Theorem ensn1 7049

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.)

Hypothesis

Ref	Expression
ensn1.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
ensn1	|- { A } ~~ 1o

Proof of Theorem ensn1

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1.1	. . . . 5 |- A e. _V
2		0ex 4242	. . . . 5 |- (/) e. _V
3	1, 2	f1osn 5661	. . . 4 |- { <. A , (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) }
4	1, 2	opex 4350	. . . . . 6 |- <. A , (/) >. e. _V
5	4	snex 4303	. . . . 5 |- { <. A , (/) >. } e. _V
6		f1oeq1 5607	. . . . 5 |- ( f = { <. A , (/) >. } -> ( f : { A } -1-1-onto-> { (/) } <-> { <. A , (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) } ) )
7	5, 6	spcev 2914	. . . 4 |- ( { <. A , (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) } -> E. f f : { A } -1-1-onto-> { (/) } )
8	3, 7	ax-mp 5	. . 3 |- E. f f : { A } -1-1-onto-> { (/) }
9		bren 6996	. . 3 |- ( { A } ~~ { (/) } <-> E. f f : { A } -1-1-onto-> { (/) } )
10	8, 9	mpbir 146	. 2 |- { A } ~~ { (/) }
11		df1o2 6674	. 2 |- 1o = { (/) }
12	10, 11	breqtrri 4141	1 |- { A } ~~ 1o

Syntax hints:   E.wex 1541   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   (/)c0 3512   {csn 3694   <.cop 3697   class class class wbr 4114   -1-1-onto->wf1o 5356   1oc1o 6653   ~~ cen 6986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-suc 4497  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-1o 6660  df-en 6989

This theorem is referenced by:  ensn1g  7050  en1  7052  pm54.43  7500  1nprm  12836  en1top  15068  umgredgnlp  16273