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Theorem cnmpt12 14264
Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptid.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt11.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K ) )
cnmpt1t.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  L ) )
cnmpt12.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt12.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmpt12.c  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  M ) )
cnmpt12.d  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  B )  ->  C  =  D )
Assertion
Ref Expression
cnmpt12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  D )  e.  ( J  Cn  M ) )
Distinct variable groups:    y, z, A   
z, B    y, D, z    x, y    ph, x    x, J, y    x, z, M, y    x, X, y, z    x, Y, y, z    x, Z, y, z    x, K, y    x, L, y   
y, B    x, C
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    A( x)    B( x)    C( y,
z)    D( x)    J( z)    K( z)    L( z)

Proof of Theorem cnmpt12
StepHypRef Expression
1 cnmptid.j . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 cnmpt12.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 cnmpt11.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K ) )
4 cnf2 14182 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
51, 2, 3, 4syl3anc 1249 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
65fvmptelcdm 5690 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  Y )
7 cnmpt12.l . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
8 cnmpt1t.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  L ) )
9 cnf2 14182 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  L ) )  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Z )
101, 7, 8, 9syl3anc 1249 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Z )
1110fvmptelcdm 5690 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  Z )
126, 11jca 306 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Z )
)
13 txtopon 14239 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )
)  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( Y  X.  Z
) ) )
142, 7, 13syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( Y  X.  Z
) ) )
15 cnmpt12.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  M ) )
16 cntop2 14179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Y , 
z  e.  Z  |->  C )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  M )  ->  M  e.  Top )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
18 toptopon2 13996 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  Top  <->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
1917, 18sylib 122 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
20 cnf2 14182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( Y  X.  Z
) )  /\  M  e.  (TopOn `  U. M )  /\  ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  M
) )  ->  (
y  e.  Y , 
z  e.  Z  |->  C ) : ( Y  X.  Z ) --> U. M )
2114, 19, 15, 20syl3anc 1249 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C ) : ( Y  X.  Z ) --> U. M )
22 eqid 2189 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C )  =  ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C )
2322fmpo 6227 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  Y  A. z  e.  Z  C  e.  U. M  <->  ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C ) : ( Y  X.  Z
) --> U. M )
2421, 23sylibr 134 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y  A. z  e.  Z  C  e.  U. M )
25 r2al 2509 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  Y  A. z  e.  Z  C  e.  U. M  <->  A. y A. z ( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  C  e.  U. M ) )
2624, 25sylib 122 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y A. z
( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  C  e.  U. M ) )
2726adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y A. z ( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  C  e.  U. M ) )
28 eleq1 2252 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  Y  <->  A  e.  Y ) )
29 eleq1 2252 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  B  ->  (
z  e.  Z  <->  B  e.  Z ) )
3028, 29bi2anan9 606 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  B )  ->  ( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  <->  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Z ) ) )
31 cnmpt12.d . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  B )  ->  C  =  D )
3231eleq1d 2258 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  B )  ->  ( C  e.  U. M 
<->  D  e.  U. M
) )
3330, 32imbi12d 234 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  B )  ->  ( ( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  C  e.  U. M )  <->  ( ( A  e.  Y  /\  B  e.  Z )  ->  D  e.  U. M
) ) )
3433spc2gv 2843 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Y  /\  B  e.  Z )  ->  ( A. y A. z ( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  C  e.  U. M )  -> 
( ( A  e.  Y  /\  B  e.  Z )  ->  D  e.  U. M ) ) )
3512, 27, 12, 34syl3c 63 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  U. M )
3631, 22ovmpoga 6027 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Y  /\  B  e.  Z  /\  D  e.  U. M )  ->  ( A ( y  e.  Y , 
z  e.  Z  |->  C ) B )  =  D )
376, 11, 35, 36syl3anc 1249 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C ) B )  =  D )
3837mpteq2dva 4108 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C ) B ) )  =  ( x  e.  X  |->  D ) )
391, 3, 8, 15cnmpt12f 14263 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C ) B ) )  e.  ( J  Cn  M
) )
4038, 39eqeltrrd 2267 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  D )  e.  ( J  Cn  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104   A.wal 1362    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468   U.cuni 3824    |-> cmpt 4079    X. cxp 4642   -->wf 5231   ` cfv 5235  (class class class)co 5897    e. cmpo 5899   Topctop 13974  TopOnctopon 13987    Cn ccn 14162    tX ctx 14229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-map 6677  df-topgen 12768  df-top 13975  df-topon 13988  df-bases 14020  df-cn 14165  df-tx 14230
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