Theorem fmptpr 5709

Description: Express a pair function in maps-to notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptpr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fmptpr.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
fmptpr.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
fmptpr.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
fmptpr.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐸 = 𝐶)
fmptpr.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐸 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fmptpr	⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem fmptpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3600	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
3		mpt0 5344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐸) = ∅
4	3	uneq1i 3286	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = (∅ ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
5		uncom 3280	. . . . 5 ⊢ (∅ ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ ∅)
6		un0 3457	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ ∅) = {⟨𝐴, 𝐶⟩}
7	4, 5, 6	3eqtri 2202	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩}
8		fmptpr.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		elex 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
11		fmptpr.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
12		elex 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → 𝐶 ∈ V)
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
14		uncom 3280	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴} ∪ ∅) = (∅ ∪ {𝐴})
15		un0 3457	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴} ∪ ∅) = {𝐴}
16	14, 15	eqtr3i 2200	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∪ {𝐴}) = {𝐴}
17	16	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∅ ∪ {𝐴}) = {𝐴})
18		fmptpr.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐸 = 𝐶)
19	10, 13, 17, 18	fmptapd 5708	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸))
20	7, 19	eqtr3id 2224	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸))
21	20	uneq1d 3289	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
22		fmptpr.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
23		elex 2749	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ V)
24	22, 23	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
25		fmptpr.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
26		elex 2749	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑌 → 𝐷 ∈ V)
27	25, 26	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
28		df-pr 3600	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
29	28	eqcomi 2181	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) = {𝐴, 𝐵}
30	29	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∪ {𝐵}) = {𝐴, 𝐵})
31		fmptpr.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐸 = 𝐷)
32	24, 27, 30, 31	fmptapd 5708	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐸))
33	2, 21, 32	3eqtrd 2214	1 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2738   ∪ cun 3128  ∅c0 3423  {csn 3593  {cpr 3594  ⟨cop 3596   ↦ cmpt 4065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224

This theorem is referenced by: (None)