ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ensn1 Unicode version

Theorem ensn1 6790
Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.)
Hypothesis
Ref Expression
ensn1.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ensn1  |-  { A }  ~~  1o

Proof of Theorem ensn1
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensn1.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
2 0ex 4127 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
31, 2f1osn 5497 . . . 4  |-  { <. A ,  (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) }
41, 2opex 4226 . . . . . 6  |-  <. A ,  (/)
>.  e.  _V
54snex 4182 . . . . 5  |-  { <. A ,  (/) >. }  e.  _V
6 f1oeq1 5445 . . . . 5  |-  ( f  =  { <. A ,  (/)
>. }  ->  ( f : { A } -1-1-onto-> { (/) }  <->  { <. A ,  (/)
>. } : { A }
-1-1-onto-> { (/) } ) )
75, 6spcev 2832 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) }  ->  E. f 
f : { A }
-1-1-onto-> { (/) } )
83, 7ax-mp 5 . . 3  |-  E. f 
f : { A }
-1-1-onto-> { (/) }
9 bren 6741 . . 3  |-  ( { A }  ~~  { (/)
}  <->  E. f  f : { A } -1-1-onto-> { (/) } )
108, 9mpbir 146 . 2  |-  { A }  ~~  { (/) }
11 df1o2 6424 . 2  |-  1o  =  { (/) }
1210, 11breqtrri 4027 1  |-  { A }  ~~  1o
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   E.wex 1492    e. wcel 2148   _Vcvv 2737   (/)c0 3422   {csn 3591   <.cop 3594   class class class wbr 4000   -1-1-onto->wf1o 5211   1oc1o 6404    ~~ cen 6732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-suc 4368  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-1o 6411  df-en 6735
This theorem is referenced by:  ensn1g  6791  en1  6793  pm54.43  7183  1nprm  12094  en1top  13241
  Copyright terms: Public domain W3C validator