Theorem mndpfo 13651

Description: The addition operation of a monoid as a function is an onto function. (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by AV, 23-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndpf.b	|- B = ( Base ` G )
mndpf.p	|- .+^ = ( +f ` G )

Assertion

Ref	Expression
mndpfo	|- ( G e. Mnd -> .+^ : ( B X. B ) -onto-> B )

Proof of Theorem mndpfo

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndpf.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		mndpf.p	. . 3 |- .+^ = ( +f ` G )
3	1, 2	mndplusf 13646	. 2 |- ( G e. Mnd -> .+^ : ( B X. B ) --> B )
4		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> x e. B )
5		eqid 2232	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
6	1, 5	mndidcl 13643	. . . . . 6 |- ( G e. Mnd -> ( 0g ` G ) e. B )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> ( 0g ` G ) e. B )
8		eqid 2232	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
9	1, 8, 5	mndrid 13649	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) = x )
10	9	eqcomd 2238	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> x = ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) )
11		rspceov 6093	. . . . 5 |- ( ( x e. B /\ ( 0g ` G ) e. B /\ x = ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) ) -> E. y e. B E. z e. B x = ( y ( +g ` G ) z ) )
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> E. y e. B E. z e. B x = ( y ( +g ` G ) z ) )
13	1, 8, 2	plusfvalg 13576	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( y .+^ z ) = ( y ( +g ` G ) z ) )
14	13	eqeq2d 2244	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( x = ( y .+^ z ) <-> x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
15	14	3expa 1230	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ y e. B ) /\ z e. B ) -> ( x = ( y .+^ z ) <-> x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
16	15	rexbidva 2539	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. B ) -> ( E. z e. B x = ( y .+^ z ) <-> E. z e. B x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
17	16	rexbidva 2539	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> ( E. y e. B E. z e. B x = ( y .+^ z ) <-> E. y e. B E. z e. B x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> ( E. y e. B E. z e. B x = ( y .+^ z ) <-> E. y e. B E. z e. B x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
19	12, 18	mpbird 167	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> E. y e. B E. z e. B x = ( y .+^ z ) )
20	19	ralrimiva 2615	. 2 |- ( G e. Mnd -> A. x e. B E. y e. B E. z e. B x = ( y .+^ z ) )
21		foov 6201	. 2 |- ( .+^ : ( B X. B ) -onto-> B <-> ( .+^ : ( B X. B ) --> B /\ A. x e. B E. y e. B E. z e. B x = ( y .+^ z ) ) )
22	3, 20, 21	sylanbrc 417	1 |- ( G e. Mnd -> .+^ : ( B X. B ) -onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   X. cxp 4747   -->wf 5348   -onto->wfo 5350   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   +g cplusg 13290   0gc0g 13469   +fcplusf 13566   Mndcmnd 13629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-inn 9238  df-2 9296  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-plusg 13303  df-0g 13471  df-plusf 13568  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630

This theorem is referenced by:  mndfo  13652  grpplusfo  13729