Theorem ensn1 6911

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.)

Hypothesis

Ref	Expression
ensn1.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
ensn1	|- { A } ~~ 1o

Proof of Theorem ensn1

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1.1	. . . . 5 |- A e. _V
2		0ex 4187	. . . . 5 |- (/) e. _V
3	1, 2	f1osn 5585	. . . 4 |- { <. A , (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) }
4	1, 2	opex 4291	. . . . . 6 |- <. A , (/) >. e. _V
5	4	snex 4245	. . . . 5 |- { <. A , (/) >. } e. _V
6		f1oeq1 5532	. . . . 5 |- ( f = { <. A , (/) >. } -> ( f : { A } -1-1-onto-> { (/) } <-> { <. A , (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) } ) )
7	5, 6	spcev 2875	. . . 4 |- ( { <. A , (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) } -> E. f f : { A } -1-1-onto-> { (/) } )
8	3, 7	ax-mp 5	. . 3 |- E. f f : { A } -1-1-onto-> { (/) }
9		bren 6858	. . 3 |- ( { A } ~~ { (/) } <-> E. f f : { A } -1-1-onto-> { (/) } )
10	8, 9	mpbir 146	. 2 |- { A } ~~ { (/) }
11		df1o2 6538	. 2 |- 1o = { (/) }
12	10, 11	breqtrri 4086	1 |- { A } ~~ 1o

Syntax hints:   E.wex 1516   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   (/)c0 3468   {csn 3643   <.cop 3646   class class class wbr 4059   -1-1-onto->wf1o 5289   1oc1o 6518   ~~ cen 6848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-suc 4436  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-1o 6525  df-en 6851

This theorem is referenced by:  ensn1g  6912  en1  6914  pm54.43  7324  1nprm  12551  en1top  14664  umgredgnlp  15856