Theorem mndpfo 13601

Description: The addition operation of a monoid as a function is an onto function. (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by AV, 23-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndpf.b	|- B = ( Base ` G )
mndpf.p	|- .+^ = ( +f ` G )

Assertion

Ref	Expression
mndpfo	|- ( G e. Mnd -> .+^ : ( B X. B ) -onto-> B )

Proof of Theorem mndpfo

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndpf.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		mndpf.p	. . 3 |- .+^ = ( +f ` G )
3	1, 2	mndplusf 13596	. 2 |- ( G e. Mnd -> .+^ : ( B X. B ) --> B )
4		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> x e. B )
5		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
6	1, 5	mndidcl 13593	. . . . . 6 |- ( G e. Mnd -> ( 0g ` G ) e. B )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> ( 0g ` G ) e. B )
8		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
9	1, 8, 5	mndrid 13599	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) = x )
10	9	eqcomd 2237	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> x = ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) )
11		rspceov 6071	. . . . 5 |- ( ( x e. B /\ ( 0g ` G ) e. B /\ x = ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) ) -> E. y e. B E. z e. B x = ( y ( +g ` G ) z ) )
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> E. y e. B E. z e. B x = ( y ( +g ` G ) z ) )
13	1, 8, 2	plusfvalg 13526	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( y .+^ z ) = ( y ( +g ` G ) z ) )
14	13	eqeq2d 2243	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( x = ( y .+^ z ) <-> x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
15	14	3expa 1230	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ y e. B ) /\ z e. B ) -> ( x = ( y .+^ z ) <-> x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
16	15	rexbidva 2530	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. B ) -> ( E. z e. B x = ( y .+^ z ) <-> E. z e. B x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
17	16	rexbidva 2530	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> ( E. y e. B E. z e. B x = ( y .+^ z ) <-> E. y e. B E. z e. B x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> ( E. y e. B E. z e. B x = ( y .+^ z ) <-> E. y e. B E. z e. B x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
19	12, 18	mpbird 167	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> E. y e. B E. z e. B x = ( y .+^ z ) )
20	19	ralrimiva 2606	. 2 |- ( G e. Mnd -> A. x e. B E. y e. B E. z e. B x = ( y .+^ z ) )
21		foov 6179	. 2 |- ( .+^ : ( B X. B ) -onto-> B <-> ( .+^ : ( B X. B ) --> B /\ A. x e. B E. y e. B E. z e. B x = ( y .+^ z ) ) )
22	3, 20, 21	sylanbrc 417	1 |- ( G e. Mnd -> .+^ : ( B X. B ) -onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   X. cxp 4729   -->wf 5329   -onto->wfo 5331   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   +g cplusg 13240   0gc0g 13419   +fcplusf 13516   Mndcmnd 13579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-inn 9203  df-2 9261  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-plusg 13253  df-0g 13421  df-plusf 13518  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580

This theorem is referenced by:  mndfo  13602  grpplusfo  13679