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Theorem cnmpt12 12298
Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptid.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt11.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K ) )
cnmpt1t.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  L ) )
cnmpt12.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt12.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmpt12.c  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  M ) )
cnmpt12.d  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  B )  ->  C  =  D )
Assertion
Ref Expression
cnmpt12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  D )  e.  ( J  Cn  M ) )
Distinct variable groups:    y, z, A   
z, B    y, D, z    x, y    ph, x    x, J, y    x, z, M, y    x, X, y, z    x, Y, y, z    x, Z, y, z    x, K, y    x, L, y   
y, B    x, C
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    A( x)    B( x)    C( y,
z)    D( x)    J( z)    K( z)    L( z)

Proof of Theorem cnmpt12
StepHypRef Expression
1 cnmptid.j . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 cnmpt12.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 cnmpt11.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K ) )
4 cnf2 12216 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
51, 2, 3, 4syl3anc 1199 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
65fvmptelrn 5527 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  Y )
7 cnmpt12.l . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
8 cnmpt1t.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  L ) )
9 cnf2 12216 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  L ) )  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Z )
101, 7, 8, 9syl3anc 1199 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Z )
1110fvmptelrn 5527 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  Z )
126, 11jca 302 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Z )
)
13 txtopon 12273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )
)  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( Y  X.  Z
) ) )
142, 7, 13syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( Y  X.  Z
) ) )
15 cnmpt12.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  M ) )
16 cntop2 12213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Y , 
z  e.  Z  |->  C )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  M )  ->  M  e.  Top )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
18 toptopon2 12029 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  Top  <->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
1917, 18sylib 121 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
20 cnf2 12216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( Y  X.  Z
) )  /\  M  e.  (TopOn `  U. M )  /\  ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  M
) )  ->  (
y  e.  Y , 
z  e.  Z  |->  C ) : ( Y  X.  Z ) --> U. M )
2114, 19, 15, 20syl3anc 1199 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C ) : ( Y  X.  Z ) --> U. M )
22 eqid 2115 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C )  =  ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C )
2322fmpo 6053 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  Y  A. z  e.  Z  C  e.  U. M  <->  ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C ) : ( Y  X.  Z
) --> U. M )
2421, 23sylibr 133 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y  A. z  e.  Z  C  e.  U. M )
25 r2al 2428 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  Y  A. z  e.  Z  C  e.  U. M  <->  A. y A. z ( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  C  e.  U. M ) )
2624, 25sylib 121 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y A. z
( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  C  e.  U. M ) )
2726adantr 272 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y A. z ( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  C  e.  U. M ) )
28 eleq1 2177 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  Y  <->  A  e.  Y ) )
29 eleq1 2177 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  B  ->  (
z  e.  Z  <->  B  e.  Z ) )
3028, 29bi2anan9 578 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  B )  ->  ( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  <->  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Z ) ) )
31 cnmpt12.d . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  B )  ->  C  =  D )
3231eleq1d 2183 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  B )  ->  ( C  e.  U. M 
<->  D  e.  U. M
) )
3330, 32imbi12d 233 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  B )  ->  ( ( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  C  e.  U. M )  <->  ( ( A  e.  Y  /\  B  e.  Z )  ->  D  e.  U. M
) ) )
3433spc2gv 2747 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Y  /\  B  e.  Z )  ->  ( A. y A. z ( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  C  e.  U. M )  -> 
( ( A  e.  Y  /\  B  e.  Z )  ->  D  e.  U. M ) ) )
3512, 27, 12, 34syl3c 63 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  U. M )
3631, 22ovmpoga 5854 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Y  /\  B  e.  Z  /\  D  e.  U. M )  ->  ( A ( y  e.  Y , 
z  e.  Z  |->  C ) B )  =  D )
376, 11, 35, 36syl3anc 1199 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C ) B )  =  D )
3837mpteq2dva 3978 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C ) B ) )  =  ( x  e.  X  |->  D ) )
391, 3, 8, 15cnmpt12f 12297 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C ) B ) )  e.  ( J  Cn  M
) )
4038, 39eqeltrrd 2192 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  D )  e.  ( J  Cn  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1312    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2390   U.cuni 3702    |-> cmpt 3949    X. cxp 4497   -->wf 5077   ` cfv 5081  (class class class)co 5728    e. cmpo 5730   Topctop 12007  TopOnctopon 12020    Cn ccn 12197    tX ctx 12263
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-map 6498  df-topgen 11984  df-top 12008  df-topon 12021  df-bases 12053  df-cn 12200  df-tx 12264
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