ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funinsn Unicode version

Theorem funinsn 5140
Description: A function based on the singleton of an ordered pair. Unlike funsng 5137, this holds even if  A or  B is a proper class. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Apr-2022.)
Assertion
Ref Expression
funinsn  |-  Fun  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W ) )

Proof of Theorem funinsn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3265 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W ) )  C_  ( V  X.  W
)
2 xpss 4615 . . . 4  |-  ( V  X.  W )  C_  ( _V  X.  _V )
31, 2sstri 3074 . . 3  |-  ( {
<. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W ) )  C_  ( _V  X.  _V )
4 df-rel 4514 . . 3  |-  ( Rel  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W ) )  <-> 
( { <. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W ) ) 
C_  ( _V  X.  _V ) )
53, 4mpbir 145 . 2  |-  Rel  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W ) )
6 elin 3227 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W ) )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  { <. A ,  B >. }  /\  <. x ,  y >.  e.  ( V  X.  W ) ) )
76simplbi 270 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W ) )  ->  <. x ,  y
>.  e.  { <. A ,  B >. } )
8 elsni 3513 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. }  ->  <. x ,  y >.  =  <. A ,  B >. )
97, 8syl 14 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W ) )  ->  <. x ,  y
>.  =  <. A ,  B >. )
10 vex 2661 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
11 vex 2661 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
1210, 11opth 4127 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. A ,  B >.  <-> 
( x  =  A  /\  y  =  B ) )
139, 12sylib 121 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W ) )  ->  ( x  =  A  /\  y  =  B ) )
1413simprd 113 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W ) )  ->  y  =  B )
15 elin 3227 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W ) )  <-> 
( <. x ,  z
>.  e.  { <. A ,  B >. }  /\  <. x ,  z >.  e.  ( V  X.  W ) ) )
1615simplbi 270 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W ) )  ->  <. x ,  z
>.  e.  { <. A ,  B >. } )
17 elsni 3513 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  { <. A ,  B >. }  ->  <. x ,  z >.  =  <. A ,  B >. )
1816, 17syl 14 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W ) )  ->  <. x ,  z
>.  =  <. A ,  B >. )
19 vex 2661 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
2010, 19opth 4127 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  z >.  =  <. A ,  B >.  <-> 
( x  =  A  /\  z  =  B ) )
2118, 20sylib 121 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W ) )  ->  ( x  =  A  /\  z  =  B ) )
2221simprd 113 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W ) )  ->  z  =  B )
23 eqtr3 2135 . . . . 5  |-  ( ( y  =  B  /\  z  =  B )  ->  y  =  z )
2414, 22, 23syl2an 285 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W ) )  /\  <. x ,  z
>.  e.  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W
) ) )  -> 
y  =  z )
2524gen2 1409 . . 3  |-  A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W ) )  /\  <. x ,  z
>.  e.  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W
) ) )  -> 
y  =  z )
2625ax-gen 1408 . 2  |-  A. x A. y A. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W
) )  /\  <. x ,  z >.  e.  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W ) ) )  ->  y  =  z )
27 dffun4 5102 . 2  |-  ( Fun  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W ) )  <-> 
( Rel  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W ) )  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W ) )  /\  <. x ,  z
>.  e.  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W
) ) )  -> 
y  =  z ) ) )
285, 26, 27mpbir2an 909 1  |-  Fun  ( { <. A ,  B >. }  i^i  ( V  X.  W ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1312    = wceq 1314    e. wcel 1463   _Vcvv 2658    i^i cin 3038    C_ wss 3039   {csn 3495   <.cop 3498    X. cxp 4505   Rel wrel 4512   Fun wfun 5085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-v 2660  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-fun 5093
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator