ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ennn Unicode version

Theorem nn0ennn 9805
Description: The nonnegative integers are equinumerous to the positive integers. (Contributed by NM, 19-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
nn0ennn  |-  NN0  ~~  NN

Proof of Theorem nn0ennn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0ex 8649 . 2  |-  NN0  e.  _V
2 nnex 8400 . 2  |-  NN  e.  _V
3 nn0p1nn 8682 . 2  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( x  +  1 )  e.  NN )
4 nnm1nn0 8684 . 2  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  -  1 )  e.  NN0 )
5 nncn 8402 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
6 nn0cn 8653 . . 3  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  CC )
7 ax-1cn 7417 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
8 subadd 7664 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( y  -  1 )  =  x  <->  ( 1  +  x )  =  y ) )
97, 8mp3an2 1261 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( y  - 
1 )  =  x  <-> 
( 1  +  x
)  =  y ) )
10 eqcom 2090 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  - 
1 )  <->  ( y  -  1 )  =  x )
11 eqcom 2090 . . . . 5  |-  ( y  =  ( 1  +  x )  <->  ( 1  +  x )  =  y )
129, 10, 113bitr4g 221 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( x  =  ( y  -  1 )  <-> 
y  =  ( 1  +  x ) ) )
13 addcom 7598 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( 1  +  x
)  =  ( x  +  1 ) )
147, 13mpan 415 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  +  x )  =  ( x  + 
1 ) )
1514eqeq2d 2099 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
y  =  ( 1  +  x )  <->  y  =  ( x  +  1
) ) )
1615adantl 271 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( y  =  ( 1  +  x )  <-> 
y  =  ( x  +  1 ) ) )
1712, 16bitrd 186 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( x  =  ( y  -  1 )  <-> 
y  =  ( x  +  1 ) ) )
185, 6, 17syl2anr 284 . 2  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  =  ( y  -  1 )  <-> 
y  =  ( x  +  1 ) ) )
191, 2, 3, 4, 18en3i 6468 1  |-  NN0  ~~  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634    ~~ cen 6435   CCcc 7327   1c1 7330    + caddc 7332    - cmin 7632   NNcn 8394   NN0cn0 8643
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-en 6438  df-sub 7634  df-inn 8395  df-n0 8644
This theorem is referenced by:  nnenom  9806  xpnnen  11300  znnen  11304
  Copyright terms: Public domain W3C validator