Theorem ffvelcdm 5810

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 12-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdm	|- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Proof of Theorem ffvelcdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5508	. . 3 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
2		fnfvelrn 5809	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. ran F )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. ran F )
4		frn 5517	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ran F C_ B )
5	4	sseld 3237	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( ( F ` C ) e. ran F -> ( F ` C ) e. B ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F ` C ) e. ran F -> ( F ` C ) e. B ) )
7	3, 6	mpd 13	1 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2203   ran crn 4750   Fn wfn 5347   -->wf 5348   ` cfv 5352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360

This theorem is referenced by:  ffvelcdmi  5811  ffvelcdmda  5812  dffo3  5824  ffnfv  5835  ffvresb  5840  fcompt  5847  fsn2  5851  fvconst  5872  foco2  5926  fcofo  5957  cocan1  5960  isocnv  5984  isores2  5986  isopolem  5995  isosolem  5997  fovcdm  6197  off  6279  mapsncnv  6930  2dom  7046  dom1o  7069  enm  7071  xpdom2  7082  xpmapenlem  7102  fiintim  7191  isotilem  7297  updjudhf  7370  exmidomniim  7432  finacn  7511  seqf1og  10883  shftf  11515  summodclem2a  12067  isumcl  12111  mertenslem2  12222  3dvds  12550  nn0seqcvgd  12738  algrf  12742  eucalg  12756  phimullem  12922  pcmpt  13041  pcprod  13044  imasaddfnlemg  13527  imasaddflemg  13529  mhmpropd  13679  ghmsub  13968  znunit  14807  upxp  15137  uptx  15139  txhmeo  15184  cncfmet  15457  dvaddxxbr  15566  dvcj  15574  dvfre  15575  plyf  15602  plyaddlem  15614  plymullem  15615  plycolemc  15623  plyreres  15629  dvply1  15630  lgsdir  15908  lgsdi  15910  lgseisenlem3  15945  wlkpvtx  16369  wlkepvtx  16370  bj-charfunr  16580