Theorem dom2lem 6714

Description: A mapping (first hypothesis) that is one-to-one (second hypothesis) implies its domain is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
dom2d.1	|- ( ph -> ( x e. A -> C e. B ) )
dom2d.2	|- ( ph -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( C = D <-> x = y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dom2lem	|- ( ph -> ( x e. A |-> C ) : A -1-1-> B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, C   x, D   ph, x, y

Allowed substitution hints:   C( x)   D( y)

Proof of Theorem dom2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dom2d.1	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A -> C e. B ) )
2	1	ralrimiv 2529	. . 3 |- ( ph -> A. x e. A C e. B )
3		eqid 2157	. . . 4 |- ( x e. A |-> C ) = ( x e. A |-> C )
4	3	fmpt 5616	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B <-> ( x e. A |-> C ) : A --> B )
5	2, 4	sylib 121	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) : A --> B )
6	1	imp 123	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. B )
7	3	fvmpt2 5550	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ C e. B ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C )
8	7	adantll 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ C e. B ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C )
9	6, 8	mpdan 418	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C )
10	9	adantrr 471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C )
11		nfv 1508	. . . . . . . 8 |- F/ x ( ph /\ y e. A )
12		nffvmpt1 5478	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( ( x e. A |-> C ) ` y )
13	12	nfeq1 2309	. . . . . . . 8 |- F/ x ( ( x e. A |-> C ) ` y ) = D
14	11, 13	nfim 1552	. . . . . . 7 |- F/ x ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` y ) = D )
15		eleq1 2220	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
16	15	anbi2d 460	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( ph /\ x e. A ) <-> ( ph /\ y e. A ) ) )
17	16	imbi1d 230	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C ) <-> ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C ) ) )
18	15	anbi1d 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( x e. A /\ y e. A ) <-> ( y e. A /\ y e. A ) ) )
19		anidm 394	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. A /\ y e. A ) <-> y e. A )
20	18, 19	bitrdi 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( x e. A /\ y e. A ) <-> y e. A ) )
21	20	anbi2d 460	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) <-> ( ph /\ y e. A ) ) )
22		fveq2 5467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = ( ( x e. A |-> C ) ` y ) )
23	22	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = y /\ ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = ( ( x e. A |-> C ) ` y ) )
24		dom2d.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( C = D <-> x = y ) ) )
25	24	imp 123	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( C = D <-> x = y ) )
26	25	biimparc 297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = y /\ ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) ) -> C = D )
27	23, 26	eqeq12d 2172	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = y /\ ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) ) -> ( ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C <-> ( ( x e. A |-> C ) ` y ) = D ) )
28	27	ex 114	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C <-> ( ( x e. A |-> C ) ` y ) = D ) ) )
29	21, 28	sylbird 169	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C <-> ( ( x e. A |-> C ) ` y ) = D ) ) )
30	29	pm5.74d 181	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C ) <-> ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` y ) = D ) ) )
31	17, 30	bitrd 187	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C ) <-> ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` y ) = D ) ) )
32	14, 31, 9	chvar 1737	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` y ) = D )
33	32	adantrl 470	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` y ) = D )
34	10, 33	eqeq12d 2172	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = ( ( x e. A |-> C ) ` y ) <-> C = D ) )
35	25	biimpd 143	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( C = D -> x = y ) )
36	34, 35	sylbid 149	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = ( ( x e. A |-> C ) ` y ) -> x = y ) )
37	36	ralrimivva 2539	. 2 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = ( ( x e. A |-> C ) ` y ) -> x = y ) )
38		nfmpt1 4057	. . 3 |- F/_ x ( x e. A |-> C )
39		nfcv 2299	. . 3 |- F/_ y ( x e. A |-> C )
40	38, 39	dff13f 5717	. 2 |- ( ( x e. A |-> C ) : A -1-1-> B <-> ( ( x e. A |-> C ) : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = ( ( x e. A |-> C ) ` y ) -> x = y ) ) )
41	5, 37, 40	sylanbrc 414	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) : A -1-1-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   |-> cmpt 4025   -->wf 5165   -1-1->wf1 5166   ` cfv 5169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fv 5177

This theorem is referenced by:  dom2d  6715  dom3d  6716