Theorem divcncfap 15288

Description: The quotient of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcncf.1	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
divcncfap.2	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> { y e. CC | y # 0 } ) )

Assertion

Ref	Expression
divcncfap	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   y, B   x, X   ph, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( x, y)   B( x)   X( y)

Proof of Theorem divcncfap

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcncf.1	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
2		cncff 15251	. . . . . 6 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
4	3	fvmptelcdm 5788	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
5		divcncfap.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> { y e. CC | y # 0 } ) )
6		cncff 15251	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> { y e. CC | y # 0 } ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> { y e. CC | y # 0 } )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> { y e. CC | y # 0 } )
8	7	fvmptelcdm 5788	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. { y e. CC | y # 0 } )
9		breq1 4086	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( y # 0 <-> B # 0 ) )
10	9	elrab 2959	. . . . . 6 |- ( B e. { y e. CC | y # 0 } <-> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
11	8, 10	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
12	11	simpld 112	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. CC )
13	11	simprd 114	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B # 0 )
14	4, 12, 13	divrecapd 8940	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A / B ) = ( A x. ( 1 / B ) ) )
15	14	mpteq2dva 4174	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / B ) ) = ( x e. X |-> ( A x. ( 1 / B ) ) ) )
16	8	ralrimiva 2603	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. X B e. { y e. CC | y # 0 } )
17		eqidd 2230	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B ) )
18		eqidd 2230	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) = ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) )
19	16, 17, 18	fmptcos 5803	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) o. ( x e. X |-> B ) ) = ( x e. X |-> [_ B / z ]_ ( 1 / z ) ) )
20		csbov2g 6043	. . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> [_ B / z ]_ ( 1 / z ) = ( 1 / [_ B / z ]_ z ) )
21	12, 20	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> [_ B / z ]_ ( 1 / z ) = ( 1 / [_ B / z ]_ z ) )
22		csbvarg 3152	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> [_ B / z ]_ z = B )
23	12, 22	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> [_ B / z ]_ z = B )
24	23	oveq2d 6017	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( 1 / [_ B / z ]_ z ) = ( 1 / B ) )
25	21, 24	eqtrd 2262	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> [_ B / z ]_ ( 1 / z ) = ( 1 / B ) )
26	25	mpteq2dva 4174	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> [_ B / z ]_ ( 1 / z ) ) = ( x e. X |-> ( 1 / B ) ) )
27	19, 26	eqtr2d 2263	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( 1 / B ) ) = ( ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) o. ( x e. X |-> B ) ) )
28		ax-1cn 8092	. . . . . 6 |- 1 e. CC
29		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) = ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) )
30	29	cdivcncfap 15278	. . . . . 6 |- ( 1 e. CC -> ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
31	28, 30	mp1i 10	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
32	5, 31	cncfco 15265	. . . 4 |- ( ph -> ( ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) o. ( x e. X |-> B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
33	27, 32	eqeltrd 2306	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( 1 / B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
34	1, 33	mulcncf 15282	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A x. ( 1 / B ) ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
35	15, 34	eqeltrd 2306	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   [_csb 3124   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   o. ccom 4723   -->wf 5314  (class class class)co 6001   CCcc 7997   0cc0 7999   1c1 8000   x. cmul 8004   # cap 8728   / cdiv 8819   -cn->ccncf 15244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-map 6797  df-sup 7151  df-inf 7152  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-rp 9850  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-cncf 15245

This theorem is referenced by:  maxcncf  15289  mincncf  15290