Theorem mndpfo 13019

Description: The addition operation of a monoid as a function is an onto function. (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by AV, 23-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndpf.b	|- B = ( Base ` G )
mndpf.p	|- .+^ = ( +f ` G )

Assertion

Ref	Expression
mndpfo	|- ( G e. Mnd -> .+^ : ( B X. B ) -onto-> B )

Proof of Theorem mndpfo

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndpf.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		mndpf.p	. . 3 |- .+^ = ( +f ` G )
3	1, 2	mndplusf 13014	. 2 |- ( G e. Mnd -> .+^ : ( B X. B ) --> B )
4		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> x e. B )
5		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
6	1, 5	mndidcl 13011	. . . . . 6 |- ( G e. Mnd -> ( 0g ` G ) e. B )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> ( 0g ` G ) e. B )
8		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
9	1, 8, 5	mndrid 13017	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) = x )
10	9	eqcomd 2199	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> x = ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) )
11		rspceov 5960	. . . . 5 |- ( ( x e. B /\ ( 0g ` G ) e. B /\ x = ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) ) -> E. y e. B E. z e. B x = ( y ( +g ` G ) z ) )
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> E. y e. B E. z e. B x = ( y ( +g ` G ) z ) )
13	1, 8, 2	plusfvalg 12946	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( y .+^ z ) = ( y ( +g ` G ) z ) )
14	13	eqeq2d 2205	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( x = ( y .+^ z ) <-> x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
15	14	3expa 1205	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ y e. B ) /\ z e. B ) -> ( x = ( y .+^ z ) <-> x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
16	15	rexbidva 2491	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. B ) -> ( E. z e. B x = ( y .+^ z ) <-> E. z e. B x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
17	16	rexbidva 2491	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> ( E. y e. B E. z e. B x = ( y .+^ z ) <-> E. y e. B E. z e. B x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> ( E. y e. B E. z e. B x = ( y .+^ z ) <-> E. y e. B E. z e. B x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
19	12, 18	mpbird 167	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> E. y e. B E. z e. B x = ( y .+^ z ) )
20	19	ralrimiva 2567	. 2 |- ( G e. Mnd -> A. x e. B E. y e. B E. z e. B x = ( y .+^ z ) )
21		foov 6065	. 2 |- ( .+^ : ( B X. B ) -onto-> B <-> ( .+^ : ( B X. B ) --> B /\ A. x e. B E. y e. B E. z e. B x = ( y .+^ z ) ) )
22	3, 20, 21	sylanbrc 417	1 |- ( G e. Mnd -> .+^ : ( B X. B ) -onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   X. cxp 4657   -->wf 5250   -onto->wfo 5252   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   0gc0g 12867   +fcplusf 12936   Mndcmnd 12997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-inn 8983  df-2 9041  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-plusf 12938  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998

This theorem is referenced by:  mndfo  13020  grpplusfo  13088