Theorem mndpfo 13079

Description: The addition operation of a monoid as a function is an onto function. (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by AV, 23-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndpf.b	|- B = ( Base ` G )
mndpf.p	|- .+^ = ( +f ` G )

Assertion

Ref	Expression
mndpfo	|- ( G e. Mnd -> .+^ : ( B X. B ) -onto-> B )

Proof of Theorem mndpfo

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndpf.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		mndpf.p	. . 3 |- .+^ = ( +f ` G )
3	1, 2	mndplusf 13074	. 2 |- ( G e. Mnd -> .+^ : ( B X. B ) --> B )
4		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> x e. B )
5		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
6	1, 5	mndidcl 13071	. . . . . 6 |- ( G e. Mnd -> ( 0g ` G ) e. B )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> ( 0g ` G ) e. B )
8		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
9	1, 8, 5	mndrid 13077	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) = x )
10	9	eqcomd 2202	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> x = ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) )
11		rspceov 5964	. . . . 5 |- ( ( x e. B /\ ( 0g ` G ) e. B /\ x = ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) ) -> E. y e. B E. z e. B x = ( y ( +g ` G ) z ) )
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> E. y e. B E. z e. B x = ( y ( +g ` G ) z ) )
13	1, 8, 2	plusfvalg 13006	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( y .+^ z ) = ( y ( +g ` G ) z ) )
14	13	eqeq2d 2208	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( x = ( y .+^ z ) <-> x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
15	14	3expa 1205	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ y e. B ) /\ z e. B ) -> ( x = ( y .+^ z ) <-> x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
16	15	rexbidva 2494	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. B ) -> ( E. z e. B x = ( y .+^ z ) <-> E. z e. B x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
17	16	rexbidva 2494	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> ( E. y e. B E. z e. B x = ( y .+^ z ) <-> E. y e. B E. z e. B x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> ( E. y e. B E. z e. B x = ( y .+^ z ) <-> E. y e. B E. z e. B x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
19	12, 18	mpbird 167	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> E. y e. B E. z e. B x = ( y .+^ z ) )
20	19	ralrimiva 2570	. 2 |- ( G e. Mnd -> A. x e. B E. y e. B E. z e. B x = ( y .+^ z ) )
21		foov 6070	. 2 |- ( .+^ : ( B X. B ) -onto-> B <-> ( .+^ : ( B X. B ) --> B /\ A. x e. B E. y e. B E. z e. B x = ( y .+^ z ) ) )
22	3, 20, 21	sylanbrc 417	1 |- ( G e. Mnd -> .+^ : ( B X. B ) -onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   X. cxp 4661   -->wf 5254   -onto->wfo 5256   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   0gc0g 12927   +fcplusf 12996   Mndcmnd 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-plusf 12998  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058

This theorem is referenced by:  mndfo  13080  grpplusfo  13148