Theorem foelrn 5958

Description: Property of a surjective function. (Contributed by Jeff Madsen, 4-Jan-2011.) (Proof shortened by BJ, 6-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
foelrn	|- ( ( F : A -onto-> B /\ C e. B ) -> E. x e. A C = ( F ` x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, F

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem foelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		foima2 5957	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( C e. B <-> E. x e. A C = ( F ` x ) ) )
2	1	biimpa 296	1 |- ( ( F : A -onto-> B /\ C e. B ) -> E. x e. A C = ( F ` x ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   -onto->wfo 5375   ` cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fo 5383  df-fv 5385

This theorem is used by:  foco2  5959  ctmlemr  7448  ctm  7449  ctssdclemn0  7450  ctssdccl  7451  ctssdc  7453  enumctlemm  7454  fodju0  7487  exmidfodomrlemr  7554  exmidfodomrlemrALT  7555  ennnfonelemrn  13310  ctinf  13321  ctiunctlemfo  13330  znidom  14992  znrrg  14995  subctctexmid  17030  pw1nct  17033