Theorem fzouzdisj 10136

Description: A half-open integer range does not overlap the upper integer range starting at the endpoint of the first range. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzouzdisj	|- ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) ) = (/)

Proof of Theorem fzouzdisj

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3433	. 2 |- ( ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) ) = (/) <-> A. x -. x e. ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) ) )
2		elfzolt2 10112	. . . . 5 |- ( x e. ( A..^ B ) -> x < B )
3	2	adantr 274	. . . 4 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> x < B )
4		eluzle 9499	. . . . . 6 |- ( x e. ( ZZ>= ` B ) -> B <_ x )
5	4	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> B <_ x )
6		eluzel2 9492	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` B ) -> B e. ZZ )
7	6	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> B e. ZZ )
8	7	zred 9334	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> B e. RR )
9		eluzelre 9497	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` B ) -> x e. RR )
10	9	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> x e. RR )
11	8, 10	lenltd 8037	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> ( B <_ x <-> -. x < B ) )
12	5, 11	mpbid 146	. . . 4 |- ( ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) -> -. x < B )
13	3, 12	pm2.65i 634	. . 3 |- -. ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) )
14		elin 3310	. . 3 |- ( x e. ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) ) <-> ( x e. ( A..^ B ) /\ x e. ( ZZ>= ` B ) ) )
15	13, 14	mtbir 666	. 2 |- -. x e. ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) )
16	1, 15	mpgbir 1446	1 |- ( ( A..^ B ) i^i ( ZZ>= ` B ) ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   i^i cin 3120   (/)c0 3414   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   RRcr 7773   < clt 7954   <_ cle 7955   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487  ..^cfzo 10098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-fzo 10099

This theorem is referenced by: (None)