Theorem fmptpr 5750

Description: Express a pair function in maps-to notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptpr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fmptpr.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
fmptpr.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
fmptpr.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
fmptpr.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐸 = 𝐶)
fmptpr.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐸 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fmptpr	⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem fmptpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3625	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
3		mpt0 5381	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐸) = ∅
4	3	uneq1i 3309	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = (∅ ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
5		uncom 3303	. . . . 5 ⊢ (∅ ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ ∅)
6		un0 3480	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ ∅) = {⟨𝐴, 𝐶⟩}
7	4, 5, 6	3eqtri 2218	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩}
8		fmptpr.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		elex 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
11		fmptpr.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
12		elex 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → 𝐶 ∈ V)
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
14		uncom 3303	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴} ∪ ∅) = (∅ ∪ {𝐴})
15		un0 3480	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴} ∪ ∅) = {𝐴}
16	14, 15	eqtr3i 2216	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∪ {𝐴}) = {𝐴}
17	16	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∅ ∪ {𝐴}) = {𝐴})
18		fmptpr.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐸 = 𝐶)
19	10, 13, 17, 18	fmptapd 5749	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸))
20	7, 19	eqtr3id 2240	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸))
21	20	uneq1d 3312	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
22		fmptpr.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
23		elex 2771	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ V)
24	22, 23	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
25		fmptpr.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
26		elex 2771	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑌 → 𝐷 ∈ V)
27	25, 26	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
28		df-pr 3625	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
29	28	eqcomi 2197	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) = {𝐴, 𝐵}
30	29	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∪ {𝐵}) = {𝐴, 𝐵})
31		fmptpr.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐸 = 𝐷)
32	24, 27, 30, 31	fmptapd 5749	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐸))
33	2, 21, 32	3eqtrd 2230	1 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∪ cun 3151  ∅c0 3446  {csn 3618  {cpr 3619  ⟨cop 3621   ↦ cmpt 4090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261

This theorem is referenced by: (None)