Theorem fvmptelcdm 5861

Description: The value of a function at a point of its domain belongs to its codomain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmptelcdm.1	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> C )

Assertion

Ref	Expression
fvmptelcdm	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x)

Proof of Theorem fvmptelcdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptelcdm.1	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> C )
2		eqid 2238	. . . 4 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	2	fmpt 5858	. . 3 |- ( A. x e. A B e. C <-> ( x e. A |-> B ) : A --> C )
4	1, 3	sylibr 134	. 2 |- ( ph -> A. x e. A B e. C )
5	4	r19.21bi 2638	1 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   A.wral 2528   |-> cmpt 4192   -->wf 5373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385

This theorem is used by:  txcnp  15372  cnmpt1t  15386  cnmpt12  15388  divcncfap  15715  maxcncf  15716  mincncf  15717  dvmptclx  15819