Theorem nn0ennn 10504

Description: The nonnegative integers are equinumerous to the positive integers. (Contributed by NM, 19-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ennn	|- NN0 ~~ NN

Proof of Theorem nn0ennn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 9246	. 2 |- NN0 e. _V
2		nnex 8988	. 2 |- NN e. _V
3		nn0p1nn 9279	. 2 |- ( x e. NN0 -> ( x + 1 ) e. NN )
4		nnm1nn0 9281	. 2 |- ( y e. NN -> ( y - 1 ) e. NN0 )
5		nncn 8990	. . 3 |- ( y e. NN -> y e. CC )
6		nn0cn 9250	. . 3 |- ( x e. NN0 -> x e. CC )
7		ax-1cn 7965	. . . . . 6 |- 1 e. CC
8		subadd 8222	. . . . . 6 |- ( ( y e. CC /\ 1 e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( y - 1 ) = x <-> ( 1 + x ) = y ) )
9	7, 8	mp3an2 1336	. . . . 5 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( y - 1 ) = x <-> ( 1 + x ) = y ) )
10		eqcom 2195	. . . . 5 |- ( x = ( y - 1 ) <-> ( y - 1 ) = x )
11		eqcom 2195	. . . . 5 |- ( y = ( 1 + x ) <-> ( 1 + x ) = y )
12	9, 10, 11	3bitr4g 223	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( x = ( y - 1 ) <-> y = ( 1 + x ) ) )
13		addcom 8156	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ x e. CC ) -> ( 1 + x ) = ( x + 1 ) )
14	7, 13	mpan 424	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( 1 + x ) = ( x + 1 ) )
15	14	eqeq2d 2205	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( y = ( 1 + x ) <-> y = ( x + 1 ) ) )
16	15	adantl 277	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( y = ( 1 + x ) <-> y = ( x + 1 ) ) )
17	12, 16	bitrd 188	. . 3 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( x = ( y - 1 ) <-> y = ( x + 1 ) ) )
18	5, 6, 17	syl2anr 290	. 2 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> ( x = ( y - 1 ) <-> y = ( x + 1 ) ) )
19	1, 2, 3, 4, 18	en3i 6825	1 |- NN0 ~~ NN

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   ~~ cen 6792   CCcc 7870   1c1 7873   + caddc 7875   - cmin 8190   NNcn 8982   NN0cn0 9240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-en 6795  df-sub 8192  df-inn 8983  df-n0 9241

This theorem is referenced by:  nnenom  10505  uzennn  10507  xpnnen  12551  znnen  12555  ennnfonelemim  12581