Theorem ffvelcdm 5832

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 12-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdm	|- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Proof of Theorem ffvelcdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5528	. . 3 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
2		fnfvelrn 5831	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. ran F )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. ran F )
4		frn 5537	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ran F C_ B )
5	4	sseld 3247	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( ( F ` C ) e. ran F -> ( F ` C ) e. B ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F ` C ) e. ran F -> ( F ` C ) e. B ) )
7	3, 6	mpd 13	1 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   ran crn 4770   Fn wfn 5367   -->wf 5368   ` cfv 5372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380

This theorem is referenced by:  ffvelcdmi  5833  ffvelcdmda  5834  dffo3  5846  ffnfv  5857  ffvresb  5862  fcompt  5869  fsn2  5873  fvconst  5894  foco2  5949  fcofo  5980  cocan1  5983  isocnv  6007  isores2  6009  isopolem  6018  isosolem  6020  fovcdm  6222  off  6305  mapsncnv  6967  2dom  7083  dom1o  7106  enm  7108  xpdom2  7119  xpmapenlem  7139  fiintim  7228  isotilem  7336  updjudhf  7409  exmidomniim  7471  finacn  7550  seqf1og  10936  hashf1lem1  11263  shftf  11573  summodclem2a  12126  isumcl  12170  mertenslem2  12281  3dvds  12609  nn0seqcvgd  12797  algrf  12801  eucalg  12815  phimullem  12981  pcmpt  13100  pcprod  13103  imasaddfnlemg  13612  imasaddflemg  13614  mhmpropd  13750  ghmsub  14031  znunit  14966  upxp  15296  uptx  15298  txhmeo  15343  cncfmet  15616  dvaddxxbr  15725  dvcj  15733  dvfre  15734  plyf  15761  plyaddlem  15773  plymullem  15774  plycolemc  15782  plyreres  15788  dvply1  15789  lgsdir  16068  lgsdi  16070  lgseisenlem3  16105  wlkpvtx  16529  wlkepvtx  16530  bj-charfunr  16750