Theorem mndpfo 13520

Description: The addition operation of a monoid as a function is an onto function. (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by AV, 23-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndpf.b	|- B = ( Base ` G )
mndpf.p	|- .+^ = ( +f ` G )

Assertion

Ref	Expression
mndpfo	|- ( G e. Mnd -> .+^ : ( B X. B ) -onto-> B )

Proof of Theorem mndpfo

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndpf.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		mndpf.p	. . 3 |- .+^ = ( +f ` G )
3	1, 2	mndplusf 13515	. 2 |- ( G e. Mnd -> .+^ : ( B X. B ) --> B )
4		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> x e. B )
5		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
6	1, 5	mndidcl 13512	. . . . . 6 |- ( G e. Mnd -> ( 0g ` G ) e. B )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> ( 0g ` G ) e. B )
8		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
9	1, 8, 5	mndrid 13518	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) = x )
10	9	eqcomd 2237	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> x = ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) )
11		rspceov 6060	. . . . 5 |- ( ( x e. B /\ ( 0g ` G ) e. B /\ x = ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) ) -> E. y e. B E. z e. B x = ( y ( +g ` G ) z ) )
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 1273	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> E. y e. B E. z e. B x = ( y ( +g ` G ) z ) )
13	1, 8, 2	plusfvalg 13445	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( y .+^ z ) = ( y ( +g ` G ) z ) )
14	13	eqeq2d 2243	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( x = ( y .+^ z ) <-> x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
15	14	3expa 1229	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ y e. B ) /\ z e. B ) -> ( x = ( y .+^ z ) <-> x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
16	15	rexbidva 2529	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. B ) -> ( E. z e. B x = ( y .+^ z ) <-> E. z e. B x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
17	16	rexbidva 2529	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> ( E. y e. B E. z e. B x = ( y .+^ z ) <-> E. y e. B E. z e. B x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> ( E. y e. B E. z e. B x = ( y .+^ z ) <-> E. y e. B E. z e. B x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
19	12, 18	mpbird 167	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> E. y e. B E. z e. B x = ( y .+^ z ) )
20	19	ralrimiva 2605	. 2 |- ( G e. Mnd -> A. x e. B E. y e. B E. z e. B x = ( y .+^ z ) )
21		foov 6168	. 2 |- ( .+^ : ( B X. B ) -onto-> B <-> ( .+^ : ( B X. B ) --> B /\ A. x e. B E. y e. B E. z e. B x = ( y .+^ z ) ) )
22	3, 20, 21	sylanbrc 417	1 |- ( G e. Mnd -> .+^ : ( B X. B ) -onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   X. cxp 4723   -->wf 5322   -onto->wfo 5324   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   0gc0g 13338   +fcplusf 13435   Mndcmnd 13498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-inn 9143  df-2 9201  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-0g 13340  df-plusf 13437  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499

This theorem is referenced by:  mndfo  13521  grpplusfo  13598