Theorem ffvelcdm 5844

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 12-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdm	|- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Proof of Theorem ffvelcdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5536	. . 3 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
2		fnfvelrn 5843	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. ran F )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. ran F )
4		frn 5545	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ran F C_ B )
5	4	sseld 3247	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( ( F ` C ) e. ran F -> ( F ` C ) e. B ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F ` C ) e. ran F -> ( F ` C ) e. B ) )
7	3, 6	mpd 13	1 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   ran crn 4777   Fn wfn 5375   -->wf 5376   ` cfv 5380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388

This theorem is used by:  ffvelcdmi  5845  ffvelcdmda  5846  dffo3  5858  ffnfv  5869  ffvresb  5874  fcompt  5881  fsn2  5885  fvconst  5906  foco2  5962  fcofo  5993  cocan1  5996  isocnv  6020  isores2  6022  isopolem  6031  isosolem  6033  fovcdm  6235  off  6319  mapsncnv  6983  2dom  7099  dom1o  7122  enm  7124  xpdom2  7135  xpmapenlem  7155  fiintim  7244  isotilem  7352  updjudhf  7425  exmidomniim  7487  finacn  7566  seqf1og  10978  hashf1lem1  11306  shftf  11616  summodclem2a  12172  isumcl  12216  mertenslem2  12327  3dvds  12655  nn0seqcvgd  12843  algrf  12847  eucalg  12861  phimullem  13031  pcmpt  13150  pcprod  13153  imasaddfnlemg  13693  imasaddflemg  13695  mhmpropd  13831  ghmsub  14112  cntzmhm  14172  znunit  15102  upxp  15515  uptx  15517  txhmeo  15562  cncfmet  15835  dvaddxxbr  15944  dvcj  15952  dvfre  15953  plyf  15980  plyaddlem  15992  plymullem  15993  plycolemc  16001  plyreres  16007  dvply1  16008  bposlem5  16332  lgsdir  16376  lgsdi  16378  lgseisenlem3  16413  wlkpvtx  16837  wlkepvtx  16838  bj-charfunr  17058