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Theorem dom2lem 6771
Description: A mapping (first hypothesis) that is one-to-one (second hypothesis) implies its domain is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
dom2d.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  C  e.  B ) )
dom2d.2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( C  =  D  <->  x  =  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
dom2lem  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A -1-1-> B )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    y, C    x, D    ph, x, y
Allowed substitution hints:    C( x)    D( y)

Proof of Theorem dom2lem
StepHypRef Expression
1 dom2d.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  C  e.  B ) )
21ralrimiv 2549 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  C  e.  B )
3 eqid 2177 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
43fmpt 5666 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  <->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> B )
52, 4sylib 122 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> B )
61imp 124 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  B )
73fvmpt2 5599 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  C  e.  B )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )
87adantll 476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  e.  B )  ->  (
( x  e.  A  |->  C ) `  x
)  =  C )
96, 8mpdan 421 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  C ) `  x
)  =  C )
109adantrr 479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )
11 nfv 1528 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( ph  /\  y  e.  A )
12 nffvmpt1 5526 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )
1312nfeq1 2329 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  =  D
1411, 13nfim 1572 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  =  D )
15 eleq1 2240 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
1615anbi2d 464 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  e.  A )  <->  ( ph  /\  y  e.  A ) ) )
1716imbi1d 231 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 x )  =  C ) ) )
1815anbi1d 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  <->  ( y  e.  A  /\  y  e.  A ) ) )
19 anidm 396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  e.  A )  <->  y  e.  A )
2018, 19bitrdi 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  <->  y  e.  A
) )
2120anbi2d 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  <->  ( ph  /\  y  e.  A )
) )
22 fveq2 5515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  |->  C ) `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  y ) )
2322adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 x )  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  y ) )
24 dom2d.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( C  =  D  <->  x  =  y ) ) )
2524imp 124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( C  =  D  <-> 
x  =  y ) )
2625biimparc 299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) ) )  ->  C  =  D )
2723, 26eqeq12d 2192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C  <->  ( (
x  e.  A  |->  C ) `  y )  =  D ) )
2827ex 115 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  C ) `  x
)  =  C  <->  ( (
x  e.  A  |->  C ) `  y )  =  D ) ) )
2921, 28sylbird 170 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C  <-> 
( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  =  D ) ) )
3029pm5.74d 182 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 y )  =  D ) ) )
3117, 30bitrd 188 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 y )  =  D ) ) )
3214, 31, 9chvar 1757 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  C ) `  y
)  =  D )
3332adantrl 478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  =  D )
3410, 33eqeq12d 2192 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 x )  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  <->  C  =  D ) )
3525biimpd 144 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( C  =  D  ->  x  =  y ) )
3634, 35sylbid 150 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 x )  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  ->  x  =  y ) )
3736ralrimivva 2559 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 x )  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  ->  x  =  y ) )
38 nfmpt1 4096 . . 3  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  C )
39 nfcv 2319 . . 3  |-  F/_ y
( x  e.  A  |->  C )
4038, 39dff13f 5770 . 2  |-  ( ( x  e.  A  |->  C ) : A -1-1-> B  <->  ( ( x  e.  A  |->  C ) : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 y )  ->  x  =  y )
) )
415, 37, 40sylanbrc 417 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A -1-1-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455    |-> cmpt 4064   -->wf 5212   -1-1->wf1 5213   ` cfv 5216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fv 5224
This theorem is referenced by:  dom2d  6772  dom3d  6773
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