Theorem fmpti 5668

Description: Functionality of the mapping operation. (Contributed by NM, 19-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt.1	|- F = ( x e. A |-> C )
fmpti.2	|- ( x e. A -> C e. B )

Assertion

Ref	Expression
fmpti	|- F : A --> B

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   C( x)   F( x)

Proof of Theorem fmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpti.2	. . 3 |- ( x e. A -> C e. B )
2	1	rgen 2530	. 2 |- A. x e. A C e. B
3		fmpt.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> C )
4	3	fmpt 5666	. 2 |- ( A. x e. A C e. B <-> F : A --> B )
5	2, 4	mpbi 145	1 |- F : A --> B

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   |-> cmpt 4064   -->wf 5212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224

This theorem is referenced by:  omp1eomlem  7092  fnn0nninf  10436  cjf  10855  ref  10863  imf  10864  absf  11118  eff  11670  sinf  11711  cosf  11712  fnum  12189  fden  12190  divcnap  14025  dveflem  14157  nnsf  14724  nninfself  14732