ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ensn1 Unicode version

Theorem ensn1 6569
Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.)
Hypothesis
Ref Expression
ensn1.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ensn1  |-  { A }  ~~  1o

Proof of Theorem ensn1
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensn1.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
2 0ex 3974 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
31, 2f1osn 5308 . . . 4  |-  { <. A ,  (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) }
41, 2opex 4067 . . . . . 6  |-  <. A ,  (/)
>.  e.  _V
54snex 4028 . . . . 5  |-  { <. A ,  (/) >. }  e.  _V
6 f1oeq1 5259 . . . . 5  |-  ( f  =  { <. A ,  (/)
>. }  ->  ( f : { A } -1-1-onto-> { (/) }  <->  { <. A ,  (/)
>. } : { A }
-1-1-onto-> { (/) } ) )
75, 6spcev 2716 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) }  ->  E. f 
f : { A }
-1-1-onto-> { (/) } )
83, 7ax-mp 7 . . 3  |-  E. f 
f : { A }
-1-1-onto-> { (/) }
9 bren 6520 . . 3  |-  ( { A }  ~~  { (/)
}  <->  E. f  f : { A } -1-1-onto-> { (/) } )
108, 9mpbir 145 . 2  |-  { A }  ~~  { (/) }
11 df1o2 6210 . 2  |-  1o  =  { (/) }
1210, 11breqtrri 3878 1  |-  { A }  ~~  1o
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   E.wex 1427    e. wcel 1439   _Vcvv 2622   (/)c0 3289   {csn 3452   <.cop 3455   class class class wbr 3853   -1-1-onto->wf1o 5029   1oc1o 6190    ~~ cen 6511
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2624  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-br 3854  df-opab 3908  df-id 4131  df-suc 4209  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-1o 6197  df-en 6514
This theorem is referenced by:  ensn1g  6570  en1  6572  pm54.43  6881  1nprm  11437  en1top  11840
  Copyright terms: Public domain W3C validator