Theorem foelrn 5951

Description: Property of a surjective function. (Contributed by Jeff Madsen, 4-Jan-2011.) (Proof shortened by BJ, 6-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
foelrn	|- ( ( F : A -onto-> B /\ C e. B ) -> E. x e. A C = ( F ` x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, F

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem foelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		foima2 5950	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( C e. B <-> E. x e. A C = ( F ` x ) ) )
2	1	biimpa 296	1 |- ( ( F : A -onto-> B /\ C e. B ) -> E. x e. A C = ( F ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   -onto->wfo 5373   ` cfv 5375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fo 5381  df-fv 5383

This theorem is referenced by:  foco2  5952  ctmlemr  7441  ctm  7442  ctssdclemn0  7443  ctssdccl  7444  ctssdc  7446  enumctlemm  7447  fodju0  7480  exmidfodomrlemr  7547  exmidfodomrlemrALT  7548  ennnfonelemrn  13291  ctinf  13302  ctiunctlemfo  13311  znidom  14967  znrrg  14970  subctctexmid  16947  pw1nct  16950