Theorem ffvelcdm 5788

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 12-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdm	|- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Proof of Theorem ffvelcdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5489	. . 3 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
2		fnfvelrn 5787	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. ran F )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. ran F )
4		frn 5498	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ran F C_ B )
5	4	sseld 3227	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( ( F ` C ) e. ran F -> ( F ` C ) e. B ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F ` C ) e. ran F -> ( F ` C ) e. B ) )
7	3, 6	mpd 13	1 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   ran crn 4732   Fn wfn 5328   -->wf 5329   ` cfv 5333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341

This theorem is referenced by:  ffvelcdmi  5789  ffvelcdmda  5790  dffo3  5802  ffnfv  5813  ffvresb  5818  fcompt  5825  fsn2  5829  fvconst  5850  foco2  5904  fcofo  5935  cocan1  5938  isocnv  5962  isores2  5964  isopolem  5973  isosolem  5975  fovcdm  6175  off  6257  mapsncnv  6907  2dom  7023  dom1o  7045  enm  7047  xpdom2  7058  xpmapenlem  7078  fiintim  7166  isotilem  7265  updjudhf  7338  exmidomniim  7400  finacn  7479  seqf1og  10846  shftf  11470  summodclem2a  12022  isumcl  12066  mertenslem2  12177  3dvds  12505  nn0seqcvgd  12693  algrf  12697  eucalg  12711  phimullem  12877  pcmpt  12996  pcprod  12999  imasaddfnlemg  13477  imasaddflemg  13479  mhmpropd  13629  ghmsub  13918  znunit  14755  upxp  15083  uptx  15085  txhmeo  15130  cncfmet  15403  dvaddxxbr  15512  dvcj  15520  dvfre  15521  plyf  15548  plyaddlem  15560  plymullem  15561  plycolemc  15569  plyreres  15575  dvply1  15576  lgsdir  15854  lgsdi  15856  lgseisenlem3  15891  wlkpvtx  16315  wlkepvtx  16316  bj-charfunr  16526