Theorem divcncfap 15638

Description: The quotient of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcncf.1	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
divcncfap.2	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> { y e. CC | y # 0 } ) )

Assertion

Ref	Expression
divcncfap	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   y, B   x, X   ph, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( x, y)   B( x)   X( y)

Proof of Theorem divcncfap

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcncf.1	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
2		cncff 15601	. . . . . 6 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
4	3	fvmptelcdm 5852	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
5		divcncfap.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> { y e. CC | y # 0 } ) )
6		cncff 15601	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> { y e. CC | y # 0 } ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> { y e. CC | y # 0 } )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> { y e. CC | y # 0 } )
8	7	fvmptelcdm 5852	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. { y e. CC | y # 0 } )
9		breq1 4128	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( y # 0 <-> B # 0 ) )
10	9	elrab 2982	. . . . . 6 |- ( B e. { y e. CC | y # 0 } <-> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
11	8, 10	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
12	11	simpld 112	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. CC )
13	11	simprd 114	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B # 0 )
14	4, 12, 13	divrecapd 9113	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A / B ) = ( A x. ( 1 / B ) ) )
15	14	mpteq2dva 4216	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / B ) ) = ( x e. X |-> ( A x. ( 1 / B ) ) ) )
16	8	ralrimiva 2623	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. X B e. { y e. CC | y # 0 } )
17		eqidd 2239	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B ) )
18		eqidd 2239	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) = ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) )
19	16, 17, 18	fmptcos 5867	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) o. ( x e. X |-> B ) ) = ( x e. X |-> [_ B / z ]_ ( 1 / z ) ) )
20		csbov2g 6117	. . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> [_ B / z ]_ ( 1 / z ) = ( 1 / [_ B / z ]_ z ) )
21	12, 20	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> [_ B / z ]_ ( 1 / z ) = ( 1 / [_ B / z ]_ z ) )
22		csbvarg 3175	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> [_ B / z ]_ z = B )
23	12, 22	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> [_ B / z ]_ z = B )
24	23	oveq2d 6091	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( 1 / [_ B / z ]_ z ) = ( 1 / B ) )
25	21, 24	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> [_ B / z ]_ ( 1 / z ) = ( 1 / B ) )
26	25	mpteq2dva 4216	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> [_ B / z ]_ ( 1 / z ) ) = ( x e. X |-> ( 1 / B ) ) )
27	19, 26	eqtr2d 2272	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( 1 / B ) ) = ( ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) o. ( x e. X |-> B ) ) )
28		ax-1cn 8262	. . . . . 6 |- 1 e. CC
29		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) = ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) )
30	29	cdivcncfap 15628	. . . . . 6 |- ( 1 e. CC -> ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
31	28, 30	mp1i 10	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
32	5, 31	cncfco 15615	. . . 4 |- ( ph -> ( ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) o. ( x e. X |-> B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
33	27, 32	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( 1 / B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
34	1, 33	mulcncf 15632	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A x. ( 1 / B ) ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
35	15, 34	eqeltrd 2315	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   [_csb 3147   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   o. ccom 4773   -->wf 5368  (class class class)co 6075   CCcc 8167   0cc0 8169   1c1 8170   x. cmul 8174   # cap 8899   / cdiv 8992   -cn->ccncf 15594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-map 6914  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-rp 10034  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-cncf 15595

This theorem is referenced by:  maxcncf  15639  mincncf  15640