Theorem ffvelcdm 5695

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 12-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdm	|- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Proof of Theorem ffvelcdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5407	. . 3 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
2		fnfvelrn 5694	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. ran F )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. ran F )
4		frn 5416	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ran F C_ B )
5	4	sseld 3182	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( ( F ` C ) e. ran F -> ( F ` C ) e. B ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F ` C ) e. ran F -> ( F ` C ) e. B ) )
7	3, 6	mpd 13	1 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   ran crn 4664   Fn wfn 5253   -->wf 5254   ` cfv 5258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266

This theorem is referenced by:  ffvelcdmi  5696  ffvelcdmda  5697  dffo3  5709  ffnfv  5720  ffvresb  5725  fcompt  5732  fsn2  5736  fvconst  5750  foco2  5800  fcofo  5831  cocan1  5834  isocnv  5858  isores2  5860  isopolem  5869  isosolem  5871  fovcdm  6066  off  6148  mapsncnv  6754  2dom  6864  enm  6879  xpdom2  6890  xpmapenlem  6910  fiintim  6992  isotilem  7072  updjudhf  7145  exmidomniim  7207  seqf1og  10613  shftf  10995  summodclem2a  11546  isumcl  11590  mertenslem2  11701  3dvds  12029  nn0seqcvgd  12209  algrf  12213  eucalg  12227  phimullem  12393  pcmpt  12512  pcprod  12515  imasaddfnlemg  12957  imasaddflemg  12959  mhmpropd  13098  ghmsub  13381  znunit  14215  upxp  14508  uptx  14510  txhmeo  14555  cncfmet  14828  dvaddxxbr  14937  dvcj  14945  dvfre  14946  plyf  14973  plyaddlem  14985  plymullem  14986  plycolemc  14994  plyreres  15000  dvply1  15001  lgsdir  15276  lgsdi  15278  lgseisenlem3  15313  bj-charfunr  15456