Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnmpt12 Unicode version

Theorem cnmpt12 12515
 Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptid.j TopOn
cnmpt11.a
cnmpt1t.b
cnmpt12.k TopOn
cnmpt12.l TopOn
cnmpt12.c
cnmpt12.d
Assertion
Ref Expression
cnmpt12
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,   ,   ,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   (,)   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem cnmpt12
StepHypRef Expression
1 cnmptid.j . . . . . 6 TopOn
2 cnmpt12.k . . . . . 6 TopOn
3 cnmpt11.a . . . . . 6
4 cnf2 12433 . . . . . 6 TopOn TopOn
51, 2, 3, 4syl3anc 1217 . . . . 5
65fvmptelrn 5582 . . . 4
7 cnmpt12.l . . . . . 6 TopOn
8 cnmpt1t.b . . . . . 6
9 cnf2 12433 . . . . . 6 TopOn TopOn
101, 7, 8, 9syl3anc 1217 . . . . 5
1110fvmptelrn 5582 . . . 4
126, 11jca 304 . . . . 5
13 txtopon 12490 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn TopOn
142, 7, 13syl2anc 409 . . . . . . . . 9 TopOn
15 cnmpt12.c . . . . . . . . . . 11
16 cntop2 12430 . . . . . . . . . . 11
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . 10
18 toptopon2 12245 . . . . . . . . . 10 TopOn
1917, 18sylib 121 . . . . . . . . 9 TopOn
20 cnf2 12433 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
2114, 19, 15, 20syl3anc 1217 . . . . . . . 8
22 eqid 2140 . . . . . . . . 9
2322fmpo 6108 . . . . . . . 8
2421, 23sylibr 133 . . . . . . 7
25 r2al 2458 . . . . . . 7
2624, 25sylib 121 . . . . . 6
2726adantr 274 . . . . 5
28 eleq1 2203 . . . . . . . 8
29 eleq1 2203 . . . . . . . 8
3028, 29bi2anan9 596 . . . . . . 7
31 cnmpt12.d . . . . . . . 8
3231eleq1d 2209 . . . . . . 7
3330, 32imbi12d 233 . . . . . 6
3433spc2gv 2781 . . . . 5
3512, 27, 12, 34syl3c 63 . . . 4
3631, 22ovmpoga 5909 . . . 4
376, 11, 35, 36syl3anc 1217 . . 3
3837mpteq2dva 4027 . 2
391, 3, 8, 15cnmpt12f 12514 . 2
4038, 39eqeltrrd 2218 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103  wal 1330   wceq 1332   wcel 1481  wral 2417  cuni 3745   cmpt 3998   cxp 4546  wf 5128  cfv 5132  (class class class)co 5783   cmpo 5785  ctop 12223  TopOnctopon 12236   ccn 12413   ctx 12480 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-id 4224  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-map 6553  df-topgen 12200  df-top 12224  df-topon 12237  df-bases 12269  df-cn 12416  df-tx 12481 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator