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Theorem frind 4179
Description: Induction over a well-founded set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
frind.sb  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
frind.ind  |-  ( ( ch  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  ps )  ->  ph ) )
frind.fr  |-  ( ch 
->  R  Fr  A
)
frind.a  |-  ( ch 
->  A  e.  V
)
Assertion
Ref Expression
frind  |-  ( ( ch  /\  x  e.  A )  ->  ph )
Distinct variable groups:    x, A, y   
x, R, y    ch, x    ph, y    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    V( x, y)

Proof of Theorem frind
Dummy variables  s  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frind.ind . . . . . . . 8  |-  ( ( ch  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  ps )  ->  ph ) )
21ralrimiva 2446 . . . . . . 7  |-  ( ch 
->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  ps )  ->  ph ) )
3 nfv 1466 . . . . . . . 8  |-  F/ z ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  ps )  ->  ph )
4 nfv 1466 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. y  e.  A  ( y R z  ->  ps )
5 nfs1v 1863 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [ z  /  x ] ph
64, 5nfim 1509 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( A. y  e.  A  ( y R z  ->  ps )  ->  [ z  /  x ] ph )
7 breq2 3849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
y R x  <->  y R
z ) )
87imbi1d 229 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( y R x  ->  ps )  <->  ( y R z  ->  ps ) ) )
98ralbidv 2380 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  ps )  <->  A. y  e.  A  ( y R z  ->  ps ) ) )
10 sbequ12 1701 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<->  [ z  /  x ] ph ) )
119, 10imbi12d 232 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( A. y  e.  A  ( y R x  ->  ps )  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  A  (
y R z  ->  ps )  ->  [ z  /  x ] ph ) ) )
123, 6, 11cbvral 2586 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  ps )  ->  ph )  <->  A. z  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R z  ->  ps )  ->  [ z  /  x ] ph ) )
132, 12sylib 120 . . . . . 6  |-  ( ch 
->  A. z  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R z  ->  ps )  ->  [ z  /  x ] ph ) )
14 frind.sb . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1514elrab3 2772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  (
y  e.  { x  e.  A  |  ph }  <->  ps ) )
1615imbi2d 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  ->  (
( y R z  ->  y  e.  {
x  e.  A  |  ph } )  <->  ( y R z  ->  ps ) ) )
1716ralbiia 2392 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  (
y R z  -> 
y  e.  { x  e.  A  |  ph }
)  <->  A. y  e.  A  ( y R z  ->  ps ) )
1817a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( y R z  ->  y  e.  {
x  e.  A  |  ph } )  <->  A. y  e.  A  ( y R z  ->  ps ) ) )
19 nfcv 2228 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
z
20 nfcv 2228 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x A
2119, 20, 5, 10elrabf 2769 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { x  e.  A  |  ph }  <->  ( z  e.  A  /\  [ z  /  x ] ph ) )
2221baib 866 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  A  ->  (
z  e.  { x  e.  A  |  ph }  <->  [ z  /  x ] ph ) )
2318, 22imbi12d 232 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  (
( A. y  e.  A  ( y R z  ->  y  e.  { x  e.  A  |  ph } )  ->  z  e.  { x  e.  A  |  ph } )  <->  ( A. y  e.  A  (
y R z  ->  ps )  ->  [ z  /  x ] ph ) ) )
2423ralbiia 2392 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R z  ->  y  e.  {
x  e.  A  |  ph } )  ->  z  e.  { x  e.  A  |  ph } )  <->  A. z  e.  A  ( A. y  e.  A  (
y R z  ->  ps )  ->  [ z  /  x ] ph ) )
2513, 24sylibr 132 . . . . 5  |-  ( ch 
->  A. z  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R z  ->  y  e.  {
x  e.  A  |  ph } )  ->  z  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )
26 frind.fr . . . . . . . 8  |-  ( ch 
->  R  Fr  A
)
27 df-frind 4159 . . . . . . . 8  |-  ( R  Fr  A  <->  A. sFrFor  R A s )
2826, 27sylib 120 . . . . . . 7  |-  ( ch 
->  A. sFrFor  R A s )
29 frind.a . . . . . . . 8  |-  ( ch 
->  A  e.  V
)
30 rabexg 3982 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  A  |  ph }  e.  _V )
31 frforeq3 4174 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  { x  e.  A  |  ph }  ->  (FrFor  R A s  <-> FrFor  R A { x  e.  A  |  ph }
) )
3231spcgv 2706 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  A  |  ph }  e.  _V  ->  ( A. sFrFor  R A s  -> FrFor  R A {
x  e.  A  |  ph } ) )
3329, 30, 323syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ch 
->  ( A. sFrFor  R A s  -> FrFor  R A { x  e.  A  |  ph } ) )
3428, 33mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ch 
-> FrFor  R A { x  e.  A  |  ph }
)
35 df-frfor 4158 . . . . . 6  |-  (FrFor  R A { x  e.  A  |  ph }  <->  ( A. z  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R z  ->  y  e.  {
x  e.  A  |  ph } )  ->  z  e.  { x  e.  A  |  ph } )  ->  A  C_  { x  e.  A  |  ph }
) )
3634, 35sylib 120 . . . . 5  |-  ( ch 
->  ( A. z  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R z  ->  y  e.  { x  e.  A  |  ph } )  -> 
z  e.  { x  e.  A  |  ph }
)  ->  A  C_  { x  e.  A  |  ph }
) )
3725, 36mpd 13 . . . 4  |-  ( ch 
->  A  C_  { x  e.  A  |  ph }
)
38 ssrab 3099 . . . 4  |-  ( A 
C_  { x  e.  A  |  ph }  <->  ( A  C_  A  /\  A. x  e.  A  ph ) )
3937, 38sylib 120 . . 3  |-  ( ch 
->  ( A  C_  A  /\  A. x  e.  A  ph ) )
4039simprd 112 . 2  |-  ( ch 
->  A. x  e.  A  ph )
4140r19.21bi 2461 1  |-  ( ( ch  /\  x  e.  A )  ->  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1287    e. wcel 1438   [wsb 1692   A.wral 2359   {crab 2363   _Vcvv 2619    C_ wss 2999   class class class wbr 3845  FrFor wfrfor 4154    Fr wfr 4155
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rab 2368  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-br 3846  df-frfor 4158  df-frind 4159
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