Theorem nn0ennn 10368

Description: The nonnegative integers are equinumerous to the positive integers. (Contributed by NM, 19-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ennn	|- NN0 ~~ NN

Proof of Theorem nn0ennn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 9120	. 2 |- NN0 e. _V
2		nnex 8863	. 2 |- NN e. _V
3		nn0p1nn 9153	. 2 |- ( x e. NN0 -> ( x + 1 ) e. NN )
4		nnm1nn0 9155	. 2 |- ( y e. NN -> ( y - 1 ) e. NN0 )
5		nncn 8865	. . 3 |- ( y e. NN -> y e. CC )
6		nn0cn 9124	. . 3 |- ( x e. NN0 -> x e. CC )
7		ax-1cn 7846	. . . . . 6 |- 1 e. CC
8		subadd 8101	. . . . . 6 |- ( ( y e. CC /\ 1 e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( y - 1 ) = x <-> ( 1 + x ) = y ) )
9	7, 8	mp3an2 1315	. . . . 5 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( y - 1 ) = x <-> ( 1 + x ) = y ) )
10		eqcom 2167	. . . . 5 |- ( x = ( y - 1 ) <-> ( y - 1 ) = x )
11		eqcom 2167	. . . . 5 |- ( y = ( 1 + x ) <-> ( 1 + x ) = y )
12	9, 10, 11	3bitr4g 222	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( x = ( y - 1 ) <-> y = ( 1 + x ) ) )
13		addcom 8035	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ x e. CC ) -> ( 1 + x ) = ( x + 1 ) )
14	7, 13	mpan 421	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( 1 + x ) = ( x + 1 ) )
15	14	eqeq2d 2177	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( y = ( 1 + x ) <-> y = ( x + 1 ) ) )
16	15	adantl 275	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( y = ( 1 + x ) <-> y = ( x + 1 ) ) )
17	12, 16	bitrd 187	. . 3 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( x = ( y - 1 ) <-> y = ( x + 1 ) ) )
18	5, 6, 17	syl2anr 288	. 2 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> ( x = ( y - 1 ) <-> y = ( x + 1 ) ) )
19	1, 2, 3, 4, 18	en3i 6737	1 |- NN0 ~~ NN

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   ~~ cen 6704   CCcc 7751   1c1 7754   + caddc 7756   - cmin 8069   NNcn 8857   NN0cn0 9114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-en 6707  df-sub 8071  df-inn 8858  df-n0 9115

This theorem is referenced by:  nnenom  10369  uzennn  10371  xpnnen  12327  znnen  12331  ennnfonelemim  12357