Theorem ensn1 6774

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.)

Hypothesis

Ref	Expression
ensn1.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
ensn1	|- { A } ~~ 1o

Proof of Theorem ensn1

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1.1	. . . . 5 |- A e. _V
2		0ex 4116	. . . . 5 |- (/) e. _V
3	1, 2	f1osn 5482	. . . 4 |- { <. A , (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) }
4	1, 2	opex 4214	. . . . . 6 |- <. A , (/) >. e. _V
5	4	snex 4171	. . . . 5 |- { <. A , (/) >. } e. _V
6		f1oeq1 5431	. . . . 5 |- ( f = { <. A , (/) >. } -> ( f : { A } -1-1-onto-> { (/) } <-> { <. A , (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) } ) )
7	5, 6	spcev 2825	. . . 4 |- ( { <. A , (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) } -> E. f f : { A } -1-1-onto-> { (/) } )
8	3, 7	ax-mp 5	. . 3 |- E. f f : { A } -1-1-onto-> { (/) }
9		bren 6725	. . 3 |- ( { A } ~~ { (/) } <-> E. f f : { A } -1-1-onto-> { (/) } )
10	8, 9	mpbir 145	. 2 |- { A } ~~ { (/) }
11		df1o2 6408	. 2 |- 1o = { (/) }
12	10, 11	breqtrri 4016	1 |- { A } ~~ 1o

Syntax hints:   E.wex 1485   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   (/)c0 3414   {csn 3583   <.cop 3586   class class class wbr 3989   -1-1-onto->wf1o 5197   1oc1o 6388   ~~ cen 6716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-1o 6395  df-en 6719

This theorem is referenced by:  ensn1g  6775  en1  6777  pm54.43  7167  1nprm  12068  en1top  12871