Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fmptpr GIF version

Theorem fmptpr 5612
 Description: Express a pair function in maps-to notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptpr.1 (𝜑𝐴𝑉)
fmptpr.2 (𝜑𝐵𝑊)
fmptpr.3 (𝜑𝐶𝑋)
fmptpr.4 (𝜑𝐷𝑌)
fmptpr.5 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → 𝐸 = 𝐶)
fmptpr.6 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝐸 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fmptpr (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem fmptpr
StepHypRef Expression
1 df-pr 3534 . . 3 {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
21a1i 9 . 2 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
3 mpt0 5250 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐸) = ∅
43uneq1i 3226 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = (∅ ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
5 uncom 3220 . . . . 5 (∅ ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ ∅)
6 un0 3396 . . . . 5 ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ ∅) = {⟨𝐴, 𝐶⟩}
74, 5, 63eqtri 2164 . . . 4 ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩}
8 fmptpr.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
9 elex 2697 . . . . . 6 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
108, 9syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
11 fmptpr.3 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑋)
12 elex 2697 . . . . . 6 (𝐶𝑋𝐶 ∈ V)
1311, 12syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ V)
14 uncom 3220 . . . . . . 7 ({𝐴} ∪ ∅) = (∅ ∪ {𝐴})
15 un0 3396 . . . . . . 7 ({𝐴} ∪ ∅) = {𝐴}
1614, 15eqtr3i 2162 . . . . . 6 (∅ ∪ {𝐴}) = {𝐴}
1716a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → (∅ ∪ {𝐴}) = {𝐴})
18 fmptpr.5 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → 𝐸 = 𝐶)
1910, 13, 17, 18fmptapd 5611 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸))
207, 19syl5eqr 2186 . . 3 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸))
2120uneq1d 3229 . 2 (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
22 fmptpr.2 . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
23 elex 2697 . . . 4 (𝐵𝑊𝐵 ∈ V)
2422, 23syl 14 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
25 fmptpr.4 . . . 4 (𝜑𝐷𝑌)
26 elex 2697 . . . 4 (𝐷𝑌𝐷 ∈ V)
2725, 26syl 14 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
28 df-pr 3534 . . . . 5 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2928eqcomi 2143 . . . 4 ({𝐴} ∪ {𝐵}) = {𝐴, 𝐵}
3029a1i 9 . . 3 (𝜑 → ({𝐴} ∪ {𝐵}) = {𝐴, 𝐵})
31 fmptpr.6 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝐸 = 𝐷)
3224, 27, 30, 31fmptapd 5611 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐸))
332, 21, 323eqtrd 2176 1 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐸))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   ∪ cun 3069  ∅c0 3363  {csn 3527  {cpr 3528  ⟨cop 3530   ↦ cmpt 3989 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator