Theorem divcncfap 14934

Description: The quotient of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcncf.1	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
divcncfap.2	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> { y e. CC | y # 0 } ) )

Assertion

Ref	Expression
divcncfap	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   y, B   x, X   ph, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( x, y)   B( x)   X( y)

Proof of Theorem divcncfap

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcncf.1	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
2		cncff 14897	. . . . . 6 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
4	3	fvmptelcdm 5718	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
5		divcncfap.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> { y e. CC | y # 0 } ) )
6		cncff 14897	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> { y e. CC | y # 0 } ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> { y e. CC | y # 0 } )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> { y e. CC | y # 0 } )
8	7	fvmptelcdm 5718	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. { y e. CC | y # 0 } )
9		breq1 4037	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( y # 0 <-> B # 0 ) )
10	9	elrab 2920	. . . . . 6 |- ( B e. { y e. CC | y # 0 } <-> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
11	8, 10	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
12	11	simpld 112	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. CC )
13	11	simprd 114	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B # 0 )
14	4, 12, 13	divrecapd 8837	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A / B ) = ( A x. ( 1 / B ) ) )
15	14	mpteq2dva 4124	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / B ) ) = ( x e. X |-> ( A x. ( 1 / B ) ) ) )
16	8	ralrimiva 2570	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. X B e. { y e. CC | y # 0 } )
17		eqidd 2197	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B ) )
18		eqidd 2197	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) = ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) )
19	16, 17, 18	fmptcos 5733	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) o. ( x e. X |-> B ) ) = ( x e. X |-> [_ B / z ]_ ( 1 / z ) ) )
20		csbov2g 5967	. . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> [_ B / z ]_ ( 1 / z ) = ( 1 / [_ B / z ]_ z ) )
21	12, 20	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> [_ B / z ]_ ( 1 / z ) = ( 1 / [_ B / z ]_ z ) )
22		csbvarg 3112	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> [_ B / z ]_ z = B )
23	12, 22	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> [_ B / z ]_ z = B )
24	23	oveq2d 5941	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( 1 / [_ B / z ]_ z ) = ( 1 / B ) )
25	21, 24	eqtrd 2229	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> [_ B / z ]_ ( 1 / z ) = ( 1 / B ) )
26	25	mpteq2dva 4124	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> [_ B / z ]_ ( 1 / z ) ) = ( x e. X |-> ( 1 / B ) ) )
27	19, 26	eqtr2d 2230	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( 1 / B ) ) = ( ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) o. ( x e. X |-> B ) ) )
28		ax-1cn 7989	. . . . . 6 |- 1 e. CC
29		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) = ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) )
30	29	cdivcncfap 14924	. . . . . 6 |- ( 1 e. CC -> ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
31	28, 30	mp1i 10	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
32	5, 31	cncfco 14911	. . . 4 |- ( ph -> ( ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) o. ( x e. X |-> B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
33	27, 32	eqeltrd 2273	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( 1 / B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
34	1, 33	mulcncf 14928	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A x. ( 1 / B ) ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
35	15, 34	eqeltrd 2273	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   {crab 2479   [_csb 3084   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   o. ccom 4668   -->wf 5255  (class class class)co 5925   CCcc 7894   0cc0 7896   1c1 7897   x. cmul 7901   # cap 8625   / cdiv 8716   -cn->ccncf 14890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-map 6718  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-rp 9746  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-cncf 14891

This theorem is referenced by:  maxcncf  14935  mincncf  14936