Theorem fndmeng 6704

Description: A function is equinumerate to its domain. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fndmeng	|- ( ( F Fn A /\ A e. C ) -> A ~~ F )

Proof of Theorem fndmeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnex 5642	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ A e. C ) -> F e. _V )
2		fnfun 5220	. . . 4 |- ( F Fn A -> Fun F )
3	2	adantr 274	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ A e. C ) -> Fun F )
4		fundmeng 6701	. . 3 |- ( ( F e. _V /\ Fun F ) -> dom F ~~ F )
5	1, 3, 4	syl2anc 408	. 2 |- ( ( F Fn A /\ A e. C ) -> dom F ~~ F )
6		fndm 5222	. . . 4 |- ( F Fn A -> dom F = A )
7	6	breq1d 3939	. . 3 |- ( F Fn A -> ( dom F ~~ F <-> A ~~ F ) )
8	7	adantr 274	. 2 |- ( ( F Fn A /\ A e. C ) -> ( dom F ~~ F <-> A ~~ F ) )
9	5, 8	mpbid 146	1 |- ( ( F Fn A /\ A e. C ) -> A ~~ F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   class class class wbr 3929   dom cdm 4539   Fun wfun 5117   Fn wfn 5118   ~~ cen 6632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-en 6635

This theorem is referenced by:  fihashfn  10546