ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  euen1b GIF version

Theorem euen1b 6510
Description: Two ways to express "𝐴 has a unique element". (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
euen1b (𝐴 ≈ 1𝑜 ↔ ∃!𝑥 𝑥𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem euen1b
StepHypRef Expression
1 euen1 6509 . 2 (∃!𝑥 𝑥𝐴 ↔ {𝑥𝑥𝐴} ≈ 1𝑜)
2 abid2 2208 . . 3 {𝑥𝑥𝐴} = 𝐴
32breq1i 3850 . 2 ({𝑥𝑥𝐴} ≈ 1𝑜𝐴 ≈ 1𝑜)
41, 3bitr2i 183 1 (𝐴 ≈ 1𝑜 ↔ ∃!𝑥 𝑥𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 103  wcel 1438  ∃!weu 1948  {cab 2074   class class class wbr 3843  1𝑜c1o 6166  cen 6445
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-br 3844  df-opab 3898  df-id 4118  df-suc 4196  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-1o 6173  df-en 6448
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator