> ( y - 1 ) = x )
11		eqcom 2240	. . . . 5 |- ( y = ( 1 + x ) <-> ( 1 + x ) = y )
12	9, 10, 11	3bitr4g 223	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( x = ( y - 1 ) <-> y = ( 1 + x ) ) )
13		addcom 8470	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ x e. CC ) -> ( 1 + x ) = ( x + 1 ) )
14	7, 13	mpan 428	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( 1 + x ) = ( x + 1 ) )
15	14	eqeq2d 2250	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( y = ( 1 + x ) <-> y = ( x + 1 ) ) )
16	15	adantl 277	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( y = ( 1 + x ) <-> y = ( x + 1 ) ) )
17	12, 16	bitrd 188	. . 3 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( x = ( y - 1 ) <-> y = ( x + 1 ) ) )
18	5, 6, 17	syl2anr 290	. 2 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> ( x = ( y - 1 ) <-> y = ( x + 1 ) ) )
19	1, 2, 3, 4, 18	en3i 7061	1 |- NN0 ~~ NN

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   ~~ cen 7024   CCcc 8183   1c1 8186   + caddc 8188   - cmin 8504   NNcn 9313   NN0cn0 9574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-en 7027  df-sub 8506  df-inn 9314  df-n0 9575

This theorem is used by:  nnenom  10892  uzennn  10894  xpnnen  13343  znnen  13347  ennnfonelemim  13373