Theorem fzouzdisj 10115

Description: A half-open integer range does not overlap the upper integer range starting at the endpoint of the first range. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzouzdisj	|- ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) ) = (/)

Proof of Theorem fzouzdisj

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3427	. 2 |- ( ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) ) = (/) <-> A. x -. x e. ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) ) )
2		elfzolt2 10091	. . . . 5 |- ( x e. ( A..^ B ) -> x < B )
3	2	adantr 274	. . . 4 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> x < B )
4		eluzle 9478	. . . . . 6 |- ( x e. ( ZZ>= ` B ) -> B <_ x )
5	4	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> B <_ x )
6		eluzel2 9471	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` B ) -> B e. ZZ )
7	6	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> B e. ZZ )
8	7	zred 9313	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> B e. RR )
9		eluzelre 9476	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` B ) -> x e. RR )
10	9	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> x e. RR )
11	8, 10	lenltd 8016	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> ( B <_ x <-> -. x < B ) )
12	5, 11	mpbid 146	. . . 4 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> -. x < B )
13	3, 12	pm2.65i 629	. . 3 |- -. ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) )
14		elin 3305	. . 3 |- ( x e. ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) ) <-> ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) )
15	13, 14	mtbir 661	. 2 |- -. x e. ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) )
16	1, 15	mpgbir 1441	1 |- ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   i^i cin 3115   (/)c0 3409   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   RRcr 7752   < clt 7933   <_ cle 7934   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466  ..^cfzo 10077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-fzo 10078

This theorem is referenced by: (None)