Theorem ensn1 6690

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.)

Hypothesis

Ref	Expression
ensn1.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
ensn1	|- { A } ~~ 1o

Proof of Theorem ensn1

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1.1	. . . . 5 |- A e. _V
2		0ex 4055	. . . . 5 |- (/) e. _V
3	1, 2	f1osn 5407	. . . 4 |- { <. A , (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) }
4	1, 2	opex 4151	. . . . . 6 |- <. A , (/) >. e. _V
5	4	snex 4109	. . . . 5 |- { <. A , (/) >. } e. _V
6		f1oeq1 5356	. . . . 5 |- ( f = { <. A , (/) >. } -> ( f : { A } -1-1-onto-> { (/) } <-> { <. A , (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) } ) )
7	5, 6	spcev 2780	. . . 4 |- ( { <. A , (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) } -> E. f f : { A } -1-1-onto-> { (/) } )
8	3, 7	ax-mp 5	. . 3 |- E. f f : { A } -1-1-onto-> { (/) }
9		bren 6641	. . 3 |- ( { A } ~~ { (/) } <-> E. f f : { A } -1-1-onto-> { (/) } )
10	8, 9	mpbir 145	. 2 |- { A } ~~ { (/) }
11		df1o2 6326	. 2 |- 1o = { (/) }
12	10, 11	breqtrri 3955	1 |- { A } ~~ 1o

Syntax hints:   E.wex 1468   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   (/)c0 3363   {csn 3527   <.cop 3530   class class class wbr 3929   -1-1-onto->wf1o 5122   1oc1o 6306   ~~ cen 6632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-1o 6313  df-en 6635

This theorem is referenced by:  ensn1g  6691  en1  6693  pm54.43  7046  1nprm  11795  en1top  12246