Theorem ffvelcdm 5673

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 12-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdm	|- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Proof of Theorem ffvelcdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5387	. . 3 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
2		fnfvelrn 5672	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. ran F )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. ran F )
4		frn 5396	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ran F C_ B )
5	4	sseld 3169	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( ( F ` C ) e. ran F -> ( F ` C ) e. B ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F ` C ) e. ran F -> ( F ` C ) e. B ) )
7	3, 6	mpd 13	1 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2160   ran crn 4648   Fn wfn 5233   -->wf 5234   ` cfv 5238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-fv 5246

This theorem is referenced by:  ffvelcdmi  5674  ffvelcdmda  5675  dffo3  5687  ffnfv  5698  ffvresb  5703  fcompt  5710  fsn2  5714  fvconst  5728  foco2  5778  fcofo  5809  cocan1  5812  isocnv  5836  isores2  5838  isopolem  5847  isosolem  5849  fovcdm  6043  off  6123  mapsncnv  6725  2dom  6835  enm  6850  xpdom2  6861  xpmapenlem  6881  fiintim  6961  isotilem  7039  updjudhf  7112  exmidomniim  7174  shftf  10880  summodclem2a  11430  isumcl  11474  mertenslem2  11585  nn0seqcvgd  12084  algrf  12088  eucalg  12102  phimullem  12268  pcmpt  12386  pcprod  12389  imasaddfnlemg  12802  imasaddflemg  12804  mhmpropd  12941  ghmsub  13215  upxp  14257  uptx  14259  txhmeo  14304  cncfmet  14564  dvaddxxbr  14650  dvcj  14658  dvfre  14659  lgsdir  14922  lgsdi  14924  bj-charfunr  15048