ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fihashfn Unicode version

Theorem fihashfn 10204
Description: A function on a finite set is equinumerous to its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Intuitionized by Jim Kingdon, 24-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
fihashfn  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( `  F )  =  ( `  A )
)

Proof of Theorem fihashfn
StepHypRef Expression
1 fndmeng 6525 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  ->  A  ~~  F )
21ensymd 6498 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  ->  F  ~~  A )
3 fnfi 6644 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  ->  F  e.  Fin )
4 hashen 10188 . . 3  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( `  F
)  =  ( `  A
)  <->  F  ~~  A ) )
53, 4sylancom 411 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( `  F
)  =  ( `  A
)  <->  F  ~~  A ) )
62, 5mpbird 165 1  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( `  F )  =  ( `  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3845    Fn wfn 5010   ` cfv 5015    ~~ cen 6453   Fincfn 6455  ♯chash 10179
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-ltadd 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-recs 6070  df-frec 6156  df-1o 6181  df-er 6290  df-en 6456  df-dom 6457  df-fin 6458  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-ihash 10180
This theorem is referenced by:  fseq1hash  10205  fnfz0hash  10233  ffzo0hash  10235
  Copyright terms: Public domain W3C validator