Theorem cbvral 2782

Description: Rule used to change bound variables, using implicit substitution. (Contributed by NM, 31-Jul-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvral.1	|- F/ y ph
cbvral.2	|- F/ x ps
cbvral.3	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
cbvral	|- ( A. x e. A ph <-> A. y e. A ps )

Distinct variable groups:   x, A   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y)

Proof of Theorem cbvral

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2392	. 2 |- F/_ x A
2		nfcv 2392	. 2 |- F/_ y A
3		cbvral.1	. 2 |- F/ y ph
4		cbvral.2	. 2 |- F/ x ps
5		cbvral.3	. 2 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvralf 2777	1 |- ( A. x e. A ph <-> A. y e. A ps )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   F/wnf 1513   A.wral 2528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533

This theorem is used by:  cbvralv  2786  cbvralsv  2802  cbviin  4050  frind  4499  ralxpf  4928  eqfnfv2f  5813  ralrnmpt  5853  dff13f  5979  ofrfval2  6323  uchoice  6375  fmpox  6440  cbvixp  7001  mptelixpg  7020  xpf1o  7148  indstr  10009  fsum3  12179  fsum00  12254  mertenslem2  12328  fprodcl2lem  12397  fprodle  12432  ctiunctal  13390  cnmpt11  15509  cnmpt21  15517  bj-bdfindes  17180  bj-findes  17212