Theorem fmpti 5863

Description: Functionality of the mapping operation. (Contributed by NM, 19-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt.1	|- F = ( x e. A |-> C )
fmpti.2	|- ( x e. A -> C e. B )

Assertion

Ref	Expression
fmpti	|- F : A --> B

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   C( x)   F( x)

Proof of Theorem fmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpti.2	. . 3 |- ( x e. A -> C e. B )
2	1	rgen 2603	. 2 |- A. x e. A C e. B
3		fmpt.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> C )
4	3	fmpt 5861	. 2 |- ( A. x e. A C e. B <-> F : A --> B )
5	2, 4	mpbi 145	1 |- F : A --> B

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   |-> cmpt 4193   -->wf 5376

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388

This theorem is used by:  omp1eomlem  7440  fnn0nninf  10896  cjf  11634  ref  11642  imf  11643  absf  11899  eff  12455  sinf  12496  cosf  12497  bitsf  12738  fnum  12995  fden  12996  divcnap  15791  dveflem  15952  bposlem7  16317  2lgslem1b  16413  nnsf  17254  nninfself  17262