Theorem nn0ennn 10615

Description: The nonnegative integers are equinumerous to the positive integers. (Contributed by NM, 19-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ennn	|- NN0 ~~ NN

Proof of Theorem nn0ennn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 9336	. 2 |- NN0 e. _V
2		nnex 9077	. 2 |- NN e. _V
3		nn0p1nn 9369	. 2 |- ( x e. NN0 -> ( x + 1 ) e. NN )
4		nnm1nn0 9371	. 2 |- ( y e. NN -> ( y - 1 ) e. NN0 )
5		nncn 9079	. . 3 |- ( y e. NN -> y e. CC )
6		nn0cn 9340	. . 3 |- ( x e. NN0 -> x e. CC )
7		ax-1cn 8053	. . . . . 6 |- 1 e. CC
8		subadd 8310	. . . . . 6 |- ( ( y e. CC /\ 1 e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( y - 1 ) = x <-> ( 1 + x ) = y ) )
9	7, 8	mp3an2 1338	. . . . 5 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( y - 1 ) = x <-> ( 1 + x ) = y ) )
10		eqcom 2209	. . . . 5 |- ( x = ( y - 1 ) <-> ( y - 1 ) = x )
11		eqcom 2209	. . . . 5 |- ( y = ( 1 + x ) <-> ( 1 + x ) = y )
12	9, 10, 11	3bitr4g 223	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( x = ( y - 1 ) <-> y = ( 1 + x ) ) )
13		addcom 8244	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ x e. CC ) -> ( 1 + x ) = ( x + 1 ) )
14	7, 13	mpan 424	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( 1 + x ) = ( x + 1 ) )
15	14	eqeq2d 2219	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( y = ( 1 + x ) <-> y = ( x + 1 ) ) )
16	15	adantl 277	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( y = ( 1 + x ) <-> y = ( x + 1 ) ) )
17	12, 16	bitrd 188	. . 3 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( x = ( y - 1 ) <-> y = ( x + 1 ) ) )
18	5, 6, 17	syl2anr 290	. 2 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> ( x = ( y - 1 ) <-> y = ( x + 1 ) ) )
19	1, 2, 3, 4, 18	en3i 6885	1 |- NN0 ~~ NN

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   ~~ cen 6848   CCcc 7958   1c1 7961   + caddc 7963   - cmin 8278   NNcn 9071   NN0cn0 9330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-en 6851  df-sub 8280  df-inn 9072  df-n0 9331

This theorem is referenced by:  nnenom  10616  uzennn  10618  xpnnen  12880  znnen  12884  ennnfonelemim  12910