Theorem divcncfap 15479

Description: The quotient of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcncf.1	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
divcncfap.2	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> { y e. CC | y # 0 } ) )

Assertion

Ref	Expression
divcncfap	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   y, B   x, X   ph, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( x, y)   B( x)   X( y)

Proof of Theorem divcncfap

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcncf.1	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
2		cncff 15442	. . . . . 6 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
4	3	fvmptelcdm 5830	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
5		divcncfap.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> { y e. CC | y # 0 } ) )
6		cncff 15442	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> { y e. CC | y # 0 } ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> { y e. CC | y # 0 } )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> { y e. CC | y # 0 } )
8	7	fvmptelcdm 5830	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. { y e. CC | y # 0 } )
9		breq1 4112	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( y # 0 <-> B # 0 ) )
10	9	elrab 2973	. . . . . 6 |- ( B e. { y e. CC | y # 0 } <-> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
11	8, 10	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
12	11	simpld 112	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. CC )
13	11	simprd 114	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B # 0 )
14	4, 12, 13	divrecapd 9067	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A / B ) = ( A x. ( 1 / B ) ) )
15	14	mpteq2dva 4200	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / B ) ) = ( x e. X |-> ( A x. ( 1 / B ) ) ) )
16	8	ralrimiva 2615	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. X B e. { y e. CC | y # 0 } )
17		eqidd 2233	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B ) )
18		eqidd 2233	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) = ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) )
19	16, 17, 18	fmptcos 5845	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) o. ( x e. X |-> B ) ) = ( x e. X |-> [_ B / z ]_ ( 1 / z ) ) )
20		csbov2g 6092	. . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> [_ B / z ]_ ( 1 / z ) = ( 1 / [_ B / z ]_ z ) )
21	12, 20	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> [_ B / z ]_ ( 1 / z ) = ( 1 / [_ B / z ]_ z ) )
22		csbvarg 3166	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> [_ B / z ]_ z = B )
23	12, 22	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> [_ B / z ]_ z = B )
24	23	oveq2d 6066	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( 1 / [_ B / z ]_ z ) = ( 1 / B ) )
25	21, 24	eqtrd 2265	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> [_ B / z ]_ ( 1 / z ) = ( 1 / B ) )
26	25	mpteq2dva 4200	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> [_ B / z ]_ ( 1 / z ) ) = ( x e. X |-> ( 1 / B ) ) )
27	19, 26	eqtr2d 2266	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( 1 / B ) ) = ( ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) o. ( x e. X |-> B ) ) )
28		ax-1cn 8220	. . . . . 6 |- 1 e. CC
29		eqid 2232	. . . . . . 7 |- ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) = ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) )
30	29	cdivcncfap 15469	. . . . . 6 |- ( 1 e. CC -> ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
31	28, 30	mp1i 10	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
32	5, 31	cncfco 15456	. . . 4 |- ( ph -> ( ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) o. ( x e. X |-> B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
33	27, 32	eqeltrd 2309	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( 1 / B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
34	1, 33	mulcncf 15473	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A x. ( 1 / B ) ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
35	15, 34	eqeltrd 2309	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   {crab 2524   [_csb 3138   class class class wbr 4109   |-> cmpt 4171   o. ccom 4753   -->wf 5348  (class class class)co 6050   CCcc 8125   0cc0 8127   1c1 8128   x. cmul 8132   # cap 8855   / cdiv 8946   -cn->ccncf 15435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-map 6884  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-rp 9987  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-cncf 15436

This theorem is referenced by:  maxcncf  15480  mincncf  15481