Theorem fzouzdisj 10150

Description: A half-open integer range does not overlap the upper integer range starting at the endpoint of the first range. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzouzdisj	|- ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) ) = (/)

Proof of Theorem fzouzdisj

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3439	. 2 |- ( ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) ) = (/) <-> A. x -. x e. ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) ) )
2		elfzolt2 10126	. . . . 5 |- ( x e. ( A..^ B ) -> x < B )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> x < B )
4		eluzle 9513	. . . . . 6 |- ( x e. ( ZZ>= ` B ) -> B <_ x )
5	4	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> B <_ x )
6		eluzel2 9506	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` B ) -> B e. ZZ )
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> B e. ZZ )
8	7	zred 9348	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> B e. RR )
9		eluzelre 9511	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` B ) -> x e. RR )
10	9	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> x e. RR )
11	8, 10	lenltd 8049	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> ( B <_ x <-> -. x < B ) )
12	5, 11	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> -. x < B )
13	3, 12	pm2.65i 639	. . 3 |- -. ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) )
14		elin 3316	. . 3 |- ( x e. ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) ) <-> ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) )
15	13, 14	mtbir 671	. 2 |- -. x e. ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) )
16	1, 15	mpgbir 1451	1 |- ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2146   i^i cin 3126   (/)c0 3420   class class class wbr 3998   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   RRcr 7785   < clt 7966   <_ cle 7967   ZZcz 9226   ZZ>=cuz 9501  ..^cfzo 10112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8893  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-fz 9980  df-fzo 10113

This theorem is referenced by: (None)