Theorem foco2 5754

Description: If a composition of two functions is surjective, then the function on the left is surjective. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
foco2	|- ( ( F : B --> C /\ G : A --> B /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) -> F : B -onto-> C )

Proof of Theorem foco2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 997	. 2 |- ( ( F : B --> C /\ G : A --> B /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) -> F : B --> C )
2		foelrn 5753	. . . . . 6 |- ( ( ( F o. G ) : A -onto-> C /\ y e. C ) -> E. z e. A y = ( ( F o. G ) ` z ) )
3		ffvelcdm 5649	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : A --> B /\ z e. A ) -> ( G ` z ) e. B )
4	3	adantll 476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) /\ z e. A ) -> ( G ` z ) e. B )
5		fvco3 5587	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : A --> B /\ z e. A ) -> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
6	5	adantll 476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) /\ z e. A ) -> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
7		fveq2 5515	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( G ` z ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
8	7	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( G ` z ) -> ( ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` x ) <-> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) ) )
9	8	rspcev 2841	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G ` z ) e. B /\ ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) ) -> E. x e. B ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` x ) )
10	4, 6, 9	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) /\ z e. A ) -> E. x e. B ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` x ) )
11		eqeq1 2184	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( F o. G ) ` z ) -> ( y = ( F ` x ) <-> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` x ) ) )
12	11	rexbidv 2478	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( F o. G ) ` z ) -> ( E. x e. B y = ( F ` x ) <-> E. x e. B ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` x ) ) )
13	10, 12	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) /\ z e. A ) -> ( y = ( ( F o. G ) ` z ) -> E. x e. B y = ( F ` x ) ) )
14	13	rexlimdva 2594	. . . . . 6 |- ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) -> ( E. z e. A y = ( ( F o. G ) ` z ) -> E. x e. B y = ( F ` x ) ) )
15	2, 14	syl5 32	. . . . 5 |- ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) -> ( ( ( F o. G ) : A -onto-> C /\ y e. C ) -> E. x e. B y = ( F ` x ) ) )
16	15	impl 380	. . . 4 |- ( ( ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) /\ y e. C ) -> E. x e. B y = ( F ` x ) )
17	16	ralrimiva 2550	. . 3 |- ( ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) -> A. y e. C E. x e. B y = ( F ` x ) )
18	17	3impa 1194	. 2 |- ( ( F : B --> C /\ G : A --> B /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) -> A. y e. C E. x e. B y = ( F ` x ) )
19		dffo3 5663	. 2 |- ( F : B -onto-> C <-> ( F : B --> C /\ A. y e. C E. x e. B y = ( F ` x ) ) )
20	1, 18, 19	sylanbrc 417	1 |- ( ( F : B --> C /\ G : A --> B /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) -> F : B -onto-> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   o. ccom 4630   -->wf 5212   -onto->wfo 5214   ` cfv 5216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fo 5222  df-fv 5224

This theorem is referenced by: (None)