ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mndpfo Unicode version

Theorem mndpfo 12844
Description: The addition operation of a monoid as a function is an onto function. (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by AV, 23-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mndpf.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mndpf.p  |-  .+^  =  ( +f `  G
)
Assertion
Ref Expression
mndpfo  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .+^  : ( B  X.  B )
-onto-> B )

Proof of Theorem mndpfo
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndpf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mndpf.p . . 3  |-  .+^  =  ( +f `  G
)
31, 2mndplusf 12839 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .+^  : ( B  X.  B ) --> B )
4 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
5 eqid 2177 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
61, 5mndidcl 12836 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
76adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B )  ->  ( 0g `  G
)  e.  B )
8 eqid 2177 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
91, 8, 5mndrid 12842 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) )  =  x )
109eqcomd 2183 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B )  ->  x  =  ( x ( +g  `  G
) ( 0g `  G ) ) )
11 rspceov 5919 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  /\  ( 0g `  G )  e.  B  /\  x  =  ( x ( +g  `  G ) ( 0g `  G
) ) )  ->  E. y  e.  B  E. z  e.  B  x  =  ( y
( +g  `  G ) z ) )
124, 7, 10, 11syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B )  ->  E. y  e.  B  E. z  e.  B  x  =  ( y
( +g  `  G ) z ) )
131, 8, 2plusfvalg 12787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y  .+^  z )  =  ( y ( +g  `  G ) z ) )
1413eqeq2d 2189 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( x  =  ( y  .+^  z )  <->  x  =  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
15143expa 1203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  y  e.  B )  /\  z  e.  B
)  ->  ( x  =  ( y  .+^  z )  <->  x  =  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
1615rexbidva 2474 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  y  e.  B )  ->  ( E. z  e.  B  x  =  ( y  .+^  z )  <->  E. z  e.  B  x  =  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
1716rexbidva 2474 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( E. y  e.  B  E. z  e.  B  x  =  ( y  .+^  z )  <->  E. y  e.  B  E. z  e.  B  x  =  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
1817adantr 276 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B )  ->  ( E. y  e.  B  E. z  e.  B  x  =  ( y  .+^  z )  <->  E. y  e.  B  E. z  e.  B  x  =  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
1912, 18mpbird 167 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B )  ->  E. y  e.  B  E. z  e.  B  x  =  ( y  .+^  z ) )
2019ralrimiva 2550 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  A. x  e.  B  E. y  e.  B  E. z  e.  B  x  =  ( y  .+^  z ) )
21 foov 6023 . 2  |-  (  .+^  : ( B  X.  B
) -onto-> B  <->  (  .+^  : ( B  X.  B ) --> B  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  B  E. z  e.  B  x  =  ( y  .+^  z ) ) )
223, 20, 21sylanbrc 417 1  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .+^  : ( B  X.  B )
-onto-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456    X. cxp 4626   -->wf 5214   -onto->wfo 5216   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   +g cplusg 12538   0gc0g 12710   +fcplusf 12777   Mndcmnd 12822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-inn 8922  df-2 8980  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-plusf 12779  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823
This theorem is referenced by:  mndfo  12845  grpplusfo  12897
  Copyright terms: Public domain W3C validator