Theorem funinsn 5267

Description: A function based on the singleton of an ordered pair. Unlike funsng 5264, this holds even if A or B is a proper class. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
funinsn	|- Fun ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) )

Proof of Theorem funinsn

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 3358	. . . 4 |- ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) C_ ( V X. W )
2		xpss 4736	. . . 4 |- ( V X. W ) C_ ( _V X. _V )
3	1, 2	sstri 3166	. . 3 |- ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) C_ ( _V X. _V )
4		df-rel 4635	. . 3 |- ( Rel ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) <-> ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) C_ ( _V X. _V ) )
5	3, 4	mpbir 146	. 2 |- Rel ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) )
6		elin 3320	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) <-> ( <. x , y >. e. { <. A , B >. } /\ <. x , y >. e. ( V X. W ) ) )
7	6	simplbi 274	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) -> <. x , y >. e. { <. A , B >. } )
8		elsni 3612	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. { <. A , B >. } -> <. x , y >. = <. A , B >. )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) -> <. x , y >. = <. A , B >. )
10		vex 2742	. . . . . . . 8 |- x e. _V
11		vex 2742	. . . . . . . 8 |- y e. _V
12	10, 11	opth 4239	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. = <. A , B >. <-> ( x = A /\ y = B ) )
13	9, 12	sylib 122	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) -> ( x = A /\ y = B ) )
14	13	simprd 114	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) -> y = B )
15		elin 3320	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) <-> ( <. x , z >. e. { <. A , B >. } /\ <. x , z >. e. ( V X. W ) ) )
16	15	simplbi 274	. . . . . . . 8 |- ( <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) -> <. x , z >. e. { <. A , B >. } )
17		elsni 3612	. . . . . . . 8 |- ( <. x , z >. e. { <. A , B >. } -> <. x , z >. = <. A , B >. )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . 7 |- ( <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) -> <. x , z >. = <. A , B >. )
19		vex 2742	. . . . . . . 8 |- z e. _V
20	10, 19	opth 4239	. . . . . . 7 |- ( <. x , z >. = <. A , B >. <-> ( x = A /\ z = B ) )
21	18, 20	sylib 122	. . . . . 6 |- ( <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) -> ( x = A /\ z = B ) )
22	21	simprd 114	. . . . 5 |- ( <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) -> z = B )
23		eqtr3 2197	. . . . 5 |- ( ( y = B /\ z = B ) -> y = z )
24	14, 22, 23	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) /\ <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) ) -> y = z )
25	24	gen2 1450	. . 3 |- A. y A. z ( ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) /\ <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) ) -> y = z )
26	25	ax-gen 1449	. 2 |- A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) /\ <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) ) -> y = z )
27		dffun4 5229	. 2 |- ( Fun ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) <-> ( Rel ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) /\ <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) ) -> y = z ) ) )
28	5, 26, 27	mpbir2an 942	1 |- Fun ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1351   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   i^i cin 3130   C_ wss 3131   {csn 3594   <.cop 3597   X. cxp 4626   Rel wrel 4633   Fun wfun 5212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-fun 5220

This theorem is referenced by: (None)