Theorem foelrn 5916

Description: Property of a surjective function. (Contributed by Jeff Madsen, 4-Jan-2011.) (Proof shortened by BJ, 6-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
foelrn	|- ( ( F : A -onto-> B /\ C e. B ) -> E. x e. A C = ( F ` x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, F

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem foelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		foima2 5915	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( C e. B <-> E. x e. A C = ( F ` x ) ) )
2	1	biimpa 296	1 |- ( ( F : A -onto-> B /\ C e. B ) -> E. x e. A C = ( F ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   E.wrex 2521   -onto->wfo 5341   ` cfv 5343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4221  ax-pow 4279  ax-pr 4314

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-sbc 3042  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-br 4103  df-opab 4165  df-id 4405  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-ima 4753  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fn 5346  df-f 5347  df-fo 5349  df-fv 5351

This theorem is referenced by:  foco2  5917  ctmlemr  7390  ctm  7391  ctssdclemn0  7392  ctssdccl  7393  ctssdc  7395  enumctlemm  7396  fodju0  7429  exmidfodomrlemr  7496  exmidfodomrlemrALT  7497  ennnfonelemrn  13144  ctinf  13155  ctiunctlemfo  13164  znidom  14777  znrrg  14780  subctctexmid  16744  pw1nct  16747