Theorem ffvelcdm 5650

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 12-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdm	|- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Proof of Theorem ffvelcdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5366	. . 3 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
2		fnfvelrn 5649	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. ran F )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. ran F )
4		frn 5375	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ran F C_ B )
5	4	sseld 3155	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( ( F ` C ) e. ran F -> ( F ` C ) e. B ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F ` C ) e. ran F -> ( F ` C ) e. B ) )
7	3, 6	mpd 13	1 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   ran crn 4628   Fn wfn 5212   -->wf 5213   ` cfv 5217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-sbc 2964  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225

This theorem is referenced by:  ffvelcdmi  5651  ffvelcdmda  5652  dffo3  5664  ffnfv  5675  ffvresb  5680  fcompt  5687  fsn2  5691  fvconst  5705  foco2  5755  fcofo  5785  cocan1  5788  isocnv  5812  isores2  5814  isopolem  5823  isosolem  5825  fovcdm  6017  off  6095  mapsncnv  6695  2dom  6805  enm  6820  xpdom2  6831  xpmapenlem  6849  fiintim  6928  isotilem  7005  updjudhf  7078  exmidomniim  7139  shftf  10839  summodclem2a  11389  isumcl  11433  mertenslem2  11544  nn0seqcvgd  12041  algrf  12045  eucalg  12059  phimullem  12225  pcmpt  12341  pcprod  12344  imasaddfnlemg  12735  imasaddflemg  12737  mhmpropd  12857  upxp  13775  uptx  13777  txhmeo  13822  cncfmet  14082  dvaddxxbr  14168  dvcj  14176  dvfre  14177  lgsdir  14439  lgsdi  14441  bj-charfunr  14565