Theorem ffvelcdm 5715

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 12-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdm	|- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Proof of Theorem ffvelcdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5427	. . 3 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
2		fnfvelrn 5714	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. ran F )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. ran F )
4		frn 5436	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ran F C_ B )
5	4	sseld 3192	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( ( F ` C ) e. ran F -> ( F ` C ) e. B ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F ` C ) e. ran F -> ( F ` C ) e. B ) )
7	3, 6	mpd 13	1 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   ran crn 4677   Fn wfn 5267   -->wf 5268   ` cfv 5272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280

This theorem is referenced by:  ffvelcdmi  5716  ffvelcdmda  5717  dffo3  5729  ffnfv  5740  ffvresb  5745  fcompt  5752  fsn2  5756  fvconst  5774  foco2  5824  fcofo  5855  cocan1  5858  isocnv  5882  isores2  5884  isopolem  5893  isosolem  5895  fovcdm  6091  off  6173  mapsncnv  6784  2dom  6899  enm  6917  xpdom2  6928  xpmapenlem  6948  fiintim  7030  isotilem  7110  updjudhf  7183  exmidomniim  7245  finacn  7318  seqf1og  10668  shftf  11174  summodclem2a  11725  isumcl  11769  mertenslem2  11880  3dvds  12208  nn0seqcvgd  12396  algrf  12400  eucalg  12414  phimullem  12580  pcmpt  12699  pcprod  12702  imasaddfnlemg  13179  imasaddflemg  13181  mhmpropd  13331  ghmsub  13620  znunit  14454  upxp  14777  uptx  14779  txhmeo  14824  cncfmet  15097  dvaddxxbr  15206  dvcj  15214  dvfre  15215  plyf  15242  plyaddlem  15254  plymullem  15255  plycolemc  15263  plyreres  15269  dvply1  15270  lgsdir  15545  lgsdi  15547  lgseisenlem3  15582  bj-charfunr  15783