Theorem divcncfap 14793

Description: The quotient of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcncf.1	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
divcncfap.2	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> { y e. CC | y # 0 } ) )

Assertion

Ref	Expression
divcncfap	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   y, B   x, X   ph, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( x, y)   B( x)   X( y)

Proof of Theorem divcncfap

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcncf.1	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
2		cncff 14756	. . . . . 6 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
4	3	fvmptelcdm 5712	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
5		divcncfap.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> { y e. CC | y # 0 } ) )
6		cncff 14756	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> { y e. CC | y # 0 } ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> { y e. CC | y # 0 } )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> { y e. CC | y # 0 } )
8	7	fvmptelcdm 5712	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. { y e. CC | y # 0 } )
9		breq1 4033	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( y # 0 <-> B # 0 ) )
10	9	elrab 2917	. . . . . 6 |- ( B e. { y e. CC | y # 0 } <-> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
11	8, 10	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
12	11	simpld 112	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. CC )
13	11	simprd 114	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B # 0 )
14	4, 12, 13	divrecapd 8814	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A / B ) = ( A x. ( 1 / B ) ) )
15	14	mpteq2dva 4120	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / B ) ) = ( x e. X |-> ( A x. ( 1 / B ) ) ) )
16	8	ralrimiva 2567	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. X B e. { y e. CC | y # 0 } )
17		eqidd 2194	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B ) )
18		eqidd 2194	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) = ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) )
19	16, 17, 18	fmptcos 5727	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) o. ( x e. X |-> B ) ) = ( x e. X |-> [_ B / z ]_ ( 1 / z ) ) )
20		csbov2g 5960	. . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> [_ B / z ]_ ( 1 / z ) = ( 1 / [_ B / z ]_ z ) )
21	12, 20	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> [_ B / z ]_ ( 1 / z ) = ( 1 / [_ B / z ]_ z ) )
22		csbvarg 3109	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> [_ B / z ]_ z = B )
23	12, 22	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> [_ B / z ]_ z = B )
24	23	oveq2d 5935	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( 1 / [_ B / z ]_ z ) = ( 1 / B ) )
25	21, 24	eqtrd 2226	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> [_ B / z ]_ ( 1 / z ) = ( 1 / B ) )
26	25	mpteq2dva 4120	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> [_ B / z ]_ ( 1 / z ) ) = ( x e. X |-> ( 1 / B ) ) )
27	19, 26	eqtr2d 2227	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( 1 / B ) ) = ( ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) o. ( x e. X |-> B ) ) )
28		ax-1cn 7967	. . . . . 6 |- 1 e. CC
29		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) = ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) )
30	29	cdivcncfap 14783	. . . . . 6 |- ( 1 e. CC -> ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
31	28, 30	mp1i 10	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) e. ( { y e. CC | y # 0 } -cn-> CC ) )
32	5, 31	cncfco 14770	. . . 4 |- ( ph -> ( ( z e. { y e. CC | y # 0 } |-> ( 1 / z ) ) o. ( x e. X |-> B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
33	27, 32	eqeltrd 2270	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( 1 / B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
34	1, 33	mulcncf 14787	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A x. ( 1 / B ) ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
35	15, 34	eqeltrd 2270	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   {crab 2476   [_csb 3081   class class class wbr 4030   |-> cmpt 4091   o. ccom 4664   -->wf 5251  (class class class)co 5919   CCcc 7872   0cc0 7874   1c1 7875   x. cmul 7879   # cap 8602   / cdiv 8693   -cn->ccncf 14749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-map 6706  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-rp 9723  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-cncf 14750

This theorem is referenced by:  maxcncf  14794  mincncf  14795