Theorem fzouzdisj 9950

Description: A half-open integer range does not overlap the upper integer range starting at the endpoint of the first range. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzouzdisj	|- ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) ) = (/)

Proof of Theorem fzouzdisj

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3376	. 2 |- ( ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) ) = (/) <-> A. x -. x e. ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) ) )
2		elfzolt2 9926	. . . . 5 |- ( x e. ( A..^ B ) -> x < B )
3	2	adantr 274	. . . 4 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> x < B )
4		eluzle 9331	. . . . . 6 |- ( x e. ( ZZ>= ` B ) -> B <_ x )
5	4	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> B <_ x )
6		eluzel2 9324	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` B ) -> B e. ZZ )
7	6	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> B e. ZZ )
8	7	zred 9166	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> B e. RR )
9		eluzelre 9329	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` B ) -> x e. RR )
10	9	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> x e. RR )
11	8, 10	lenltd 7873	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> ( B <_ x <-> -. x < B ) )
12	5, 11	mpbid 146	. . . 4 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> -. x < B )
13	3, 12	pm2.65i 628	. . 3 |- -. ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) )
14		elin 3254	. . 3 |- ( x e. ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) ) <-> ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) )
15	13, 14	mtbir 660	. 2 |- -. x e. ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) )
16	1, 15	mpgbir 1429	1 |- ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   i^i cin 3065   (/)c0 3358   class class class wbr 3924   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   RRcr 7612   < clt 7793   <_ cle 7794   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319  ..^cfzo 9912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784  df-fzo 9913

This theorem is referenced by: (None)