Theorem fzouzdisj 10247

Description: A half-open integer range does not overlap the upper integer range starting at the endpoint of the first range. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzouzdisj	|- ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) ) = (/)

Proof of Theorem fzouzdisj

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3465	. 2 |- ( ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) ) = (/) <-> A. x -. x e. ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) ) )
2		elfzolt2 10223	. . . . 5 |- ( x e. ( A..^ B ) -> x < B )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> x < B )
4		eluzle 9604	. . . . . 6 |- ( x e. ( ZZ>= ` B ) -> B <_ x )
5	4	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> B <_ x )
6		eluzel2 9597	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` B ) -> B e. ZZ )
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> B e. ZZ )
8	7	zred 9439	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> B e. RR )
9		eluzelre 9602	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` B ) -> x e. RR )
10	9	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> x e. RR )
11	8, 10	lenltd 8137	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> ( B <_ x <-> -. x < B ) )
12	5, 11	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> -. x < B )
13	3, 12	pm2.65i 640	. . 3 |- -. ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) )
14		elin 3342	. . 3 |- ( x e. ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) ) <-> ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) )
15	13, 14	mtbir 672	. 2 |- -. x e. ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) )
16	1, 15	mpgbir 1464	1 |- ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   i^i cin 3152   (/)c0 3446   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   RRcr 7871   < clt 8054   <_ cle 8055   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592  ..^cfzo 10208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209

This theorem is referenced by: (None)