Theorem cnmpt12 13081

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptid.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt11.a	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
cnmpt1t.b	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) )
cnmpt12.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmpt12.l	|- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
cnmpt12.c	|- ( ph -> ( y e. Y , z e. Z |-> C ) e. ( ( K tX L ) Cn M ) )
cnmpt12.d	|- ( ( y = A /\ z = B ) -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt12	|- ( ph -> ( x e. X |-> D ) e. ( J Cn M ) )

Distinct variable groups:   y, z, A   z, B   y, D, z   x, y   ph, x   x, J, y   x, z, M, y   x, X, y, z   x, Y, y, z   x, Z, y, z   x, K, y   x, L, y   y, B   x, C

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   A( x)   B( x)   C( y, z)   D( x)   J( z)   K( z)   L( z)

Proof of Theorem cnmpt12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmptid.j	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		cnmpt12.k	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
3		cnmpt11.a	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
4		cnf2 12999	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1233	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
6	5	fvmptelrn 5649	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. Y )
7		cnmpt12.l	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
8		cnmpt1t.b	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) )
9		cnf2 12999	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. (TopOn ` Z ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> Z )
10	1, 7, 8, 9	syl3anc 1233	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> Z )
11	10	fvmptelrn 5649	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. Z )
12	6, 11	jca 304	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A e. Y /\ B e. Z ) )
13		txtopon 13056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ L e. (TopOn ` Z ) ) -> ( K tX L ) e. (TopOn ` ( Y X. Z ) ) )
14	2, 7, 13	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K tX L ) e. (TopOn ` ( Y X. Z ) ) )
15		cnmpt12.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. Y , z e. Z |-> C ) e. ( ( K tX L ) Cn M ) )
16		cntop2 12996	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. Y , z e. Z |-> C ) e. ( ( K tX L ) Cn M ) -> M e. Top )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. Top )
18		toptopon2 12811	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. Top <-> M e. (TopOn ` U. M ) )
19	17, 18	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. (TopOn ` U. M ) )
20		cnf2 12999	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K tX L ) e. (TopOn ` ( Y X. Z ) ) /\ M e. (TopOn ` U. M ) /\ ( y e. Y , z e. Z |-> C ) e. ( ( K tX L ) Cn M ) ) -> ( y e. Y , z e. Z |-> C ) : ( Y X. Z ) --> U. M )
21	14, 19, 15, 20	syl3anc 1233	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. Y , z e. Z |-> C ) : ( Y X. Z ) --> U. M )
22		eqid 2170	. . . . . . . . 9 |- ( y e. Y , z e. Z |-> C ) = ( y e. Y , z e. Z |-> C )
23	22	fmpo 6180	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. Y A. z e. Z C e. U. M <-> ( y e. Y , z e. Z |-> C ) : ( Y X. Z ) --> U. M )
24	21, 23	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. Y A. z e. Z C e. U. M )
25		r2al 2489	. . . . . . 7 |- ( A. y e. Y A. z e. Z C e. U. M <-> A. y A. z ( ( y e. Y /\ z e. Z ) -> C e. U. M ) )
26	24, 25	sylib 121	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y A. z ( ( y e. Y /\ z e. Z ) -> C e. U. M ) )
27	26	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. y A. z ( ( y e. Y /\ z e. Z ) -> C e. U. M ) )
28		eleq1 2233	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( y e. Y <-> A e. Y ) )
29		eleq1 2233	. . . . . . . 8 |- ( z = B -> ( z e. Z <-> B e. Z ) )
30	28, 29	bi2anan9 601	. . . . . . 7 |- ( ( y = A /\ z = B ) -> ( ( y e. Y /\ z e. Z ) <-> ( A e. Y /\ B e. Z ) ) )
31		cnmpt12.d	. . . . . . . 8 |- ( ( y = A /\ z = B ) -> C = D )
32	31	eleq1d 2239	. . . . . . 7 |- ( ( y = A /\ z = B ) -> ( C e. U. M <-> D e. U. M ) )
33	30, 32	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( ( y = A /\ z = B ) -> ( ( ( y e. Y /\ z e. Z ) -> C e. U. M ) <-> ( ( A e. Y /\ B e. Z ) -> D e. U. M ) ) )
34	33	spc2gv 2821	. . . . 5 |- ( ( A e. Y /\ B e. Z ) -> ( A. y A. z ( ( y e. Y /\ z e. Z ) -> C e. U. M ) -> ( ( A e. Y /\ B e. Z ) -> D e. U. M ) ) )
35	12, 27, 12, 34	syl3c 63	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. U. M )
36	31, 22	ovmpoga 5982	. . . 4 |- ( ( A e. Y /\ B e. Z /\ D e. U. M ) -> ( A ( y e. Y , z e. Z |-> C ) B ) = D )
37	6, 11, 35, 36	syl3anc 1233	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A ( y e. Y , z e. Z |-> C ) B ) = D )
38	37	mpteq2dva 4079	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A ( y e. Y , z e. Z |-> C ) B ) ) = ( x e. X |-> D ) )
39	1, 3, 8, 15	cnmpt12f 13080	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A ( y e. Y , z e. Z |-> C ) B ) ) e. ( J Cn M ) )
40	38, 39	eqeltrrd 2248	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> D ) e. ( J Cn M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1346   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   U.cuni 3796   |-> cmpt 4050   X. cxp 4609   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   e. cmpo 5855   Topctop 12789  TopOnctopon 12802   Cn ccn 12979   tX ctx 13046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-topgen 12600  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-cn 12982  df-tx 13047

This theorem is referenced by: (None)