Theorem nn0ennn 10758

Description: The nonnegative integers are equinumerous to the positive integers. (Contributed by NM, 19-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ennn	|- NN0 ~~ NN

Proof of Theorem nn0ennn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 9467	. 2 |- NN0 e. _V
2		nnex 9208	. 2 |- NN e. _V
3		nn0p1nn 9500	. 2 |- ( x e. NN0 -> ( x + 1 ) e. NN )
4		nnm1nn0 9502	. 2 |- ( y e. NN -> ( y - 1 ) e. NN0 )
5		nncn 9210	. . 3 |- ( y e. NN -> y e. CC )
6		nn0cn 9471	. . 3 |- ( x e. NN0 -> x e. CC )
7		ax-1cn 8185	. . . . . 6 |- 1 e. CC
8		subadd 8441	. . . . . 6 |- ( ( y e. CC /\ 1 e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( y - 1 ) = x <-> ( 1 + x ) = y ) )
9	7, 8	mp3an2 1362	. . . . 5 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( y - 1 ) = x <-> ( 1 + x ) = y ) )
10		eqcom 2233	. . . . 5 |- ( x = ( y - 1 ) <-> ( y - 1 ) = x )
11		eqcom 2233	. . . . 5 |- ( y = ( 1 + x ) <-> ( 1 + x ) = y )
12	9, 10, 11	3bitr4g 223	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( x = ( y - 1 ) <-> y = ( 1 + x ) ) )
13		addcom 8375	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ x e. CC ) -> ( 1 + x ) = ( x + 1 ) )
14	7, 13	mpan 424	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( 1 + x ) = ( x + 1 ) )
15	14	eqeq2d 2243	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( y = ( 1 + x ) <-> y = ( x + 1 ) ) )
16	15	adantl 277	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( y = ( 1 + x ) <-> y = ( x + 1 ) ) )
17	12, 16	bitrd 188	. . 3 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( x = ( y - 1 ) <-> y = ( x + 1 ) ) )
18	5, 6, 17	syl2anr 290	. 2 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> ( x = ( y - 1 ) <-> y = ( x + 1 ) ) )
19	1, 2, 3, 4, 18	en3i 6987	1 |- NN0 ~~ NN

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   ~~ cen 6950   CCcc 8090   1c1 8093   + caddc 8095   - cmin 8409   NNcn 9202   NN0cn0 9461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-en 6953  df-sub 8411  df-inn 9203  df-n0 9462

This theorem is referenced by:  nnenom  10759  uzennn  10761  xpnnen  13095  znnen  13099  ennnfonelemim  13125