Theorem cnmpt12 15388

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptid.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt11.a	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
cnmpt1t.b	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) )
cnmpt12.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmpt12.l	|- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
cnmpt12.c	|- ( ph -> ( y e. Y , z e. Z |-> C ) e. ( ( K tX L ) Cn M ) )
cnmpt12.d	|- ( ( y = A /\ z = B ) -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt12	|- ( ph -> ( x e. X |-> D ) e. ( J Cn M ) )

Distinct variable groups:   y, z, A   z, B   y, D, z   x, y   ph, x   x, J, y   x, z, M, y   x, X, y, z   x, Y, y, z   x, Z, y, z   x, K, y   x, L, y   y, B   x, C

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   A( x)   B( x)   C( y, z)   D( x)   J( z)   K( z)   L( z)

Proof of Theorem cnmpt12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmptid.j	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		cnmpt12.k	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
3		cnmpt11.a	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
4		cnf2 15306	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
6	5	fvmptelcdm 5861	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. Y )
7		cnmpt12.l	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
8		cnmpt1t.b	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) )
9		cnf2 15306	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. (TopOn ` Z ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> Z )
10	1, 7, 8, 9	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> Z )
11	10	fvmptelcdm 5861	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. Z )
12	6, 11	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A e. Y /\ B e. Z ) )
13		txtopon 15363	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ L e. (TopOn ` Z ) ) -> ( K tX L ) e. (TopOn ` ( Y X. Z ) ) )
14	2, 7, 13	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K tX L ) e. (TopOn ` ( Y X. Z ) ) )
15		cnmpt12.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. Y , z e. Z |-> C ) e. ( ( K tX L ) Cn M ) )
16		cntop2 15303	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. Y , z e. Z |-> C ) e. ( ( K tX L ) Cn M ) -> M e. Top )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. Top )
18		toptopon2 15120	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. Top <-> M e. (TopOn ` U. M ) )
19	17, 18	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. (TopOn ` U. M ) )
20		cnf2 15306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K tX L ) e. (TopOn ` ( Y X. Z ) ) /\ M e. (TopOn ` U. M ) /\ ( y e. Y , z e. Z |-> C ) e. ( ( K tX L ) Cn M ) ) -> ( y e. Y , z e. Z |-> C ) : ( Y X. Z ) --> U. M )
21	14, 19, 15, 20	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. Y , z e. Z |-> C ) : ( Y X. Z ) --> U. M )
22		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- ( y e. Y , z e. Z |-> C ) = ( y e. Y , z e. Z |-> C )
23	22	fmpo 6437	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. Y A. z e. Z C e. U. M <-> ( y e. Y , z e. Z |-> C ) : ( Y X. Z ) --> U. M )
24	21, 23	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. Y A. z e. Z C e. U. M )
25		r2al 2569	. . . . . . 7 |- ( A. y e. Y A. z e. Z C e. U. M <-> A. y A. z ( ( y e. Y /\ z e. Z ) -> C e. U. M ) )
26	24, 25	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y A. z ( ( y e. Y /\ z e. Z ) -> C e. U. M ) )
27	26	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. y A. z ( ( y e. Y /\ z e. Z ) -> C e. U. M ) )
28		eleq1 2301	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( y e. Y <-> A e. Y ) )
29		eleq1 2301	. . . . . . . 8 |- ( z = B -> ( z e. Z <-> B e. Z ) )
30	28, 29	bi2anan9 614	. . . . . . 7 |- ( ( y = A /\ z = B ) -> ( ( y e. Y /\ z e. Z ) <-> ( A e. Y /\ B e. Z ) ) )
31		cnmpt12.d	. . . . . . . 8 |- ( ( y = A /\ z = B ) -> C = D )
32	31	eleq1d 2307	. . . . . . 7 |- ( ( y = A /\ z = B ) -> ( C e. U. M <-> D e. U. M ) )
33	30, 32	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( ( y = A /\ z = B ) -> ( ( ( y e. Y /\ z e. Z ) -> C e. U. M ) <-> ( ( A e. Y /\ B e. Z ) -> D e. U. M ) ) )
34	33	spc2gv 2916	. . . . 5 |- ( ( A e. Y /\ B e. Z ) -> ( A. y A. z ( ( y e. Y /\ z e. Z ) -> C e. U. M ) -> ( ( A e. Y /\ B e. Z ) -> D e. U. M ) ) )
35	12, 27, 12, 34	syl3c 63	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. U. M )
36	31, 22	ovmpoga 6218	. . . 4 |- ( ( A e. Y /\ B e. Z /\ D e. U. M ) -> ( A ( y e. Y , z e. Z |-> C ) B ) = D )
37	6, 11, 35, 36	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A ( y e. Y , z e. Z |-> C ) B ) = D )
38	37	mpteq2dva 4221	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A ( y e. Y , z e. Z |-> C ) B ) ) = ( x e. X |-> D ) )
39	1, 3, 8, 15	cnmpt12f 15387	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A ( y e. Y , z e. Z |-> C ) B ) ) e. ( J Cn M ) )
40	38, 39	eqeltrrd 2316	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> D ) e. ( J Cn M ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1400   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   U.cuni 3935   |-> cmpt 4192   X. cxp 4772   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   e. cmpo 6087   Topctop 15098  TopOnctopon 15111   Cn ccn 15286   tX ctx 15353

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-topgen 13614  df-top 15099  df-topon 15112  df-bases 15144  df-cn 15289  df-tx 15354

This theorem is used by:  plycn  15863