Theorem fndmeng 6752

Description: A function is equinumerate to its domain. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fndmeng	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐹)

Proof of Theorem fndmeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnex 5688	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
2		fnfun 5266	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹)
3	2	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → Fun 𝐹)
4		fundmeng 6749	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ Fun 𝐹) → dom 𝐹 ≈ 𝐹)
5	1, 3, 4	syl2anc 409	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → dom 𝐹 ≈ 𝐹)
6		fndm 5268	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
7	6	breq1d 3975	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (dom 𝐹 ≈ 𝐹 ↔ 𝐴 ≈ 𝐹))
8	7	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → (dom 𝐹 ≈ 𝐹 ↔ 𝐴 ≈ 𝐹))
9	5, 8	mpbid 146	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2128  Vcvv 2712   class class class wbr 3965  dom cdm 4585  Fun wfun 5163   Fn wfn 5164   ≈ cen 6680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-en 6683

This theorem is referenced by:  fihashfn  10667