Theorem funinsn 5303

Description: A function based on the singleton of an ordered pair. Unlike funsng 5300, this holds even if A or B is a proper class. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
funinsn	|- Fun ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) )

Proof of Theorem funinsn

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 3380	. . . 4 |- ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) C_ ( V X. W )
2		xpss 4767	. . . 4 |- ( V X. W ) C_ ( _V X. _V )
3	1, 2	sstri 3188	. . 3 |- ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) C_ ( _V X. _V )
4		df-rel 4666	. . 3 |- ( Rel ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) <-> ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) C_ ( _V X. _V ) )
5	3, 4	mpbir 146	. 2 |- Rel ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) )
6		elin 3342	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) <-> ( <. x , y >. e. { <. A , B >. } /\ <. x , y >. e. ( V X. W ) ) )
7	6	simplbi 274	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) -> <. x , y >. e. { <. A , B >. } )
8		elsni 3636	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. { <. A , B >. } -> <. x , y >. = <. A , B >. )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) -> <. x , y >. = <. A , B >. )
10		vex 2763	. . . . . . . 8 |- x e. _V
11		vex 2763	. . . . . . . 8 |- y e. _V
12	10, 11	opth 4266	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. = <. A , B >. <-> ( x = A /\ y = B ) )
13	9, 12	sylib 122	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) -> ( x = A /\ y = B ) )
14	13	simprd 114	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) -> y = B )
15		elin 3342	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) <-> ( <. x , z >. e. { <. A , B >. } /\ <. x , z >. e. ( V X. W ) ) )
16	15	simplbi 274	. . . . . . . 8 |- ( <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) -> <. x , z >. e. { <. A , B >. } )
17		elsni 3636	. . . . . . . 8 |- ( <. x , z >. e. { <. A , B >. } -> <. x , z >. = <. A , B >. )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . 7 |- ( <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) -> <. x , z >. = <. A , B >. )
19		vex 2763	. . . . . . . 8 |- z e. _V
20	10, 19	opth 4266	. . . . . . 7 |- ( <. x , z >. = <. A , B >. <-> ( x = A /\ z = B ) )
21	18, 20	sylib 122	. . . . . 6 |- ( <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) -> ( x = A /\ z = B ) )
22	21	simprd 114	. . . . 5 |- ( <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) -> z = B )
23		eqtr3 2213	. . . . 5 |- ( ( y = B /\ z = B ) -> y = z )
24	14, 22, 23	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) /\ <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) ) -> y = z )
25	24	gen2 1461	. . 3 |- A. y A. z ( ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) /\ <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) ) -> y = z )
26	25	ax-gen 1460	. 2 |- A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) /\ <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) ) -> y = z )
27		dffun4 5265	. 2 |- ( Fun ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) <-> ( Rel ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) /\ <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) ) -> y = z ) ) )
28	5, 26, 27	mpbir2an 944	1 |- Fun ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   i^i cin 3152   C_ wss 3153   {csn 3618   <.cop 3621   X. cxp 4657   Rel wrel 4664   Fun wfun 5248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-fun 5256

This theorem is referenced by: (None)