Theorem dom2lem 6988

Description: A mapping (first hypothesis) that is one-to-one (second hypothesis) implies its domain is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
dom2d.1	|- ( ph -> ( x e. A -> C e. B ) )
dom2d.2	|- ( ph -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( C = D <-> x = y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dom2lem	|- ( ph -> ( x e. A |-> C ) : A -1-1-> B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, C   x, D   ph, x, y

Allowed substitution hints:   C( x)   D( y)

Proof of Theorem dom2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dom2d.1	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A -> C e. B ) )
2	1	ralrimiv 2605	. . 3 |- ( ph -> A. x e. A C e. B )
3		eqid 2231	. . . 4 |- ( x e. A |-> C ) = ( x e. A |-> C )
4	3	fmpt 5805	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B <-> ( x e. A |-> C ) : A --> B )
5	2, 4	sylib 122	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) : A --> B )
6	1	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. B )
7	3	fvmpt2 5739	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ C e. B ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C )
8	7	adantll 476	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ C e. B ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C )
9	6, 8	mpdan 421	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C )
10	9	adantrr 479	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C )
11		nfv 1577	. . . . . . . 8 |- F/ x ( ph /\ y e. A )
12		nffvmpt1 5659	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( ( x e. A |-> C ) ` y )
13	12	nfeq1 2385	. . . . . . . 8 |- F/ x ( ( x e. A |-> C ) ` y ) = D
14	11, 13	nfim 1621	. . . . . . 7 |- F/ x ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` y ) = D )
15		eleq1 2294	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
16	15	anbi2d 464	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( ph /\ x e. A ) <-> ( ph /\ y e. A ) ) )
17	16	imbi1d 231	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C ) <-> ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C ) ) )
18	15	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( x e. A /\ y e. A ) <-> ( y e. A /\ y e. A ) ) )
19		anidm 396	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. A /\ y e. A ) <-> y e. A )
20	18, 19	bitrdi 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( x e. A /\ y e. A ) <-> y e. A ) )
21	20	anbi2d 464	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) <-> ( ph /\ y e. A ) ) )
22		fveq2 5648	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = ( ( x e. A |-> C ) ` y ) )
23	22	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = y /\ ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = ( ( x e. A |-> C ) ` y ) )
24		dom2d.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( C = D <-> x = y ) ) )
25	24	imp 124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( C = D <-> x = y ) )
26	25	biimparc 299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = y /\ ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) ) -> C = D )
27	23, 26	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = y /\ ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) ) -> ( ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C <-> ( ( x e. A |-> C ) ` y ) = D ) )
28	27	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C <-> ( ( x e. A |-> C ) ` y ) = D ) ) )
29	21, 28	sylbird 170	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C <-> ( ( x e. A |-> C ) ` y ) = D ) ) )
30	29	pm5.74d 182	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C ) <-> ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` y ) = D ) ) )
31	17, 30	bitrd 188	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C ) <-> ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` y ) = D ) ) )
32	14, 31, 9	chvar 1805	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` y ) = D )
33	32	adantrl 478	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` y ) = D )
34	10, 33	eqeq12d 2246	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = ( ( x e. A |-> C ) ` y ) <-> C = D ) )
35	25	biimpd 144	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( C = D -> x = y ) )
36	34, 35	sylbid 150	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = ( ( x e. A |-> C ) ` y ) -> x = y ) )
37	36	ralrimivva 2615	. 2 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = ( ( x e. A |-> C ) ` y ) -> x = y ) )
38		nfmpt1 4187	. . 3 |- F/_ x ( x e. A |-> C )
39		nfcv 2375	. . 3 |- F/_ y ( x e. A |-> C )
40	38, 39	dff13f 5921	. 2 |- ( ( x e. A |-> C ) : A -1-1-> B <-> ( ( x e. A |-> C ) : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = ( ( x e. A |-> C ) ` y ) -> x = y ) ) )
41	5, 37, 40	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) : A -1-1-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   |-> cmpt 4155   -->wf 5329   -1-1->wf1 5330   ` cfv 5333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fv 5341

This theorem is referenced by:  dom2d  6989  dom3d  6990  4sqlem11  13037