Theorem foco2 5733

Description: If a composition of two functions is surjective, then the function on the left is surjective. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
foco2	|- ( ( F : B --> C /\ G : A --> B /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) -> F : B -onto-> C )

Proof of Theorem foco2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 992	. 2 |- ( ( F : B --> C /\ G : A --> B /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) -> F : B --> C )
2		foelrn 5732	. . . . . 6 |- ( ( ( F o. G ) : A -onto-> C /\ y e. C ) -> E. z e. A y = ( ( F o. G ) ` z ) )
3		ffvelrn 5629	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : A --> B /\ z e. A ) -> ( G ` z ) e. B )
4	3	adantll 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) /\ z e. A ) -> ( G ` z ) e. B )
5		fvco3 5567	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : A --> B /\ z e. A ) -> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
6	5	adantll 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) /\ z e. A ) -> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
7		fveq2 5496	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( G ` z ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
8	7	eqeq2d 2182	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( G ` z ) -> ( ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` x ) <-> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) ) )
9	8	rspcev 2834	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G ` z ) e. B /\ ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) ) -> E. x e. B ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` x ) )
10	4, 6, 9	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) /\ z e. A ) -> E. x e. B ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` x ) )
11		eqeq1 2177	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( F o. G ) ` z ) -> ( y = ( F ` x ) <-> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` x ) ) )
12	11	rexbidv 2471	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( F o. G ) ` z ) -> ( E. x e. B y = ( F ` x ) <-> E. x e. B ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` x ) ) )
13	10, 12	syl5ibrcom 156	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) /\ z e. A ) -> ( y = ( ( F o. G ) ` z ) -> E. x e. B y = ( F ` x ) ) )
14	13	rexlimdva 2587	. . . . . 6 |- ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) -> ( E. z e. A y = ( ( F o. G ) ` z ) -> E. x e. B y = ( F ` x ) ) )
15	2, 14	syl5 32	. . . . 5 |- ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) -> ( ( ( F o. G ) : A -onto-> C /\ y e. C ) -> E. x e. B y = ( F ` x ) ) )
16	15	impl 378	. . . 4 |- ( ( ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) /\ y e. C ) -> E. x e. B y = ( F ` x ) )
17	16	ralrimiva 2543	. . 3 |- ( ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) -> A. y e. C E. x e. B y = ( F ` x ) )
18	17	3impa 1189	. 2 |- ( ( F : B --> C /\ G : A --> B /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) -> A. y e. C E. x e. B y = ( F ` x ) )
19		dffo3 5643	. 2 |- ( F : B -onto-> C <-> ( F : B --> C /\ A. y e. C E. x e. B y = ( F ` x ) ) )
20	1, 18, 19	sylanbrc 415	1 |- ( ( F : B --> C /\ G : A --> B /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) -> F : B -onto-> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   o. ccom 4615   -->wf 5194   -onto->wfo 5196   ` cfv 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fo 5204  df-fv 5206

This theorem is referenced by: (None)