Theorem foelrn 5704

Description: Property of a surjective function. (Contributed by Jeff Madsen, 4-Jan-2011.) (Proof shortened by BJ, 6-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
foelrn	|- ( ( F : A -onto-> B /\ C e. B ) -> E. x e. A C = ( F ` x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, F

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem foelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		foima2 5703	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( C e. B <-> E. x e. A C = ( F ` x ) ) )
2	1	biimpa 294	1 |- ( ( F : A -onto-> B /\ C e. B ) -> E. x e. A C = ( F ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   E.wrex 2436   -onto->wfo 5169   ` cfv 5171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-br 3967  df-opab 4027  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-fo 5177  df-fv 5179

This theorem is referenced by:  foco2  5705  ctmlemr  7053  ctm  7054  ctssdclemn0  7055  ctssdccl  7056  ctssdc  7058  enumctlemm  7059  fodju0  7091  exmidfodomrlemr  7138  exmidfodomrlemrALT  7139  ennnfonelemrn  12190  ctinf  12201  ctiunctlemfo  12210  subctctexmid  13615  pw1nct  13617